Transición de raíces a poderes y viceversa, ejemplos, soluciones. Fórmulas para potencias y raíces Potencias y raíces cuadradas

A menudo, transformar y simplificar expresiones matemáticas requiere pasar de raíces a potencias y viceversa. Este artículo habla sobre cómo convertir una raíz a un grado y viceversa. Se discute teoría, ejemplos prácticos y los errores más comunes.

Transición de potencias con exponentes fraccionarios a raíces

Digamos que tenemos un número con un exponente en forma de fracción ordinaria: a m n. ¿Cómo escribir una expresión como raíz?

¡La respuesta se desprende de la definición misma de grado!

Definición

Un número positivo a elevado a m n es la raíz n del número a m .

En este caso, se debe cumplir la siguiente condición:

a > 0 ; metro ∈ ℤ ; norte ∈ ℕ.

La potencia fraccionaria de cero se define de manera similar, pero en este caso el número m no se toma como un número entero, sino como un número natural, por lo que no se produce la división entre 0:

0 metro norte = 0 metro norte = 0 .

De acuerdo con la definición, el grado a m n se puede representar como la raíz a m n .

Por ejemplo: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

Sin embargo, como ya se mencionó, no debemos olvidarnos de las condiciones: a > 0; metro ∈ ℤ ; norte ∈ ℕ.

Por lo tanto, la expresión - 8 1 3 no se puede representar en la forma - 8 1 3, ya que la notación - 8 1 3 simplemente no tiene sentido - el grado de los números negativos no está definido. Además, la raíz misma - 8 1 3 tiene sentido.

La transición de grados con expresiones en la base y exponentes fraccionarios se realiza de manera similar en todo el rango de valores permitidos (en adelante VA) de las expresiones originales en la base del grado.

Por ejemplo, la expresión x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 se puede escribir como la raíz cuadrada de x 2 + 2 x + 1 - 4. La expresión elevada a x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 se convierte en la expresión x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 para todo x, y, z a partir de la ODZ de esta expresión.

También es posible la sustitución inversa de raíces con potencias, cuando en lugar de una expresión con raíz se escriben expresiones con potencia. Simplemente invertimos la igualdad del párrafo anterior y obtenemos:

Nuevamente, la transición es obvia para números positivos a. Por ejemplo, 7 6 4 = 7 6 4, o 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

Para a negativo las raíces tienen sentido. Por ejemplo - 4 2 6, - 2 3. Sin embargo, es imposible representar estas raíces en forma de potencias - 4 2 6 y - 2 1 3.

¿Es posible siquiera convertir tales expresiones en potencias? Sí, si realiza algunos cambios preliminares. Consideremos cuáles.

Usando las propiedades de las potencias, puedes transformar la expresión - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Como 4 > 0, podemos escribir:

En el caso de una raíz impar de un número negativo, podemos escribir:

Un 2 metro + 1 = - un 2 metro + 1 .

Entonces la expresión - 2 3 tomará la forma:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Entendamos ahora cómo las raíces bajo las cuales están contenidas las expresiones son reemplazadas por potencias que contienen estas expresiones en la base.

Denotemos con la letra A alguna expresión. Sin embargo, no nos apresuraremos a representar A m n en la forma A m n . Expliquemos lo que se quiere decir aquí. Por ejemplo, la expresión x - 3 2 3, basada en la igualdad del primer párrafo, me gustaría presentarla en la forma x - 3 2 3. Tal reemplazo sólo es posible para x - 3 ≥ 0, y para el resto x de la ODZ no es adecuado, ya que para a negativo la fórmula a m n = a m n no tiene sentido.

Por lo tanto, en el ejemplo considerado, una transformación de la forma A m n = A m n es una transformación que estrecha la ODZ y, debido a la aplicación incorrecta de la fórmula A m n = A m n, a menudo se producen errores.

Para pasar correctamente de la raíz A m n a la potencia A m n , se deben observar varios puntos:

• Si el número m es entero e impar, y n es natural y par, entonces la fórmula A m n = A m n es válida para toda la ODZ de variables.
• Si m es un número entero e impar, y n es natural e impar, entonces la expresión A m n se puede reemplazar:
  - en A m n para todos los valores de variables para las cuales A ≥ 0;
  - on - - A m n para todos los valores de variables para las cuales A< 0 ;
• Si m es un número entero e par, y n es cualquier número natural, entonces Am n puede reemplazarse por Am n.

Resumamos todas estas reglas en una tabla y demos varios ejemplos de su uso.

Volvamos a la expresión x - 3 2 3. Aquí m = 2 es un número entero y par, y n = 3 es un número natural. Esto significa que la expresión x - 3 2 3 se escribirá correctamente en la forma:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

Pongamos otro ejemplo con raíces y potencias.

Ejemplo. Convertir una raíz a una potencia

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

Justifiquemos los resultados presentados en la tabla. Si el número m es entero e impar, y n es natural y par, para todas las variables de la ODZ en la expresión Am n el valor de A es positivo o no negativo (para m > 0). Por eso A m n = A m n .

En la segunda opción, cuando m es un número entero, positivo e impar, y n es natural e impar, los valores de Am n se separan. Para variables de la ODZ para las cuales A no es negativo, A m n = A m n = A m n . Para variables para las cuales A es negativa, obtenemos A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

Consideremos de manera similar el siguiente caso, cuando m es un número entero e par, y n es cualquier número natural. Si el valor de A es positivo o no negativo, entonces para tales valores de variables de la ODZ A m n = A m n = A m n . Para A negativo obtenemos A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .

Así, en el tercer caso, para todas las variables de la ODZ podemos escribir Am n = Am n .

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Fórmulas de grado utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a Cuando:

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar los grados con la misma base, se suman sus indicadores:

soy·un = un m + n .

2. Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes:

3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

(a/b) norte = an /b norte .

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

(un metro) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es verdadera en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia:

4. Si aumentas el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo construir en norte La potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz en norte extraer la raíz al mismo tiempo norte-ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:a n = a m - n se puede utilizar no sólo para metro> norte, pero también con metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a formular soy:a n = a m - n se volvió justo cuando m=n, se requiere la presencia de cero grados.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real A al grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metro-ésima potencia de este número A.

Felicitaciones: hoy veremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)

Mucha gente se confunde con las raíces, no porque sean complejas (lo que tiene de complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de una jungla tal que solo los autores de los libros de texto ellos mismos pueden entender este escrito. Y aun así sólo con una botella de buen whisky. :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de raíz, la única que realmente debes recordar. Y luego explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero, recuerde un punto importante que muchos compiladores de libros de texto, por alguna razón, “olvidan”:

Las raíces pueden ser de grado par (nuestro $\sqrt(a)$ favorito, así como todo tipo de $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (todo tipo de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente a la de raíz par.

Probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces se esconden en este jodido "algo diferente". Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo el número $b$ es tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(a)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (grado impar), que es También se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico, ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes; no hay que temerles:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de “ejemplos exóticos”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par e impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual tuvimos que introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué se necesitan raíces?

Después de leer la definición, muchos estudiantes se preguntarán: "¿Qué fumaban los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué se necesitan todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a la escuela primaria. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como “cinco por cinco – veinticinco”, eso es todo. Pero puedes multiplicar números no en pares, sino en tripletes, cuádruples y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son gente vaga, por eso les costó mucho escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Por eso se les ocurrió los títulos. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Algo como esto:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino y cuadernos para anotar unos 5.183. Este disco se llamó potencia de un número; en él se encontraron muchas propiedades, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una grandiosa fiesta organizada precisamente para “descubrir” los grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: “¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero el número en sí es desconocido?” Ahora bien, si sabemos que un cierto número $b$, digamos, elevado a la quinta potencia da 243, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los poderes "ya preparados" no existen tales números "iniciales". Juzgue usted mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitamos encontrar un número determinado que, multiplicado por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es este número se encuentra entre tres y cuatro, pero no entenderás a qué equivale.

Precisamente por eso a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$ésima. Precisamente por eso se introdujo el símbolo radical $\sqrt(*)$. Designar el propio número $b$, que en el grado indicado nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se calculan fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego intentas extraer de él la raíz de un grado arbitrario, te espera un terrible fastidio.

¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual: como un número entero o una fracción. Y si ingresas este número en una calculadora, verás esto:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como puedes ver, después del punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puedes redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos rodeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, se requiere la habilidad de comparar y redondear para aprobar el perfil Examen estatal unificado).

Por lo tanto, en matemáticas serias no se puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, al igual que las fracciones y los números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.

La incapacidad de representar una raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Estos números se denominan irracionales y no se pueden representar con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para ello (logaritmos, potencias, límites, etc.). Pero hablaremos de eso en otro momento.

Consideremos algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales seguirán estando en la respuesta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1.2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, por la apariencia de la raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puedes contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada solo nos da los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Precisamente por eso se inventaron. Para registrar cómodamente las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos están tomadas de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se pueden extraer fácilmente de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.

¿Por qué está pasando esto? Eche un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

La gráfica de una función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa.

Intentemos calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para hacer esto, se dibuja una línea horizontal $y=4$ en el gráfico (marcada en rojo), que se cruza con la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Con el primer número todo está claro: es positivo, por lo que es la raíz:

Pero entonces ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Cuatro tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir entonces $\sqrt(4)=-2$? ¿Y por qué los profesores miran esas publicaciones como si quisieran comerte? :)

El problema es que si no impones ninguna condición adicional, entonces el quad tendrá dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán ninguna raíz; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. No acepta valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con exponente par:

1. Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De los números negativos, la raíz par $n$ no se extrae en absoluto.

Es por eso que en la definición de raíz de grado par $n$ se estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, veamos la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

Una parábola cúbica puede tomar cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número.

De este gráfico se pueden extraer dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de una normal, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, no importa a qué altura dibujemos una línea horizontal, esta línea seguramente se cruzará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer absolutamente de cualquier número;
2. Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no es necesario pensar qué número se considera la raíz "correcta" y cuál ignorar. Es por eso que determinar las raíces para un grado impar es más sencillo que para un grado par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas tan sencillas no se expliquen en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a funcionar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: también necesitas saber qué es una raíz aritmética. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de ello, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $n$-ésima estarían incompletos.

Pero primero debes comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, se formará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada de nada.

Todo lo que necesitas hacer es entender la diferencia entre indicadores pares e impares. Por eso, recopilemos una vez más todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz de grado par existe sólo a partir de un número no negativo y en sí misma es siempre un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para números positivos es positiva y para números negativos, como sugiere el límite, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es completamente obvio! Así que ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades básicas y limitaciones.

Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; esto se discutirá en una lección separada. Por lo tanto, ahora consideraremos sólo el "truco" más importante, que se aplica sólo a raíces con un índice par. Escribamos esta propiedad como una fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz de la misma potencia, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede demostrar fácilmente (basta con considerar $x$ no negativos por separado y luego los negativos por separado). Los profesores hablan constantemente de ello, se incluye en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen un signo radical), los estudiantes olvidan unánimemente esta fórmula.

Para entender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos calcular dos números directamente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Estos son ejemplos muy simples. La mayoría de la gente resolverá el primer ejemplo, pero mucha gente se quedará estancada en el segundo. Para resolver cualquier problema de este tipo sin problemas, considere siempre el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es algo fácil. Obtendrá un nuevo número que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz cuarta. Aquellos. no se produce ninguna "reducción" de raíces y poderes; estas son acciones secuenciales.

Veamos la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero necesitas calcular la expresión bajo la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, lo que requiere multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de desventajas en el producto es 4, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). Luego volvemos a extraer la raíz:

En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta sería la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los inconvenientes y, en este sentido, el resultado es indistinguible de un módulo normal:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecha|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos concuerdan con la definición de raíz de grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también siempre contiene un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el procedimiento

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que siempre hay un número no negativo bajo el signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ en cualquier caso;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero tomamos la raíz de un cierto número $a$ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente raíces y grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si la raíz tiene un número negativo y su exponente es par, tenemos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes sólo para indicadores pares.

Quitar el signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que en principio no existe con las pares. A saber:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

En resumen, puede eliminar el signo menos debajo del signo de raíces de grados impares. Esta es una propiedad muy útil que le permite "deshacerse" de todas las desventajas:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no se preocupe: ¿qué pasa si debajo de la raíz se oculta una expresión negativa, pero el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los inconvenientes fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", seguramente nos llevarán a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que en la mayoría de las escuelas se inicia el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Encontrarse!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que bajo el signo raíz sólo puede haber números positivos o, en casos extremos, cero. Olvidémonos de los indicadores pares/impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?

Y luego obtendremos una raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como podemos ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a las gráficas de la parábola cuadrada y cúbica con las que ya estamos familiarizados:

Área de búsqueda de raíces aritméticas: números no negativos

Como puede ver, de ahora en adelante solo nos interesan aquellos fragmentos de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ e $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a poner un número negativo debajo de la raíz o no. Porque, en principio, los números negativos ya no se consideran.

Quizás se pregunte: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan neutralizada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada anteriormente?"

Bueno, daré sólo una propiedad por la cual la nueva definición resulta apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay ejemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

¿Así que cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos hacer esto antes? Este es el por qué. Consideremos una expresión simple: $\sqrt(-2)$ - este número es bastante normal en nuestro entendimiento clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puedes ver, en el primer caso quitamos el menos debajo del radical (tenemos todo el derecho, ya que el exponente es impar), y en el segundo caso usamos la fórmula anterior. Aquellos. Desde un punto de vista matemático, todo se hace según las reglas.

¡¿Qué carajo?! ¿Cómo puede un mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Lo que pasa es que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, empieza a producir una completa herejía en el caso de los números negativos.

Para deshacerse de tal ambigüedad se inventaron las raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos todas sus propiedades en detalle. Así que no nos detendremos en ellos ahora: la lección ya resultó ser demasiado larga.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Durante mucho tiempo pensé si poner este tema en un párrafo aparte o no. Al final decidí dejarlo aquí. Este material está destinado a aquellos que quieren comprender aún mejor las raíces, ya no en el nivel "escolar" promedio, sino en uno cercano al nivel de la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la $n$ésima raíz de un número y la división asociada en exponentes pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas. Esto se llama raíz algebraica.

Definición. La raíz algebraica $n$ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación establecida para dichas raíces, por lo que simplemente pondremos un guión encima:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, este conjunto viene en sólo tres tipos:

1. Conjunto vacio. Ocurre cuando necesitas encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
2. Conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar una función cuadrática. En consecuencia, tal disposición sólo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Evalúa las expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solución. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números los que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto formado por un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Recibimos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta potencia (es decir, ¡par!), nos dé el número negativo −16.

Nota final. Tenga en cuenta: no es casualidad que haya notado en todas partes que trabajamos con números reales. Porque también hay números complejos: es muy posible calcular $\sqrt(-16)$ allí, y muchas otras cosas extrañas.

Sin embargo, los números complejos casi nunca aparecen en los cursos de matemáticas de las escuelas modernas. Han sido eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es “demasiado difícil de entender”.

Eso es todo. En la próxima lección veremos todas las propiedades clave de las raíces y finalmente aprenderemos cómo simplificar expresiones irracionales. :)

Operaciones con potencias y raíces. Grado con negativo ,

cero y fraccionario indicador. Sobre expresiones que no tienen significado.

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar potencias con la misma base, sus exponentes suman:

soy · un norte = un metro + norte .

2. Al dividir grados con la misma base, sus exponentes se deducen .

3. El grado del producto de dos o más factores es igual al producto de los grados de estos factores.

(a B C… ) norte = un norte· bn · c norte…

4. El grado de una razón (fracción) es igual a la razón entre los grados del dividendo (numerador) y el divisor (denominador):

(a/b ) norte = un norte / segundo norte .

5. Al elevar una potencia a una potencia, sus exponentes se multiplican:

(soy ) norte = un metro norte .

Todas las fórmulas anteriores se leen y ejecutan en ambas direcciones, de izquierda a derecha y viceversa.

EJEMPLO (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4 .

Operaciones con raíces. En todas las fórmulas siguientes, el símbolo medio raíz aritmética(la expresión radical es positiva).

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto. raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre las raíces del dividendo y el divisor:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevarla a esta potencia. número radical:

4. Si aumentamos el grado de la raíz en metro levantarse para metro la enésima potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reducimos el grado de la raíz en metro extraer la raíz una vez y al mismo tiempo metro ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no es cambiará:

Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado grados sólo con exponentes naturales; pero acciones con grados y raíces también pueden conducir a negativo, cero Y fraccionario indicadores. Todos estos exponentes requieren una definición adicional.

Un grado con exponente negativo. Potencia de algún número c un exponente negativo (entero) se define como uno dividido por una potencia del mismo número con un exponente igual al valor absolutoindicador negativo:

t ahora la fórmula soy: un= soy - norte se puede utilizar no sólo parametro, más que norte, pero también con metro, menos que norte .

EJEMPLO a 4 :a 7 = un 4 - 7 = un - 3 .

Si queremos la fórmulasoy : un= soy - nortefue justo cuandometro = norte, Necesitamos una definición de grado cero.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.

EJEMPLOS. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real y a la potencia m/n , necesitas extraer la raíz enésima potencia de m -ésima potencia de este número A :

Sobre expresiones que no tienen significado. Hay varias expresiones de este tipo. cualquier número.

De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a algún número X, entonces según la definición de la operación de división tenemos: 0 = 0 · X. Pero esta igualdad ocurre cuando cualquier número x, que era lo que había que demostrar.

Caso 3.

0 0 - cualquier número.

En realidad,

Solución Consideremos tres casos principales:

1) X = 0 – este valor no satisface esta ecuación

(¿Por qué?).

2) cuando X> 0 obtenemos: x/x = 1, es decir 1 = 1, lo que significa

Qué X- cualquier número; pero teniendo en cuenta que en

En nuestro caso X> 0, la respuesta esX > 0 ;

3) cuando X < 0 получаем: – x/x= 1, es decir e . –1 = 1, por lo tanto,

En este caso no hay solución.

De este modo, X > 0.

Volví a mirar el cartel... ¡Y vamos!

Comencemos con algo simple:

Solo un minuto. esto, lo que significa que podemos escribirlo así:

¿Entiendo? Aquí tienes el siguiente:

¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:

¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:

Ahora completamente solo:

Respuestas:¡Bien hecho! De acuerdo, todo es muy fácil, ¡lo principal es conocer la tabla de multiplicar!

División de raíces

Hemos resuelto la multiplicación de raíces, ahora pasemos a la propiedad de la división.

Permítanme recordarles que la fórmula general se ve así:

Lo que significa que la raíz del cociente es igual al cociente de las raíces.

Bueno, veamos algunos ejemplos:

Eso es todo lo que es la ciencia. He aquí un ejemplo:

No todo es tan sencillo como en el primer ejemplo, pero, como puedes ver, no hay nada complicado.

¿Qué pasa si te encuentras con esta expresión?

Sólo necesitas aplicar la fórmula en la dirección opuesta:

Y aquí hay un ejemplo:

También puedes encontrarte con esta expresión:

Todo es igual, solo que aquí debes recordar cómo traducir fracciones (si no lo recuerdas, ¡mira el tema y regresa!). ¿Te acuerdas? ¡Ahora decidamos!

Estoy seguro de que lo has hecho todo, ahora intentemos levantar las raíces un poco.

exponenciación

¿Qué pasa si la raíz cuadrada se eleva al cuadrado? Es simple, recuerda el significado de la raíz cuadrada de un número: este es un número cuya raíz cuadrada es igual a.

Entonces, si elevamos al cuadrado un número cuya raíz cuadrada es igual, ¿qué obtenemos?

Bueno, ¡por supuesto!

Veamos ejemplos:

Es simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si la raíz está en un grado diferente? ¡Está bien!

Sigue la misma lógica y recuerda las propiedades y posibles acciones con grados.

Lea la teoría sobre el tema "" y todo le quedará muy claro.

Por ejemplo, aquí hay una expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:

Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Luego resuelve los ejemplos tú mismo:

Y aquí están las respuestas:

Entrando bajo el signo de la raíz.

¡Qué no hemos aprendido a hacer con las raíces! ¡Todo lo que queda es practicar ingresando el número debajo del signo raíz!

¡Es realmente fácil!

Digamos que tenemos un número escrito.

¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!

¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo Debemos recordar que sólo podemos introducir números positivos bajo el signo de la raíz cuadrada.

Resuelva este ejemplo usted mismo:
¿Lograste? Veamos qué deberías conseguir:

¡Bien hecho! ¡Logró ingresar el número debajo del signo raíz! Pasemos a algo igualmente importante: ¡veamos cómo comparar números que contienen una raíz cuadrada!

Comparación de raíces

¿Por qué necesitamos aprender a comparar números que contienen una raíz cuadrada?

Muy simple. A menudo, en las expresiones grandes y largas que encontramos en el examen, recibimos una respuesta irracional (¿recuerdas qué es esto? ¡Ya hablamos de esto hoy!)

Necesitamos colocar las respuestas recibidas en la línea de coordenadas, por ejemplo, para determinar qué intervalo es adecuado para resolver la ecuación. Y aquí surge el problema: no hay calculadora en el examen, y sin ella, ¿cómo imaginar qué número es mayor y cuál es menor? ¡Eso es todo!

Por ejemplo, determine cuál es mayor: ¿o?

No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz.

Entonces adelante:

Bueno, obviamente, cuanto mayor sea el número debajo del signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma!

Aquellos. si, entonces, .

De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Extraer raíces de grandes cantidades

Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas factorizarlo en factores y extraer lo que extraes!

Fue posible tomar un camino diferente y expandirse hacia otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.

La factorización es muy útil para resolver problemas no estándar como este:

¡No tengamos miedo, sino actuemos! Descompongamos cada factor bajo la raíz en factores separados:

Ahora pruébalo tú mismo (¡sin calculadora! No estará en el examen):

¿Es este el final? ¡No nos detengamos a mitad de camino!

Eso es todo, no da tanto miedo, ¿verdad?

¿Sucedió? ¡Bien hecho, así es!

Ahora prueba este ejemplo:

Pero el ejemplo es un hueso duro de roer, por lo que no se puede descubrir de inmediato cómo abordarlo. Pero, por supuesto, podemos manejarlo.

Bueno, ¿empecemos a factorizar? Notemos de inmediato que puedes dividir un número por (recuerda los signos de divisibilidad):

Ahora, pruébalo tú mismo (¡nuevamente, sin calculadora!):

Bueno, ¿funcionó? ¡Bien hecho, así es!

resumámoslo

1. La raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a.
   .
2. Si simplemente sacamos la raíz cuadrada de algo, siempre obtenemos un resultado no negativo.
3. Propiedades de una raíz aritmética:
4. Al comparar raíces cuadradas, es necesario recordar que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, mayor será la raíz misma.

¿Cómo es la raíz cuadrada? ¿Todo claro?

Intentamos explicarte sin complicaciones todo lo que necesitas saber en el examen sobre la raíz cuadrada.

Es tu turno. Escríbenos si este tema te resulta difícil o no.

¿Aprendiste algo nuevo o ya estaba todo claro?

¡Escribe en los comentarios y buena suerte en tus exámenes!