Графики тригонометрических функций, преобразование графиков. Преобразование графиков тригонометрических функций Примеры преобразования графиков тригонометрических функций

АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов

Тема. Построение графиков тригонометрических функций

Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x , у = tg х, у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos (kx + b ), у = Atg (kx + b ), у = Actg (kx + b ).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f (x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T ...? Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке .

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π , то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π , 4 π , 6 π ... единиц влево и вправо (рис. 58).

Кривая, которая является графиком функции у = sin x , называют синусоидой.

Выполнение упражнений______________________________

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

III . Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin - одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .

Выполнение упражнений________________________________

1. Постройте графики функций:

a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = | cos x |.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π , 2 π , 3 π , 4 π ... единиц влево и вправо (рис. 69).

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

Выполнение упражнений

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = t gx ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

V. Итог урока

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…

тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х =  n, n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z У

тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах =  / 2 +2  n , n  Z Х м in = -  / 2 +2  n , n  Z y=sin x

тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) =  -1;1  y = sin x

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+  /4) вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+  /4) Постройте график функции: y=sin (x -  /6)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x +  Постройте график функции: y =sin (x -  /6)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x +  Постройте график функции: y=sin (x +  /2) вспомнить правила

тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+  /2)=cos x

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0

тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x вспомнить правила

тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы

Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...

Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»

Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....

Конспект урока по алгебре в 10 классе

Васильева Екатерина Сергеевна ,

учитель математики

ОГБОУ «Смоленская специальная (коррекционная)

общеобразовательная школа I и II видов»

Смоленск

Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций».

Название модуля : преобразование графиков тригонометрических функций.Интегрирующая дидактическая цель : отработать навыки построения графиков тригонометрических функций.Целевой план действий для учащихся:

повторить основные свойства тригонометрических функций; отработать навык преобразования графиков тригонометрических функций; способствовать развитию логического мышления; воспитывать интерес к изучению предмета.

Банк информации.

Входной контроль. Назовите свойства функций y = sin x (рис. 1).

Рис . 1

Свойства:

D(y)=R E(y)=[-1;1], функция ограничена sin(-x)=-sinx, функция нечётная Наименьший положительный период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Рассмотрим график фукции y= cos x (рис. 2).

Рис . 2

Свойства:

D (y)=R E (y)=[-1;1], функция ограничена cos(-x)= cos x, функция чётная Наименьший положительный период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z cos x Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.

Cледующий график функции y=tg x (рис. 3)

Риc . 3

Свойства:

D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), функция неограниченная tg(-x)=-tg x, функция нечётная наименьший положительный период: π
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

Следующий график функции y=ctg x (рис. 4)

Рис . 4

Свойства:

D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), функция неограниченная ctg(-x)=-ctg x, функция нечётная Наименьший положительный период: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Объяснение материала.

y = f (x )+ a , где a - постоянное число, надо перенести график y = f (x ) вдоль оси ординат. Если a>0, то график переносим параллельно самому себе вверх, если a Для построения графика функции y = kf (x ) надо растянуть график функции y = f (x ) в k раз вдоль оси ординат. Если | k |>1 , то происходит растяжение графика вдоль оси OY , если 0k | , то – сжатие. График функции y = f (x + b ) получается из графика y = f (x ) путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс. Если b>0 , то график перемещается влево, если b

Для построения графика функции y = f (kx ) надо растянуть график y = f (x ) вдоль оси абсцисс. Если | k |>1 , то происходит сжатие графика вдоль оси OХ , если 0

Закрепление материала.

Уровень А

Частная дидактическая цель : отработать навык построения тригонометрических функций путем преобразований.

Методический комментарий для учащихся :

Ox в 3 раза.





График функции получается из графика путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.





График функции получается из графика путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy .







График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц влево .





Г

рафик функции получается из графика путем сжатия вдоль оси Oy в 4 раза.

Уровень В.

Частная дидактическая цель : тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .

Методический комментарий для учащихся : постройте графики функций, выполнив преобразования.



График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц вправо .



График функции получается из графика функции путем последовательного выполнения следующих преобразований:

1) параллельный перенос на единицы влево вдоль оси абсцисс

2) сжатие вдоль оси Оy в 4 раза.





График функции получается из графика функции , каждая ордината которого изменяется в -2 раза. Для этого выполняем следующие преобразования:

1) отображаем симметрично относительно оси Ox ,

2) растягиваем в 2 раза вдоль оси Oy .




последовательного выполнения следующих преобразований :

1) сжатиевдоль оси абсцисс в 2 раза ;

2) растяжение в 3 раза вдоль оси Oy ;

3) параллельный перенос на 1 единицу вверх вдоль оси ординат .





Уровень С .

Частная дидактическая цель : отработать навык построения графиков тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .

Методический комментарий для учащихся : укажите , какие преобразования нужно выполнить для построения графиков . Постройте графики .

1.

График функции получается из графика функциипутем последовательного выполнения следующих преобразований:

1) отображение симметрично относительно оси Ox ,

2) сжатие в 2 раза вдоль оси Oy;

3) параллельный перенос на 2 единицы вниз вдоль оси Оy.





2.

График функции получается из графика функции последовательного выполнения следующих преобразований : получается www . aiportal . ru / services / graph . html

Т Е М А : Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем.

Ц Е Л Ь : Рассмотрение получения графиков тригонометрических функций вида

y = f(|x|) ; y = | f (x )| .

Развивать математическую логику и внимание.

Х О Д У Р О К А:

Орг. момент: Объявление темы, целей и задач урока.

Учитель : Сегодня мы должны научиться строить графики функций y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| используя наши знания о преобразованиях трансцендентных функций вида y = f(|x|) и y = |f(x)| . Вы спросите «Для чего это нужно?» Дело в том что свойства функций в этом случае изменяются, а вот как, это лучше всего прослеживается, как вы знаете, на графике.

Давайте вспомним как запишутся данные функции с использованием определения

Дети: f(|x|) =

|f(x)| =

Учитель : Итак, чтобы построить график функции у = f (|x|), если известен график функции

у = f { x ), нужно оставить на месте ту часть графика функции у = f (x ), которая

соответствует неотрица­тельной части области определения функции у = f (x ). Отра­зив эту

часть симметрично относительно оси у, получим дру­гую часть графика, соответствующую

отрицательной части области определения.

Т. е. на графике это выглядит следующим образом: y = f (x)

(Данные графики строятся на доске. Дети в тетрадях)

Теперь исходя из этого построим график функций y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Рис 1. Y = sin x

Рис 2. Y = sin |x|

Теперь построим графики функций Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|

Чтобы построить график функции у = \ f (x )\, если из­вестен график функции у = f (x ), нужно оставить на месте ту его часть, где f (x ) > О, и симметрично отобразить относи­тельно оси х другую его часть, где f (x ) < 0.