Ejes de inercia. Ejes principales y momentos de inercia principales Ejes principales de la sección

Los tres ejes principales, mutuamente perpendiculares, trazados a través del k.-l. punto del cuerpo y que tiene la propiedad de que si se toman como ejes de coordenadas, entonces los momentos centrífugos de inercia del cuerpo con respecto a estos ejes serán iguales a cero. si la televisión un cuerpo fijado en un punto se pone en rotación alrededor de un eje, que en un punto dado se manifiesta. principal O. y., entonces el cuerpo, en ausencia de fuerzas externas, continuará girando alrededor de este eje, como alrededor de uno estacionario. El concepto de la principal O. y. juega un papel importante en la dinámica de la televisión. cuerpo.

Diccionario enciclopédico físico. - M.: Enciclopedia soviética..1983 .

EJE DE INERCIA

Los principales son tres ejes mutuamente perpendiculares trazados a través del k.n. punto del cuerpo, coincidiendo con los ejes del elipsoide de inercia del cuerpo en este punto. Principal O. y. Tienen la propiedad de que si se toman como ejes de coordenadas, entonces los momentos centrífugos de inercia del cuerpo con respecto a estos ejes serán iguales a cero. Si uno de los ejes de coordenadas, por ejemplo. eje Oh, es para el punto ACERCA DE principal O. y., momentos de inercia centrífugos, cuyos índices incluyen el nombre del eje, es decir. yo xy Y yo xz, son iguales a cero. Si un cuerpo sólido, fijado en un punto, se hace girar alrededor de un eje, que en un punto dado es el principal O. y., entonces el cuerpo carece de eje externo. Las fuerzas continuarán girando alrededor de este eje, como si estuvieran estacionarias.

Enciclopedia física. En 5 volúmenes. - M.: Enciclopedia soviética.Editor en jefe A. M. Prokhorov.1988 .

Momentos de inercia axiales de la sección. relativo a los ejes X Y en(ver figura 32, A) se llaman integrales definidas de la forma

Al determinar los momentos de inercia axiales, en algunos casos es necesario encontrar otra nueva característica geométrica de la sección: el momento de inercia centrífugo.

Momento de inercia centrífugo secciones relativas a dos ejes mutuamente perpendiculares x y(ver figura 32, A)

Momento polar de inercia secciones relativas al origen ACERCA DE(ver figura 32, A) se llama integral definida de la forma

Dónde R- distancia desde el origen de coordenadas al área elemental da.

Los momentos de inercia axial y polar son siempre positivos, y el momento centrífugo, según la elección de los ejes, puede ser positivo, negativo o igual a cero. Unidades de designación de momentos de inercia - cm 4, mm 4.

Existe la siguiente relación entre los momentos de inercia polar y axial:

Según la fórmula (41), la suma de los momentos de inercia axiales alrededor de dos ejes mutuamente perpendiculares es igual al momento polar de inercia alrededor del punto de intersección de estos ejes (origen).

Momentos de inercia de secciones con respecto a ejes paralelos, uno de los cuales es central (xs,yc)> se determinan a partir de las expresiones:

Dónde y Iv- coordenadas del centro de gravedad C de la sección (Fig. 34).

Las fórmulas (42), que tienen una gran aplicación práctica, dicen lo siguiente: el momento de inercia de una sección con respecto a cualquier eje es igual al momento de inercia con respecto a un eje paralelo a él y que pasa por el centro de gravedad de la sección, más el producto del área de la sección transversal y el cuadrado de la distancia entre los ejes.

nota: coordenadas a y c deben sustituirse en las fórmulas (42) dadas anteriormente, teniendo en cuenta sus signos.

Arroz. 34.

De las fórmulas (42) se deduce que de todos los momentos de inercia con respecto a ejes paralelos, el momento más pequeño será con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de la sección, es decir, el momento de inercia central.

Las fórmulas para determinar la resistencia y rigidez de una estructura incluyen momentos de inercia, que se calculan con respecto a los ejes, que no solo son centrales, sino también principales. Para determinar qué ejes que pasan por el centro de gravedad son los principales, es necesario poder determinar los momentos de inercia con respecto a los ejes que giran entre sí en un cierto ángulo.

Las relaciones entre los momentos de inercia al girar los ejes de coordenadas (Fig.35) tienen la siguiente forma:

Dónde A- ángulo de rotación del eje Y Y v relativo a los ejes alheña respectivamente. Se considera el ángulo a positivo, si la rotación de los ejes Y y te pasa en sentido anti-horario.

Arroz. 35.

La suma de los momentos de inercia axiales con respecto a cualquier eje mutuamente perpendicular no cambia cuando giran:

Cuando los ejes giran alrededor del origen de coordenadas, el momento de inercia centrífugo cambia. continuamente, por lo tanto, en una determinada posición de los ejes, se vuelve igual a cero.

Dos ejes mutuamente perpendiculares alrededor de los cuales el momento de inercia centrífuga de la sección es igual a cero se llaman principales ejes de inercia.

La dirección de los principales ejes de inercia se puede determinar de la siguiente manera:

Dos valores del ángulo obtenidos de la fórmula (43) A difieren entre sí en 90° y dan la posición de los ejes principales. Como vemos, el menor de estos ángulos en valor absoluto no excede l/4. En lo que sigue solo usaremos el ángulo más pequeño. El eje principal dibujado en este ángulo se indicará con la letra Y. En la Fig. 36 muestra algunos ejemplos de designación de los ejes principales de acuerdo con esta regla. Los ejes iniciales están designados por letras. ji y.

Arroz. 36.

En problemas de flexión, es importante conocer los momentos axiales de inercia de las secciones con respecto a aquellos ejes principales que pasan por el centro de gravedad de la sección.

Los ejes principales que pasan por el centro de gravedad de la sección se denominan ejes centrales principales. En lo que sigue, por regla general, por brevedad, llamaremos simplemente a estos ejes ejes principales, omitiendo la palabra “central”.

El eje de simetría de una sección plana es el principal eje central de inercia de esta sección, el segundo eje es perpendicular a él. En otras palabras, el eje de simetría y cualquier perpendicular a él forman un sistema de ejes principales.

Si una sección plana tiene al menos dos ejes de simetría que no son perpendiculares entre sí, entonces todos los ejes que pasan por el centro de gravedad de dicha sección son sus principales ejes centrales de inercia. Así, en la Fig. En la Figura 37 se muestran algunos tipos de secciones (círculo, anillo, cuadrado, hexágono regular, etc.) que tienen la siguiente propiedad: cualquier eje que pase por su centro de gravedad es el principal.

Arroz. 37.

Cabe señalar que los ejes principales no centrales no nos interesan.

En la teoría de la flexión, los momentos de inercia con respecto a los ejes centrales principales son de gran importancia.

Los principales momentos centrales de inercia. o principales momentos de inercia se denominan momentos de inercia respecto de los ejes centrales principales. Además, en relación con uno de los ejes principales, el momento de inercia. máximo, relativamente diferente - mínimo:

Momentos axiales de inercia de las secciones mostradas en la Fig. 37, calculados con respecto a los ejes centrales principales, son iguales entre sí: Jy, Entonces: ju = J x cos 2 a +J y sen a = Jx.

Los momentos de inercia de una sección compleja son iguales a la suma de los momentos de inercia de sus partes. Por tanto, para determinar los momentos de inercia de una sección compleja, podemos escribir:

dios eJ xi , J y „ J xiyi son los momentos de inercia de las partes individuales de la sección.

Nota: si el tramo tiene un agujero, entonces es conveniente considerarlo un tramo con área negativa.

Para realizar cálculos de resistencia en el futuro, introduciremos una nueva característica geométrica de la resistencia de una viga sometida a flexión recta. Esta característica geométrica se denomina momento de resistencia axial o momento de resistencia durante la flexión.

La relación entre el momento de inercia de una sección con respecto a un eje y la distancia desde este eje hasta el punto más distante de la sección se llama momento axial de resistencia:

El momento de resistencia tiene la dimensión de mm 3, cm 3.

Los momentos de inercia y momentos de resistencia de las secciones simples más comunes están determinados por las fórmulas que figuran en la tabla. 3.

Para vigas de acero laminado (vigas en I, canales, vigas en ángulo, etc.), los momentos de inercia y los momentos de resistencia se dan en tablas de surtidos de acero laminado, donde, además de las dimensiones, las áreas de la sección transversal, las posiciones de los centros de Se dan la gravedad y otras características.

En conclusión, introducimos el concepto. Radio de giro secciones relativas a los ejes de coordenadas X Y en - yo x Y yo y respectivamente, las cuales están determinadas por las siguientes fórmulas.

Ejes principales - estos son los ejes alrededor de los cuales los momentos axiales de inercia toman valores extremos: mínimo y máximo.

Los principales momentos centrales de inercia se calculan con respecto a los ejes principales que pasan por el centro de gravedad.

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1. Determinar la magnitud de los momentos de inercia axiales de una figura plana con respecto a los ejes. Oh Y UNED(Figura 25.5).

Solución

1. Determine el momento de inercia axial con respecto al eje. Oh. Usamos fórmulas para los principales puntos centrales. Imaginemos el momento de inercia de la sección como la diferencia entre los momentos de inercia de un círculo y un rectángulo.

para un circulo

para un rectángulo

Para un rectángulo, el eje Oh no pasa por la central de calefacción central. Momento de inercia de un rectángulo respecto de un eje. Oh:

donde A es el área de la sección transversal; a - distancia entre ejes Oh Y ooh oh.

Momento de inercia de la sección

Ejemplo 2. Encuentre el momento de inercia central principal de la sección con respecto al eje. Oh(Figura 25.6).

Solución

1. La sección se compone de perfiles estándar, cuyos principales momentos de inercia centrales se dan en las tablas GOST, consulte el Apéndice 1. Para viga I No. 14 según GOST 8239-89 jox 1 = 572 cm 4.

Para el canal número 16 según GOST 8240-89 jox 2 = 757 cm 4.

Área A 2 = 18,1 cm 2, Alegría 2 = 63,3 cm 4.

2. Determine la coordenada del centro de gravedad del canal con respecto al eje. Oh. En una sección determinada, el canal se gira y se eleva. En este caso, los principales ejes centrales intercambiaron lugares.

y2 = (h1/2) + re 2-zo 2, según GOST encontramos h 1 = 14 cm; re 2= 5 milímetros; z o = 1,8 cm.

El momento de inercia de la sección es igual a la suma de los momentos de inercia de los canales y la viga en I con respecto al eje. Oh. Usamos la fórmula para los momentos de inercia respecto de ejes paralelos:

En este caso

Ejemplo 3. Para una sección dada (figura 2.45), calcule los principales momentos de inercia centrales.

Solución

La sección tiene dos ejes de simetría, que son sus principales ejes centrales.

Dividimos la sección en dos formas simples: un rectángulo ( I) y dos círculos (II).

Momento de inercia de la sección respecto al eje. X

Eje X(el eje central de la sección) no es el eje central del círculo. Por lo tanto, el momento de inercia del círculo debe calcularse mediante la fórmula

Sustituyendo valores J x '' , a, F" en la fórmula, obtenemos

Eje en es el centro del rectángulo y los círculos. Por eso,

Ejemplo 4. Para una sección dada (Fig. 2.46), determine la posición de los ejes centrales principales y calcule los principales momentos de inercia centrales.

Solución

El centro de gravedad se encuentra sobre el eje Oy, ya que es el eje de simetría de la sección. Dividiendo la sección en dos rectángulos I(160 x 100) y II(140 x 80) y seleccionando el eje menor y, determinando la coordenada del centro de gravedad. v 0 según la fórmula

Ejes Oh Y UNED- ejes centrales principales de la sección ( UNED- eje de simetría, eje Oh pasa por el centro de gravedad de la sección y es perpendicular a UNED).

Calcular los principales momentos de inercia de la sección. Jx Y J y:

El eje y es el eje central de los rectángulos. 1 Y 11. Por eso,

Para comprobar la exactitud de la solución, puede dividir la sección en rectángulos de otra forma y realizar el cálculo nuevamente. La coincidencia de los resultados confirmará su exactitud.

Ejemplo 5 Calcule los principales momentos de inercia centrales de la sección (figura 2.47).

Solución

La sección tiene dos ejes de simetría, que son sus principales ejes centrales.

Divida la sección en dos rectángulos con segundo * h = 140 x 8 y dos canales enrollados. Para el canal número 16 de la tabla GOST 8240 - 72 tenemos J X 1 = J x = 747 cm 4; J y 1 = 63,3 cm 9. F 1= 18,1 cm2, z 0= 1,8 cm.

Calculemos J x y J y:

Ejemplo 6. Determine la posición de los ejes centrales principales y calcule los principales momentos de inercia centrales de una sección determinada (figura 2.48).

Solución

Dividimos la sección dada en perfiles laminados: canal I y dos vigas en I II. Tomamos las características geométricas del canal y la viga en I de las tablas de acero laminado GOST 8240-72 y GOST 8239 - 72.

Para el canal N° 20 J Xl = 113 cm 4 (en la mesa J y); jy 1 = 1520 cm 4 (en la tabla Jx); F 1= 23,4 cm2; GRAMO 0 = 2,07 cm.

Para viga I No. 18 J x 2= 1330 cm 4 (en la tabla J x); Jy 2 = 94,6 cm 4 (en la tabla J y); F 2 = 23,8 cm2.

Uno de los ejes principales es el eje de simetría. UNED, otro eje principal Oh pasa por el centro de gravedad de la sección perpendicular a la primera.

Seleccionar un eje auxiliar Y y determinar la coordenada v 0:

Dónde v 1= 180 + 20,7 = 200,7 mm y v 2= 180/2 = 90 mm. calculamos Jx Y j y:

Preguntas y tareas de prueba

1. Se duplicó el diámetro del eje macizo. ¿Cuántas veces aumentarán los momentos axiales de inercia?

2. Los momentos axiales de la sección son iguales, respectivamente. J x = 2,5 mm 4 y J y = 6,5 mm. Determine el momento polar de la sección.

3. Momento de inercia axial del anillo con respecto al eje. Oh J x = 4 cm 4. determinar el valor Jp.

4. En que caso Jx¿el más pequeño (figura 25.7)?

5. ¿Cuál de las siguientes fórmulas para determinar Jx adecuado para la sección que se muestra en la Fig. 25,8?

6. Momento de inercia del canal No. 10 con respecto al eje central principal JXQ= 174 cm 4 ; área de la sección transversal 10,9 cm 2 .

Determine el momento de inercia axial con respecto al eje que pasa por la base del canal (figura 25.9).

7. Compare los momentos polares de inercia de dos secciones que tienen áreas casi idénticas (figura 25.10).

8. Compare los momentos axiales de inercia con respecto al eje. Oh un rectángulo y un cuadrado que tienen las mismas áreas (figura 25.11).

Principales ejes de inercia y principales momentos de inercia.

Cuando el ángulo cambia, las cantidades Ix1, Iy1 e Ix1y1 cambian. Encontremos el valor del ángulo en el que Ix1 e Iy1 tienen valores extremos; para ello se toma la primera derivada de Ix1 o Iy1 con respecto a e iguala a cero: o de donde (1.28)

Esta fórmula determina la posición de dos ejes, respecto de uno de los cuales el momento de inercia axial es máximo y respecto del otro, mínimo.

Estos ejes se denominan ejes principales. Los momentos de inercia respecto de los ejes principales se denominan momentos de inercia principales.

Encontramos los valores de los principales momentos de inercia a partir de las fórmulas (1.23) y (1.24), sustituyéndolos por la fórmula (1.28), y utilizamos las conocidas fórmulas de trigonometría para funciones de ángulos dobles.

Después de las transformaciones, obtenemos la siguiente fórmula para determinar los principales momentos de inercia: (1.29)

Examinando la segunda derivada podemos establecer que para este caso (Ix< Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Los ejes principales que pasan por el centro de gravedad de la sección se denominan ejes centrales principales.

En muchos casos, es posible determinar inmediatamente la posición de los ejes centrales principales. Si una figura tiene un eje de simetría, entonces es uno de los ejes centrales principales, pasando el segundo por el centro de gravedad de la sección perpendicular al primero. Lo anterior se deriva del hecho de que con respecto al eje de simetría y cualquier eje perpendicular a él, el momento de inercia centrífugo es igual a cero.

Si los dos principales momentos de inercia centrales de una sección son iguales entre sí, entonces para esta sección cualquier eje central es el principal y todos los principales momentos de inercia centrales son iguales (círculo, cuadrado, hexágono, hexágono equilátero) .

9. Características geométricas básicas de las secciones.

Aquí: C- centro de gravedad de secciones planas;

A- área de sección transversal;

I X ,I y- momentos axiales de inercia de la sección con respecto a los ejes principales;

I xI ,I y yo- momentos de inercia axiales con respecto a los ejes auxiliares;

I pag- momento polar de inercia de la sección;

W. X ,W y- momentos axiales de resistencia;

W. pag- momento polar de resistencia

Sección rectangular

Sección de un triángulo isósceles

10. Los principales tipos de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Momento de fuerza respecto al centro. Propiedades del momento de fuerzas.

Al considerar los problemas mecánicos, la mayoría de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos se pueden clasificar en tres tipos principales:

La fuerza de la gravedad;

Fuerza de fricción;

Fuerza elástica.

Todos los cuerpos que nos rodean son atraídos hacia la Tierra, esto se debe a la acción de las fuerzas de la gravedad universal. Si descuidamos la resistencia del aire, entonces ya sabemos que todos los cuerpos caen a la Tierra con la misma aceleración: la aceleración de la gravedad.

Como cualquier objeto, un cuerpo suspendido sobre un resorte tiende a caer debido a la gravedad de la Tierra, pero cuando el resorte se estira hasta una cierta longitud, el cuerpo se detiene, es decir, llega a un estado de equilibrio mecánico. Ya sabemos que el equilibrio mecánico se produce cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. Esto significa que la fuerza de gravedad que actúa sobre la carga debe equilibrarse con alguna fuerza ejercida por el resorte. Esta fuerza, dirigida contra la gravedad y que actúa desde el resorte, se llama fuerza elástica.

Después de recorrer una cierta distancia, el cuerpo se detiene, la velocidad del cuerpo disminuye del valor inicial a cero, es decir, la aceleración del cuerpo es un valor negativo. En consecuencia, sobre el cuerpo actúa una fuerza desde la superficie, que tiende a detener este cuerpo, es decir, actúa en contra de su velocidad. Esta fuerza se llama fuerza de fricción.

Momento de fuerza con respecto al centro (punto).

Un momento de poder F relativo al centro (punto) ACERCA DE llamado vector metro oh (F) igual producto vectorial radio vectorial r realizado desde el centro ACERCA DE exactamente A aplicación de fuerza, sobre el vector de fuerza F:

donde el hombro h es una perpendicular caída desde el centro ACERCA DE a la línea de acción de la fuerza F.

Momento metro oh (F) caracteriza el efecto rotacional de la fuerza F alrededor del centro (punto) ACERCA DE.

Propiedades del momento de fuerza:

1. Momento de fuerza relativo al centro. no cambia al transferir fuerza a lo largo de la línea de su acción a cualquier punto;

2. Si Línea de acción pases de fuerza por el centro ACERCA DE(h = 0), entonces el momento de fuerza relativo al centro ACERCA DE igual a cero.

Los ejes alrededor de los cuales el momento centrífugo de inercia es cero se llaman principales, y los momentos de inercia alrededor de estos ejes se llaman momentos de inercia principales.

Reescribamos la fórmula (2.18) teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas conocidas:

;

ene sta forma

Para determinar la posición de los ejes centrales principales, derivamos la igualdad (2.21) con respecto al ángulo α una vez y obtenemos

Para un cierto valor del ángulo α=α 0, el momento de inercia centrífugo puede resultar cero. Por tanto, teniendo en cuenta la derivada ( V), el momento de inercia axial tomará un valor extremo. equiparando

,

obtenemos una fórmula para determinar la posición de los principales ejes de inercia en la forma:

(2.22)

En la fórmula (2.21) ponemos cos2 entre paréntesis α 0 y sustituir allí el valor (2.22) y, teniendo en cuenta la dependencia trigonométrica conocida obtenemos:

Después de la simplificación, finalmente obtenemos la fórmula para determinar los valores de los principales momentos de inercia:

(2.23)

La fórmula (20.1) se utiliza para determinar los momentos de inercia con respecto a los ejes principales. La fórmula (2.22) no da una respuesta directa a la pregunta: sobre qué eje el momento de inercia será máximo o mínimo. Por analogía con la teoría para estudiar un estado de tensión plano, presentamos fórmulas más convenientes para determinar la posición de los principales ejes de inercia:

(2.24)

Aquí α 1 y α 2 determinan la posición de los ejes alrededor de los cuales los momentos de inercia son respectivamente iguales. j 1 y j 2. Hay que tener en cuenta que la suma de los módulos de ángulos α 01 y α 02 debería ser igual a π/2:

La condición (2.24) es la condición para la ortogonalidad de los principales ejes de inercia de una sección plana.

Cabe señalar que al utilizar las fórmulas (2.22) y (2.24) para determinar la posición de los principales ejes de inercia, se debe observar el siguiente patrón:

El eje principal, respecto al cual el momento de inercia es máximo, forma el ángulo más pequeño con el eje original, respecto al cual el momento de inercia es mayor.

Ejemplo 2.2.

Determine las características geométricas de las secciones planas de madera con respecto a los ejes centrales principales:

Solución

La sección propuesta es asimétrica. Por lo tanto, la posición de los ejes centrales estará determinada por dos coordenadas, los ejes centrales principales girarán con respecto a los ejes centrales en un cierto ángulo. Esto conduce a un algoritmo para resolver el problema de determinar las principales características geométricas.

1. Dividimos la sección en dos rectángulos con las siguientes áreas y momentos de inercia respecto de sus propios ejes centrales:

F1 =12 cm2, F2 =18 cm2;

2. Definimos un sistema de ejes auxiliares X 0 en 0 comenzando en el punto A. Las coordenadas de los centros de gravedad de los rectángulos en este sistema de ejes son las siguientes:

X 1 = 4 cm; X 2 = 1 cm; en 1 = 1,5 cm; en 2 = 4,5 cm.

3. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la sección según las fórmulas (2.4):

Aplicamos los ejes centrales (en rojo en la Fig. 2.9).

4. Calcule los momentos de inercia axial y centrífugo con respecto a los ejes centrales. X con y en c según las fórmulas (2.13) aplicadas a una sección compuesta:

5. Encontramos los principales momentos de inercia según la fórmula (2.23)

6. Determinar la posición de los principales ejes centrales de inercia. X Y en según la fórmula (2.24):

Los principales ejes centrales se muestran en la (Fig. 2.9) en azul.

7. Comprobemos los cálculos realizados. Para ello realizaremos los siguientes cálculos:

La suma de los momentos de inercia axiales respecto de los ejes central principal y central debe ser la misma:

Suma de módulos de ángulos α X y α y,, definiendo la posición de los principales ejes centrales:

Además, se cumple la disposición de que el eje central principal X, sobre el cual el momento de inercia Jx tiene el valor máximo, forma un ángulo menor con el eje central con respecto al cual el momento de inercia es mayor, es decir con eje X Con.