Lección "Función y = sinx, sus propiedades y gráfico". La gráfica de la función y = sin x Y sin x aumenta toma el valor más grande

Descubrimos que el comportamiento de funciones trigonométricas y funciones y = sen x en particular, en toda la recta numérica (o para todos los valores del argumento NS) está completamente determinado por su comportamiento en el intervalo 0 < NS < π / 2 .

Por lo tanto, en primer lugar, trazaremos la función y = sen x precisamente en este intervalo.

Compongamos la siguiente tabla de los valores de nuestra función;

Marcando los puntos correspondientes en el plano de coordenadas y conectándolos con una línea suave, obtenemos la curva que se muestra en la figura.

La curva resultante podría construirse geométricamente, sin compilar una tabla de valores de función. y = sen x .

1. Divida en 8 partes iguales el primer cuarto de un círculo de radio 1. Las ordenadas de los puntos de división del círculo son los senos de los ángulos correspondientes.

2.El primer cuarto de un círculo corresponde a ángulos de 0 a π / 2 ... Por lo tanto, en el eje NS toma un segmento y divídelo en 8 partes iguales.

3. Dibujemos líneas rectas paralelas a los ejes. NS, y a partir de los puntos de división, restauraremos las perpendiculares a la intersección con las líneas horizontales.

4. Conecte los puntos de intersección con una línea suave.

Ahora pasemos al intervalo π / 2 < NS < π .
Cada valor de argumento NS de este intervalo se puede representar como

X = π / 2 + φ

donde 0 < φ < π / 2 ... Por fórmulas de reducción

pecado ( π / 2 + φ ) = cos φ = pecado ( π / 2 - φ ).

Puntos de eje NS con abscisas π / 2 + φ y π / 2 - φ simétricos entre sí con respecto al punto del eje NS con abscisas π / 2 , y los senos nasales en estos puntos son los mismos. Esto le permite obtener una gráfica de la función y = sen x en el intervalo [ π / 2 , π ] por simple representación simétrica de la gráfica de esta función en el intervalo relativo a la línea recta NS = π / 2 .

Ahora usando la propiedad Función impar y = sen x,

pecado (- NS) = - pecado NS,

es fácil trazar esta función en el intervalo [- π , 0].

La función y = sin x es periódica con un período de 2π ;. Por lo tanto, para trazar la gráfica completa de esta función, la curva que se muestra en la figura es suficiente, continúe hacia la izquierda y hacia la derecha periódicamente con un punto. 2π .

La curva resultante se llama sinusoide ... Es la gráfica de la función y = sen x.

La figura ilustra bien todas esas propiedades de la función. y = sen x , que fueron previamente probados por nosotros. Recordemos estas propiedades.

1) Función y = sen x definido para todos los valores NS , de modo que el dominio de su definición es la colección de todos los números reales.

2) Función y = sen x limitado. Todos los valores que toma están en el rango de -1 a 1, incluidos estos dos números. Por tanto, el rango de variación de esta función está determinado por la desigualdad -1 < a < 1. Cuando NS = π / 2 + 2k π la función toma los valores más grandes iguales a 1, y para x = - π / 2 + 2k π - los valores más pequeños iguales a - 1.

3) Función y = sen x es impar (la sinusoide es simétrica con respecto al origen).

4) Función y = sen x periódica con período 2 π .

5) En intervalos 2n π < X < π + 2n π (n es cualquier número entero) es positivo, y en los intervalos π + 2k π < NS < 2π + 2k π (k es cualquier número entero) es negativo. Para x = k π la función desaparece. Por tanto, estos valores del argumento x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) se llaman ceros de la función y = sen x

6) En intervalos - π / 2 + 2n π < NS < π / 2 + 2n π función y = pecado X aumenta monótonamente y en intervalos π / 2 + 2k π < NS < 3π / 2 + 2k π disminuye monótonamente.

Preste especial atención al comportamiento de la función. y = sen x punto cercano NS = 0 .

Por ejemplo, sin 0.012 ≈ 0,012; pecado (-0.05) ≈ -0,05;

pecado 2 ° = pecado π 2 / 180 = pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Al mismo tiempo, debe tenerse en cuenta que para cualquier valor de x

| pecado X| < | x | . (1)

De hecho, deje que el radio del círculo que se muestra en la figura sea 1,
a / AОВ = NS.

Entonces peca X= AC. Pero AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол NS... La longitud de este arco es obviamente igual a NS, ya que el radio del círculo es 1. Entonces, en 0< NS < π / 2

pecado x< х.

Por lo tanto, debido a la rareza de la función y = sen x es fácil demostrarlo para: π / 2 < NS < 0

| pecado X| < | x | .

Finalmente, en X = 0

| sin x | = | x |.

Por lo tanto, para | NS | < π / 2 Se prueba la desigualdad (1). De hecho, esta desigualdad también es válida para | X | > π / 2 debido al hecho de que | pecado NS | < 1, un π / 2 > 1

Ejercicios

1.Función programada y = sen x determinar: a) pecado 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).

2.Función programada y = sen x determinar qué número es del intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] tiene un seno igual a: a) 0,6; b) -0,8.

3. Por horario de funciones y = sen x determinar qué números tienen un seno,
igual a 1/2.

4. Encuentre aproximadamente (sin usar tablas): a) sen 1 °; b) sen 0,03;
c) pecado (-0,015); d) pecado (-2 ° 30 ").

Lección y presentación sobre el tema: "Función y = sin (x). Definiciones y propiedades"

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Qué estudiaremos:

• Propiedades de la función Y = sin (X).
• Gráfico de funciones.
• Cómo construir un gráfico y su escala.
• Ejemplos.

Propiedades del seno. Y = pecado (X)

Chicos, ya nos familiarizamos con las funciones trigonométricas de un argumento numérico. ¿Los recuerdas?

Echemos un vistazo más de cerca a la función Y = sin (X)

Anotemos algunas propiedades de esta función:
1) Dominio de definición: un conjunto de números reales.
2) La función es extraña. Recordemos la definición Función impar... La función se llama impar si la igualdad se cumple: y (-x) = - y (x). Como recordamos de las fórmulas fantasma: sin (-x) = - sin (x). La definición se ha cumplido, por lo que Y = sin (X) es una función impar.
3) La función Y = sin (X) aumenta en el segmento y disminuye en el segmento [π / 2; π]. Cuando nos movemos a lo largo del primer cuarto (en sentido antihorario), la ordenada aumenta, y cuando nos movemos a lo largo del segundo cuarto, disminuye.

4) La función Y = sin (X) está acotada arriba y abajo. Esta propiedad se deriva del hecho de que
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) El valor más pequeño de la función es -1 (en x = - π / 2 + πk). El valor más grande de la función es 1 (en x = π / 2 + πk).

Usemos las propiedades 1-5 para graficar la función Y = sin (X). Construiremos nuestro gráfico secuencialmente usando nuestras propiedades. Comencemos a construir un gráfico en un segmento.

Se debe prestar especial atención a la escala. En la ordenada es más conveniente tomar un segmento unitario igual a 2 celdas, y en el eje de abscisas, tomar un segmento unitario (dos celdas) igual a π / 3 (ver la figura).

Grafica la función seno x, y = sin (x)

Calculemos los valores de la función en nuestro segmento:

Construyamos un gráfico basado en nuestros puntos, teniendo en cuenta la tercera propiedad.

Tabla de conversión para fórmulas fantasma

Usemos la segunda propiedad, que dice que nuestra función es impar, lo que significa que puede reflejarse simétricamente sobre el origen:

Sabemos sin (x + 2π) = sin (x). Esto significa que en el segmento [- π; π] el gráfico se ve igual que en el segmento [π; 3π] o o [-3π; - π] y así sucesivamente. Nos queda volver a dibujar cuidadosamente el gráfico de la figura anterior en todo el eje de abscisas.

La gráfica de la función Y = sin (X) se llama sinusoide.

Escribamos algunas propiedades más de acuerdo con el gráfico construido:
6) La función Y = sin (X) aumenta en cualquier segmento de la forma: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k es un número entero y disminuye en cualquier segmento de la forma: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k es un número entero.
7) La función Y = sin (X) es una función continua. Miremos la gráfica de la función y asegurémonos de que nuestra función no tenga discontinuidades, lo que significa continuidad.
8) Rango de valores: segmento [- 1; uno]. Esto también se ve claramente en el gráfico de la función.
9) La función Y = sin (X) es una función periódica. Veamos el gráfico nuevamente y veamos que la función toma los mismos valores en algunos intervalos.

Ejemplos de problemas de seno

1. Resuelve la ecuación sin (x) = x-π

Solución: Construyamos 2 gráficas de la función: y = sin (x) e y = x-π (ver figura).
Nuestras gráficas se cruzan en un punto A (π; 0), esta es la respuesta: x = π

2. Grafique la función y = sin (π / 6 + x) -1

Solución: La gráfica deseada se obtiene moviendo la gráfica de la función y = sin (x) π / 6 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

Solución: Construyamos una gráfica de la función y consideremos nuestro segmento [π / 2; 5π / 4].
La gráfica de la función muestra que los valores más grande y más pequeño se alcanzan en los extremos del segmento, en los puntos π / 2 y 5π / 4, respectivamente.
Respuesta: sin (π / 2) = 1 - valor más alto, sin (5π / 4) = valor más pequeño.

Problemas de seno para una solución independiente

• Resuelve la ecuación: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Representar la función y = sin (π / 3 + x) -2
• Representar la función y = sin (-2π / 3 + x) +1
• Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función y = sin (x) en un intervalo
• Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función y = sin (x) en el segmento [- π / 3; 5π / 6]

Funcióny = pecadoX

La gráfica de la función es una sinusoide.

La parte completa no repetitiva de una sinusoide se llama onda sinusoidal.

La media onda de una onda sinusoidal se llama media onda de una onda sinusoidal (o un arco).

Propiedades de la funcióny = pecadoX:

3) Esta es una función extraña. 4) Esta es una función continua. - con el eje de abscisas: (πn; 0), - con el eje de ordenadas: (0; 0). 6) En el segmento [-π / 2; π / 2] la función aumenta en el intervalo [π / 2; 3π / 2] - disminuye. 7) En intervalos, la función toma valores positivos. En los intervalos [-π + 2πn; La función 2πn] toma valores negativos. 8) Intervalos de función creciente: [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn]. Disminuir los intervalos de la función: [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn]. 9) Puntos mínimos de la función: -π / 2 + 2πn. Puntos máximos de la función: π / 2 + 2πn el valor más alto es 1.

Para trazar una función y= pecado X conviene utilizar las siguientes escalas:

En una hoja en una jaula, tomamos la longitud de dos celdas como una unidad de segmento.

En el eje X medir la longitud π. En este caso, por conveniencia, representamos 3,14 como 3, es decir, sin fracción. Luego, en una hoja en una celda, π será 6 celdas (tres veces 2 celdas). Y cada celda recibirá su propio nombre lógico (del primero al sexto): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Estos son los valores X.

En el eje y, marque 1, que incluye dos celdas.

Compongamos una tabla de valores de funciones usando nuestros valores X:

			√3 - 2		√3 - 2

A continuación, hagamos una gráfica. Obtendrá una media onda, cuyo punto más alto es (π / 2; 1). Esta es la gráfica de la función y= pecado X en el segmento. Agregue una media onda simétrica al gráfico trazado (simétrico con respecto al origen, es decir, en el segmento -π). La cresta de esta media onda está debajo del eje x con coordenadas (-1; -1). El resultado es una ola. Esta es la gráfica de la función y= pecado X en el segmento [-π; π].

Puede continuar la onda construyéndola en el segmento [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etc. En todos estos segmentos, la gráfica de la función se verá igual que en el segmento [-π; π]. Obtendrás una línea ondulada continua con las mismas ondas.

Funcióny = porqueX.

La gráfica de una función es una sinusoide (a veces llamada coseno).

Propiedades de la funcióny = porqueX:

1) El dominio de una función es un conjunto de números reales. 2) Rango de valores de la función - segmento [–1; uno] 3) Esta es una función uniforme. 4) Esta es una función continua. 5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico: - con el eje de abscisas: (π / 2 + πn; 0), - con el eje de ordenadas: (0; 1). 6) En el segmento, la función disminuye, en el segmento [π; 2π] - aumenta. 7) En los intervalos [-π / 2 + 2πn; La función π / 2 + 2πn] toma valores positivos. A intervalos [π / 2 + 2πn; La función 3π / 2 + 2πn] toma valores negativos. 8) Intervalos crecientes: [-π + 2πn; 2πn]. Intervalos descendentes :; 9) Puntos mínimos de la función: π + 2πn. Puntos máximos de la función: 2πn. 10) La función está limitada en la parte superior e inferior. El valor más pequeño de la función es -1, el valor más alto es 1. 11) Esta es una función periódica con un período de 2π (T = 2π)

Funcióny = mf(X).

Tomemos la función anterior y= cos X... Como ya sabes, su gráfica es una onda sinusoidal. Si multiplicamos el coseno de esta función por un cierto número m, entonces la onda se estirará desde el eje X(o se encogerá, dependiendo del valor de m).
Esta nueva ola será la gráfica de la función y = mf (x), donde m es cualquier número real.

Por tanto, la función y = mf (x) es la función habitual y = f (x) multiplicada por m.

Simetro< 1, то синусоида сжимается к оси X por factormetro. Sim> 1, entonces la sinusoide se estira desde el ejeX por factormetro.

Al realizar estiramiento o compresión, primero puede construir solo una media onda de una sinusoide y luego completar todo el gráfico.

Funcióny = F(kx).

Si la función y =mf(X) conduce a un estiramiento de la sinusoide desde el eje X o compresión al eje X, entonces la función y = f (kx) conduce a un estiramiento desde el eje y o compresión al eje y.

Además, k es cualquier número real.

En 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y por factork. Sik> 1, entonces la sinusoide se comprime al ejey por factork.

Al trazar esta función, primero puede trazar una media onda de una sinusoide y luego usarla para completar toda la trama.

Funcióny = tgX.

Gráfico de funciones y= tg X es un tangentoide.

Es suficiente trazar una parte del gráfico en el intervalo de 0 a π / 2, y luego puede continuarlo simétricamente en el intervalo de 0 a 3π / 2.

Propiedades de la funcióny = tgX:

Funcióny = ctgX

Gráfico de funciones y= ctg X también es un tangentoide (a veces llamado cotangentoide).

Propiedades de la funcióny = ctgX:

En esta lección, veremos más de cerca la función y = sen x, sus propiedades principales y la gráfica. Al comienzo de la lección, daremos la definición de una función trigonométrica y = sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos la gráfica de la función en un círculo y una línea recta. Demostremos la periodicidad de esta función en el gráfico y consideremos las propiedades principales de la función. Al final de la lección, resolveremos varias tareas sencillas utilizando la gráfica de una función y sus propiedades.

Tema: Funciones trigonométricas

Lección: Función y = sinx, sus propiedades básicas y gráfico.

Al considerar una función, es importante asignar cada valor de argumento a un solo valor de función. Esta ley de conformidad y se llama función.

Definamos la ley de correspondencia para.

Cualquier número real corresponde a un solo punto en circulo unitario Un punto tiene una sola ordenada, que se llama seno de un número (Fig. 1).

Cada valor de argumento está asociado con un único valor de función.

Las propiedades obvias se derivan de la definición de seno.

La figura muestra que ya que esta es la ordenada del punto del círculo unitario.

Considere la gráfica de una función. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central, medido en radianes. A lo largo del eje pospondremos numeros reales o ángulos en radianes, a lo largo del eje correspondiente al valor de la función.

Por ejemplo, el ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en el gráfico (Fig.2)

Obtuvimos la gráfica de la función en el sitio. Pero conociendo el período del seno, podemos mostrar la gráfica de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).

El período principal de la función es. Esto significa que el gráfico se puede obtener en un segmento y luego continuar con todo el dominio de definición.

Considere las propiedades de la función:

1 Alcance:

2) Rango de valores:

3) La función es extraña:

4) El período positivo más pequeño:

5) Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con el eje de abscisas:

6) Coordenadas del punto de intersección del gráfico con el eje y:

7) Los intervalos en los que la función toma valores positivos:

8) Los intervalos en los que la función toma valores negativos:

9) Intervalos ascendentes:

10) Intervalos descendentes:

11) Puntos mínimos:

12) Función mínima:

13) Puntos máximos:

14) Función máxima:

Examinamos las propiedades de la función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente al resolver problemas.

Bibliografía

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Tarea

Álgebra y el comienzo del análisis, grado 10 (en dos partes). Libro de problemas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos web adicionales

3. Portal educativo prepararse para los exámenes ().