Lo que se necesita para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo. Determinación del centro de gravedad de figuras planas. Métodos para determinar las coordenadas de los centros de gravedad de cuerpos.

6.1. información general

Centro de fuerzas paralelas
Consideremos dos fuerzas paralelas dirigidas en una dirección y aplicadas al cuerpo en los puntos A 1 y A 2 (Figura 6.1). Este sistema de fuerzas tiene una resultante, cuya línea de acción pasa por un determinado punto. CON. Posición del punto CON se puede encontrar usando el teorema de Varignon:

Si giras las fuerzas y cerca de los puntos. A 1 y A 2 en una dirección y en el mismo ángulo, entonces obtenemos un nuevo sistema de salas paralelas que tienen los mismos módulos. En este caso, su resultante también pasará por el punto. CON. Este punto se llama centro de fuerzas paralelas.
Consideremos un sistema de fuerzas paralelas e idénticamente dirigidas aplicadas a un cuerpo sólido en puntos. Este sistema tiene una resultante.
Si cada fuerza del sistema se gira cerca de los puntos de su aplicación en la misma dirección y en el mismo ángulo, entonces se obtendrán nuevos sistemas de fuerzas paralelas idénticamente dirigidas con los mismos módulos y puntos de aplicación. La resultante de tales sistemas tendrá el mismo módulo. R, pero cada vez en una dirección diferente. Habiendo doblado mis fuerzas F 1 y F 2 encontramos que su resultante R 1, que siempre pasará por el punto CON 1, cuya posición está determinada por la igualdad. Plegar más R 1 y F 3, encontramos su resultante, que siempre pasará por el punto CON 2 acostados en línea recta A 3 CON 2. Habiendo completado el proceso de sumar fuerzas hasta el final, llegaremos a la conclusión de que la resultante de todas las fuerzas siempre pasará por el mismo punto. CON, cuya posición relativa a los puntos se mantendrá sin cambios.
Punto CON, a través del cual pasa la línea de acción del sistema resultante de fuerzas paralelas para cualquier rotación de estas fuerzas cerca de los puntos de su aplicación en la misma dirección en el mismo ángulo se llama centro de fuerzas paralelas (figura 6.2).

Fig.6.2

Determinemos las coordenadas del centro de fuerzas paralelas. Desde la posición del punto CON con respecto al cuerpo no cambia, entonces sus coordenadas no dependen de la elección del sistema de coordenadas. Giremos todas las fuerzas alrededor de su aplicación para que queden paralelas al eje. UNED y aplicar el teorema de Varignon a las fuerzas de rotación. Porque R" es la resultante de estas fuerzas, entonces, según el teorema de Varignon, tenemos , porque , , obtenemos

Desde aquí encontramos la coordenada del centro de fuerzas paralelas. zc:

Para determinar las coordenadas. xc Creemos una expresión para el momento de las fuerzas con respecto al eje. Onz.

Para determinar las coordenadas. yc giremos todas las fuerzas para que queden paralelas al eje Onz.

La posición del centro de fuerzas paralelas con respecto al origen (figura 6.2) se puede determinar mediante su vector de radio:

6.2. Centro de gravedad de un cuerpo rígido.

Centro de gravedad de un cuerpo rígido es un punto invariablemente asociado con este cuerpo CON, por donde pasa la línea de acción de las fuerzas de gravedad resultantes de un cuerpo determinado, para cualquier posición del cuerpo en el espacio.
El centro de gravedad se utiliza para estudiar la estabilidad de las posiciones de equilibrio de cuerpos y medios continuos bajo la influencia de la gravedad y en algunos otros casos, a saber: en la resistencia de materiales y en mecánica estructural, cuando se utiliza la regla de Vereshchagin.
Hay dos formas de determinar el centro de gravedad de un cuerpo: analítica y experimental. El método analítico para determinar el centro de gravedad se deriva directamente del concepto de centro de fuerzas paralelas.
Las coordenadas del centro de gravedad, como centro de fuerzas paralelas, están determinadas por las fórmulas:

Dónde R- peso corporal total; paquete- peso de las partículas corporales; xk, yk, zk- coordenadas de partículas corporales.
Para un cuerpo homogéneo, el peso de todo el cuerpo y de cualquier parte de él es proporcional al volumen. P=Vγ, pk = vk γ, Dónde γ - peso por unidad de volumen, V- volumen corporal. Sustituyendo expresiones PAG, paquete en la fórmula para determinar las coordenadas del centro de gravedad y, reduciendo por un factor común γ , obtenemos:

Punto CON, cuyas coordenadas están determinadas por las fórmulas resultantes, se llama centro de gravedad del volumen.
Si el cuerpo es una placa delgada y homogénea, entonces el centro de gravedad está determinado por las fórmulas:

Dónde S- área de toda la placa; sk- área de su parte; xk, yk- coordenadas del centro de gravedad de las piezas de la placa.
Punto CON en este caso se llama área del centro de gravedad.
Los numeradores de expresiones que determinan las coordenadas del centro de gravedad de figuras planas se denominan con momentos estáticos del área relativo a los ejes en Y X:

Entonces el centro de gravedad del área se puede determinar mediante las fórmulas:

Para cuerpos cuya longitud es muchas veces mayor que las dimensiones de la sección transversal, determine el centro de gravedad de la línea. Las coordenadas del centro de gravedad de la línea están determinadas por las fórmulas:

Dónde l- Longitud de la línea; lk- la longitud de sus partes; xk, yk, zk- coordenada del centro de gravedad de partes de la línea.

6.3. Métodos para determinar las coordenadas de los centros de gravedad de cuerpos.

A partir de las fórmulas obtenidas, es posible proponer métodos prácticos para determinar los centros de gravedad de los cuerpos.
1. Simetría. Si un cuerpo tiene centro de simetría, entonces el centro de gravedad está en el centro de simetría.
Si el cuerpo tiene un plano de simetría. Por ejemplo, el plano XOU, entonces el centro de gravedad se encuentra en este plano.
2. Terrible. Para cuerpos formados por cuerpos con formas simples, se utiliza el método de división. El cuerpo se divide en partes, cuyo centro de gravedad está determinado por el método de simetría. El centro de gravedad de todo el cuerpo está determinado por las fórmulas para el centro de gravedad del volumen (área).

Ejemplo. Determine el centro de gravedad de la placa que se muestra en la siguiente figura (Fig. 6.3). La placa se puede dividir en rectángulos de varias formas y se pueden determinar las coordenadas del centro de gravedad de cada rectángulo y su área.

Fig.6.3

Respuesta: XC=17,0 cm; yC= 18,0 cm.

3. Suma. Este método es un caso especial del método de partición. Se utiliza cuando el cuerpo tiene cortes, cortes, etc., si se conocen las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo sin el corte.

Ejemplo. Determine el centro de gravedad de una placa circular que tiene un radio de corte. r = 0,6 R(Figura 6.4).

Fig.6.4

Una placa redonda tiene un centro de simetría. Situemos el origen de coordenadas en el centro de la placa. Zona de placa sin recorte, zona de recorte. Plato cuadrado con recorte; .
La placa con un recorte tiene un eje de simetría. О1 x, por eso, yc=0.

4. Integración. Si el cuerpo no se puede dividir en un número finito de partes, cuyas posiciones de centros de gravedad se conocen, el cuerpo se divide en pequeños volúmenes arbitrarios, para lo cual la fórmula que utiliza el método de partición toma la forma: .
Luego van al límite, dirigiendo los volúmenes elementales a cero, es decir contrayendo volúmenes en puntos. Las sumas se reemplazan por integrales extendidas a todo el volumen del cuerpo, luego las fórmulas para determinar las coordenadas del centro de gravedad del volumen toman la forma:

Fórmulas para determinar las coordenadas del centro de gravedad de un área:

Las coordenadas del centro de gravedad del área deben determinarse al estudiar el equilibrio de placas, al calcular la integral de Mohr en mecánica estructural.

Ejemplo. Determinar el centro de gravedad de un arco circular de radio. R con ángulo central CUALQUIER OTRO NEGOCIO= 2α (figura 6.5).

Arroz. 6.5

El arco de un círculo es simétrico al eje. Oh, por lo tanto, el centro de gravedad del arco se encuentra en el eje Oh, yс = 0.
Según la fórmula para el centro de gravedad de una línea:

6.Método experimental. Los centros de gravedad de cuerpos no homogéneos de configuración compleja se pueden determinar experimentalmente: mediante el método de colgar y pesar. El primer método consiste en suspender el cuerpo de un cable en varios puntos. La dirección del cable del que está suspendido el cuerpo dará la dirección de la gravedad. El punto de intersección de estas direcciones determina el centro de gravedad del cuerpo.
El método de pesaje implica determinar primero el peso de una carrocería, como por ejemplo un automóvil. Luego, en la báscula se determina la presión del eje trasero del vehículo sobre el soporte. Al elaborar una ecuación de equilibrio con respecto a un punto, por ejemplo, el eje de las ruedas delanteras, se puede calcular la distancia desde este eje al centro de gravedad del automóvil (figura 6.6).

Fig.6.6

A veces, al resolver problemas, es necesario utilizar simultáneamente diferentes métodos para determinar las coordenadas del centro de gravedad.

6.4. Centros de gravedad de algunas figuras geométricas simples.

Para determinar los centros de gravedad de cuerpos de formas frecuentes (triángulo, arco circular, sector, segmento), es conveniente utilizar datos de referencia (Tabla 6.1).

Tabla 6.1

Coordenadas del centro de gravedad de algunos cuerpos homogéneos.

№	Nombre de la figura	Dibujo
	Arco de círculo: el centro de gravedad de un arco de círculo uniforme está en el eje de simetría (coordenada UC=0). R- radio del círculo.
	Sector circular homogéneo UC=0). donde α es la mitad del ángulo central; R- radio del círculo.
	Segmento: el centro de gravedad está situado en el eje de simetría (coordenada UC=0). donde α es la mitad del ángulo central; R- radio del círculo.
	Semicírculo:
	Triángulo: el centro de gravedad de un triángulo homogéneo está en el punto de intersección de sus medianas. Dónde x1, y1, x2, y2, x3, y3- coordenadas de los vértices del triángulo
	Cono: el centro de gravedad de un cono circular uniforme se encuentra en su altura y se encuentra a una distancia de 1/4 de la altura de la base del cono.

Con base en las fórmulas generales obtenidas anteriormente, es posible indicar métodos específicos para determinar las coordenadas de los centros de gravedad de los cuerpos.

1. Simetría. Si un cuerpo homogéneo tiene un plano, eje o centro de simetría (Fig. 7), entonces su centro de gravedad se encuentra, respectivamente, en el plano de simetría, eje de simetría o en el centro de simetría.

Fig.7

2. Terrible. El cuerpo se divide en un número finito de partes (Fig. 8), de cada una de las cuales se conocen la posición del centro de gravedad y el área.

Fig.8

3.Método del área negativa. Un caso especial del método de partición (Fig. 9). Se aplica a cuerpos que tienen recortes si se conocen los centros de gravedad del cuerpo sin el recorte y la parte recortada. Un cuerpo en forma de placa con un recorte está representado por una combinación de una placa sólida (sin un recorte) con un área S 1 y un área de la parte recortada S 2 .

Fig.9

4.Método de agrupación. Es un buen complemento a los dos últimos métodos. Después de dividir una figura en sus elementos componentes, conviene volver a combinar algunos de ellos para luego simplificar la solución teniendo en cuenta la simetría de este grupo.

Centros de gravedad de algunos cuerpos homogéneos.

1) Centro de gravedad de un arco circular. Considere el arco AB radio R con un ángulo central. Debido a la simetría, el centro de gravedad de este arco se encuentra en el eje Buey(Figura 10).

Fig.10

Encontremos la coordenada usando la fórmula. Para hacer esto, seleccione en el arco. AB elemento mm' longitud, cuya posición está determinada por el ángulo. Coordinar X elemento mm' voluntad . Sustituyendo estos valores X y d yo y teniendo en cuenta que la integral debe extenderse a toda la longitud del arco, obtenemos:

Dónde l- longitud de arco AB, igual a .

De aquí finalmente encontramos que el centro de gravedad de un arco circular se encuentra sobre su eje de simetría a una distancia del centro. ACERCA DE, igual

donde el ángulo se mide en radianes.

2) Centro de gravedad del área del triángulo. Considere un triángulo que se encuentra en el plano. oxi, cuyas coordenadas de vértices se conocen: yo(xyo,y yo), (i= 1,2,3). Rompiendo el triángulo en tiras estrechas paralelas al lado A 1 A 2, llegamos a la conclusión de que el centro de gravedad del triángulo debe pertenecer a la mediana A 3 METRO 3 (figura 11).

Fig.11

Romper un triángulo en tiras paralelas al lado A 2 A 3, podemos verificar que debe estar en la mediana A 1 METRO 1 . De este modo, el centro de gravedad de un triángulo se encuentra en el punto de intersección de sus medianas, que, como se sabe, separa una tercera parte de cada mediana, contando desde el lado correspondiente.

En particular, para la mediana A 1 METRO 1 obtenemos, teniendo en cuenta que las coordenadas del punto METRO 1 es la media aritmética de las coordenadas de los vértices A 2 y A 3:

xc = X 1 + (2/3)∙(xm 1 - X 1) = X 1 + (2/3)∙[(X 2 + X 3)/2-X 1 ] = (X 1 +X 2 +X 3)/3.

Así, las coordenadas del centro de gravedad del triángulo son la media aritmética de las coordenadas de sus vértices:

X C =(1/3)Σ xyo ; y C =(1/3)Σ y yo.

3) Centro de gravedad del área de un sector circular. Considere un sector de un círculo con radio. R con un ángulo central de 2α, ubicado simétricamente con respecto al eje Buey(Figura 12).

Es obvio que y C = 0, y la distancia desde el centro del círculo desde el cual se corta este sector hasta su centro de gravedad se puede determinar mediante la fórmula:

Fig.12

La forma más sencilla de calcular esta integral es dividiendo el dominio de integración en sectores elementales con un ángulo dφ. Preciso para infinitesimales de primer orden, dicho sector puede ser reemplazado por un triángulo con una base igual a R× dφ y altura R. El área de tal triángulo. dF=(1/2)R 2 ∙dφ, y su centro de gravedad está a una distancia de 2/3 R desde el vértice, por lo tanto en (5) ponemos X = (2/3)R∙cosφ. Sustituyendo en (5) F= α R 2, obtenemos:

Utilizando la última fórmula, calculamos, en particular, la distancia al centro de gravedad. semicírculo.

Sustituyendo α = π/2 en (2), obtenemos: X C = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

Ejemplo 1. Determinemos el centro de gravedad del cuerpo homogéneo que se muestra en la figura. 13.

Fig.13

El cuerpo es homogéneo y consta de dos partes con forma simétrica. Coordenadas de sus centros de gravedad:

Sus volúmenes:

Por tanto, las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo.

Ejemplo 2. Encontremos el centro de gravedad de una placa doblada en ángulo recto. Las dimensiones están en el dibujo (Fig. 14).

Fig.14

Coordenadas de los centros de gravedad:

Áreas:

Arroz. 6.5.

Ejemplo 3. Una hoja cuadrada de cm tiene un agujero cuadrado cortado en cm (Fig. 15). Encontremos el centro de gravedad de la hoja.

Fig.15

En este problema, es más conveniente dividir el cuerpo en dos partes: un cuadrado grande y un agujero cuadrado. Sólo el área del agujero debe considerarse negativa. Luego las coordenadas del centro de gravedad de la lámina con el agujero:

coordinar ya que el cuerpo tiene un eje de simetría (diagonal).

Ejemplo 4. El soporte de alambre (Fig. 16) consta de tres secciones de igual longitud. yo.

Fig.16

Coordenadas de los centros de gravedad de los tramos:

Por tanto, las coordenadas del centro de gravedad de todo el soporte son:

Ejemplo 5. Determine la posición del centro de gravedad de la armadura, cuyas varillas tienen la misma densidad lineal (Fig. 17).

Recordemos que en física la densidad de un cuerpo ρ y su gravedad específica g están relacionadas por la relación: γ= ρ gramo, Dónde gramo- aceleración de la gravedad. Para encontrar la masa de un cuerpo tan homogéneo, debes multiplicar la densidad por su volumen.

Fig.17

El término densidad “lineal” o “lineal” significa que para determinar la masa de un alma, la densidad lineal debe multiplicarse por la longitud de esta varilla.

Para resolver el problema, puede utilizar el método de partición. Representando una armadura dada como la suma de 6 varillas individuales, obtenemos:

Dónde yo longitud i el alma, y xyo, y yo- coordenadas de su centro de gravedad.

La solución a este problema se puede simplificar agrupando las últimas 5 barras de la armadura. Es fácil ver que forman una figura con un centro de simetría ubicado en el medio de la cuarta varilla, donde se ubica el centro de gravedad de este grupo de varillas.

Por tanto, una armadura determinada puede representarse mediante una combinación de sólo dos grupos de varillas.

El primer grupo está formado por la primera varilla, para ello l 1 = 4 metros, X 1 = 0 metros, y 1 = 2 m El segundo grupo de varillas consta de cinco varillas, para ello l 2 = 20 metros, X 2 = 3 metros, y 2 = 2 metros.

Las coordenadas del centro de gravedad de la armadura se encuentran mediante la fórmula:

X C = (l 1 ∙X 1 +l 2 ∙X 2)/(l 1 + l 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y C = (l 1 ∙y 1 +l 2 ∙y 2)/(l 1 + l 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Tenga en cuenta que el centro CON se encuentra en la línea recta que une CON 1 y CON 2 y divide el segmento CON 1 CON 2 respecto a: CON 1 CON/SS 2 = (X C - X 1)/(X 2 - X C ) = l 2 /l 1 = 2,5/0,5.

Preguntas de autoevaluación

¿Cómo se llama el centro de fuerzas paralelas?

¿Cómo se determinan las coordenadas del centro de fuerzas paralelas?

¿Cómo determinar el centro de fuerzas paralelas cuya resultante es cero?

¿Qué propiedades tiene el centro de fuerzas paralelas?

¿Qué fórmulas se utilizan para calcular las coordenadas del centro de fuerzas paralelas?

¿Cuál es el centro de gravedad de un cuerpo?

¿Por qué las fuerzas gravitacionales de la Tierra que actúan sobre un punto de un cuerpo pueden considerarse como un sistema de fuerzas paralelas?

¿Escriba la fórmula para determinar la posición del centro de gravedad de cuerpos heterogéneos y homogéneos, la fórmula para determinar la posición del centro de gravedad de secciones planas?

Escriba la fórmula para determinar la posición del centro de gravedad de formas geométricas simples: ¿rectángulo, triángulo, trapezoide y semicírculo?

¿Cuál es el momento estático del área?

Dé un ejemplo de un cuerpo cuyo centro de gravedad se encuentre fuera del cuerpo.

¿Cómo se utilizan las propiedades de simetría para determinar los centros de gravedad de los cuerpos?

¿Cuál es la esencia del método de pesos negativos?

¿Dónde está el centro de gravedad de un arco circular?

¿Qué construcción gráfica se puede utilizar para encontrar el centro de gravedad de un triángulo?

Escribe la fórmula que determina el centro de gravedad de un sector circular.

Usando fórmulas que determinan los centros de gravedad de un triángulo y un sector circular, deriva una fórmula similar para un segmento circular.

¿Qué fórmulas se utilizan para calcular las coordenadas de los centros de gravedad de cuerpos homogéneos, figuras planas y líneas?

¿Cómo se llama el momento estático del área de una figura plana con respecto al eje, cómo se calcula y qué dimensión tiene?

¿Cómo determinar la posición del centro de gravedad de un área si se conoce la posición de los centros de gravedad de sus partes individuales?

¿Qué teoremas auxiliares se utilizan para determinar la posición del centro de gravedad?

En la práctica de la ingeniería, sucede que existe la necesidad de calcular las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana compleja que consta de elementos simples para los cuales se conoce la ubicación del centro de gravedad. Esta tarea es parte de la tarea de determinar...

Características geométricas de secciones compuestas de vigas y varillas. A menudo, los ingenieros de diseño de matrices de corte tienen que enfrentarse a preguntas similares al determinar las coordenadas del centro de presión, los desarrolladores de esquemas de carga para varios vehículos al colocar la carga, los diseñadores de estructuras metálicas de construcción al seleccionar las secciones transversales de los elementos y, por supuesto, estudiantes al cursar las disciplinas “Mecánica Teórica” y “Resistencia de Materiales”.

Biblioteca de figuras elementales.

Para figuras planas simétricas, el centro de gravedad coincide con el centro de simetría. El grupo simétrico de objetos elementales incluye: círculo, rectángulo (incluido el cuadrado), paralelogramo (incluido el rombo), polígono regular.

De las diez figuras presentadas en la figura anterior, sólo dos son básicas. Es decir, utilizando triángulos y sectores de círculos, puedes combinar casi cualquier figura de interés práctico. Cualquier curva arbitraria se puede dividir en secciones y reemplazar con arcos circulares.

Las ocho figuras restantes son las más comunes, por lo que se incluyeron en esta biblioteca única. En nuestra clasificación, estos elementos no son básicos. A partir de dos triángulos se puede formar un rectángulo, un paralelogramo y un trapezoide. Un hexágono es la suma de cuatro triángulos. Un segmento de círculo es la diferencia entre un sector de un círculo y un triángulo. El sector anular de un círculo es la diferencia entre dos sectores. Un círculo es un sector de un círculo con un ángulo α=2*π=360˚. Un semicírculo es, por tanto, un sector de un círculo con un ángulo α=π=180˚.

Cálculo en Excel de las coordenadas del centro de gravedad de una figura compuesta.

Siempre es más fácil transmitir y percibir información considerando un ejemplo que estudiar el tema mediante cálculos puramente teóricos. Consideremos la solución al problema "¿Cómo encontrar el centro de gravedad?" usando el ejemplo de la figura compuesta que se muestra en la figura debajo de este texto.

La sección compuesta es un rectángulo (con dimensiones a1 =80 milímetros, b1 =40 mm), al que se le añadió un triángulo isósceles en la parte superior izquierda (con el tamaño de la base a2 =24 mm y altura h2 =42 mm) y del cual se recortó un semicírculo arriba a la derecha (con el centro en el punto con coordenadas X03 =50 mm y y03 =40 mm, radio r3 = 26 mm).

Usaremos un programa para ayudarle a realizar los cálculos. Excel o programa OOo cálculo . ¡Cualquiera de ellos hará frente fácilmente a nuestra tarea!

En celdas con amarillo lo llenaremos preliminar auxiliar cálculos .

Calculamos los resultados en celdas con un relleno de color amarillo claro.

Azul la fuente es datos iniciales .

Negro la fuente es intermedio resultados del cálculo .

Rojo la fuente es final resultados del cálculo .

Comenzamos a resolver el problema: comenzamos a buscar las coordenadas del centro de gravedad de la sección.

Datos iniciales:

1. Escribiremos en consecuencia los nombres de las figuras elementales que forman una sección compuesta.

a la celda D3: Rectángulo

a la celda E3: Triángulo

a la celda F3: Semicírculo

2. Utilizando la "Biblioteca de figuras elementales" presentada en este artículo, determinaremos las coordenadas de los centros de gravedad de los elementos de la sección compuesta. xci Y yci en mm en relación con los ejes 0x y 0y seleccionados arbitrariamente y escriba

a la celda D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

a la celda D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

a la celda E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

a la celda E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

a la celda F4: =50 =50,000

xc 3 = X03

a la celda F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Calculemos las áreas de los elementos. F 1 , F 2 , F3 en mm2, nuevamente usando las fórmulas de la sección “Biblioteca de figuras elementales”

en la celda D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

en la celda E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

en la celda F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

El área del tercer elemento, el semicírculo, es negativa porque es un recorte, ¡un espacio vacío!

Cálculo de las coordenadas del centro de gravedad:

4. Determina el área total de la figura final. F0 en mm2

en la celda combinada D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Calculemos los momentos estáticos de una figura compuesta. Sx Y si en mm3 respecto a los ejes seleccionados 0x y 0y

en la celda combinada D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

en la celda combinada D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

si = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Y finalmente, calculemos las coordenadas del centro de gravedad de la sección compuesta. xc Y yc en mm en el sistema de coordenadas seleccionado 0x - 0y

en la celda combinada D11E11F11: =D10/D8 =30,640

xc = si / F0

en la celda combinada D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

El problema se resolvió, se completó el cálculo en Excel: ¡se encontraron las coordenadas del centro de gravedad de la sección, compiladas utilizando tres elementos simples!

Conclusión.

Se eligió el ejemplo del artículo por ser muy simple para facilitar la comprensión de la metodología para calcular el centro de gravedad de una sección compleja. El método consiste en dividir cualquier figura compleja en elementos simples con ubicaciones conocidas de los centros de gravedad y realizar cálculos finales para toda la sección.

Si la sección se compone de perfiles laminados, esquinas y canales, entonces no es necesario dividirlos en rectángulos y cuadrados con sectores circulares recortados “π/2”. Las coordenadas de los centros de gravedad de estos perfiles se dan en las tablas GOST, es decir, tanto el ángulo como el canal serán los elementos elementales básicos en sus cálculos de secciones compuestas (no tiene sentido hablar de vigas en I, tubos, varillas y hexágonos: son secciones centralmente simétricas).

¡La ubicación de los ejes de coordenadas, por supuesto, no afecta la posición del centro de gravedad de la figura! Por lo tanto, elija un sistema de coordenadas que simplifique sus cálculos. Si, por ejemplo, en nuestro ejemplo tuviera que girar el sistema de coordenadas 45˚ en el sentido de las agujas del reloj, calcular las coordenadas de los centros de gravedad de un rectángulo, triángulo y semicírculo se convertiría en otra etapa de cálculo separada y engorrosa que no se puede realizar " en la cabeza".

El archivo de cálculo de Excel que se presenta a continuación no es un programa en este caso. Más bien, es un boceto de una calculadora, un algoritmo, una plantilla que se sigue en cada caso concreto. crea tu propia secuencia de fórmulas para celdas con un relleno amarillo brillante.

¡Ahora ya sabes cómo encontrar el centro de gravedad de cualquier sección! El cálculo completo de todas las características geométricas de secciones compuestas complejas arbitrarias se considerará en uno de los próximos artículos de la sección "". Sigue las novedades en el blog.

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Unas pocas palabras sobre el vaso, la moneda y los dos tenedores, que se muestran en el "icono de ilustración" al principio del artículo. Seguramente muchos de vosotros conocéis este “truco” que provoca miradas de admiración en niños y adultos no iniciados. El tema de este artículo es el centro de gravedad. ¡Son él y el punto de apoyo, jugando con nuestra conciencia y experiencia, quienes simplemente están engañando a nuestra mente!

El centro de gravedad del sistema “tenedor+moneda” siempre está situado en fijado distancia verticalmente hacia abajo desde el borde de la moneda, que a su vez es el punto de apoyo. ¡Esta es una posición de equilibrio estable! Si sacude las horquillas, inmediatamente se hace evidente que el sistema se esfuerza por recuperar su posición estable anterior. Imaginemos un péndulo: un punto de fijación (= el punto de apoyo de una moneda en el borde de un vaso), una varilla-eje del péndulo (= en nuestro caso, el eje es virtual, ya que la masa de las dos horquillas es repartidos en diferentes direcciones del espacio) y una carga en la parte inferior del eje (= el centro de gravedad de todo el sistema “horquilla” + moneda"). Si comienza a desviar el péndulo de la vertical en cualquier dirección (hacia adelante, atrás, izquierda, derecha), inevitablemente volverá a su posición original bajo la influencia de la gravedad. estado estacionario de equilibrio(con nuestros tenedores y monedas pasa lo mismo)!

Si no entiendes pero quieres entenderlo, descúbrelo tú mismo. ¡Es muy interesante “llegar allí” usted mismo! Agregaré que el mismo principio de utilizar el equilibrio estable también se implementa en el juguete Vanka-stand-up. Sólo el centro de gravedad de este juguete se encuentra por encima del punto de apoyo, pero por debajo del centro del hemisferio de la superficie de soporte.

¡¡¡Siempre me alegra ver sus comentarios, queridos lectores!!!

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Rectángulo. Como un rectángulo tiene dos ejes de simetría, su centro de gravedad está en la intersección de los ejes de simetría, es decir en el punto de intersección de las diagonales del rectángulo.

Triángulo. El centro de gravedad se encuentra en el punto de intersección de sus medianas. Por geometría se sabe que las medianas de un triángulo se cortan en un punto y se dividen en una proporción de 1:2 desde la base.

Círculo. Como un círculo tiene dos ejes de simetría, su centro de gravedad está en la intersección de los ejes de simetría.

Semicírculo. Un semicírculo tiene un eje de simetría, entonces el centro de gravedad se encuentra sobre este eje. Otra coordenada del centro de gravedad se calcula mediante la fórmula: .

Muchos elementos estructurales están hechos de productos laminados estándar: esquinas, vigas en I, canales y otros. Todas las dimensiones, así como las características geométricas de los perfiles laminados, son datos tabulares que se pueden encontrar en la literatura de referencia en tablas de surtido normal (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Ejemplo 1. Determine la posición del centro de gravedad de la figura que se muestra en la figura.

Solución:

Seleccionamos los ejes de coordenadas de modo que el eje Ox corra a lo largo de la dimensión general más inferior y el eje Oy a lo largo de la dimensión general más a la izquierda.

Dividimos una figura compleja en un número mínimo de figuras simples:

rectángulo 20x10;

triángulo 15x10;

círculo R=3 cm.

Calculamos el área de cada figura simple y sus coordenadas del centro de gravedad. Los resultados del cálculo se ingresan en la tabla.

Figura No.	Área de la figura A,	Coordenadas del centro de gravedad

Respuesta: C(14,5; 4,5)

Ejemplo 2 . Determine las coordenadas del centro de gravedad de una sección compuesta formada por una lámina y secciones laminadas.

Solución.

Seleccionamos los ejes de coordenadas como se muestra en la figura.

Designemos las figuras por números y escribamos los datos necesarios de la tabla:

Figura No.	Área de la figura A,	Coordenadas del centro de gravedad

Calculamos las coordenadas del centro de gravedad de la figura mediante las fórmulas:

Respuesta: C(0; 10)

Trabajo de laboratorio nº 1 “Determinación del centro de gravedad de figuras planas compuestas”

Objetivo: Determine el centro de gravedad de una figura compleja plana determinada utilizando métodos experimentales y analíticos y compare sus resultados.

Orden de trabajo

Dibuja tu figura plana en tus cuadernos en tamaño, indicando los ejes de coordenadas.

Determinar analíticamente el centro de gravedad.

1. Dividir la figura en el mínimo número de figuras cuyos centros de gravedad sepamos determinar.

   Indique los números de área y las coordenadas del centro de gravedad de cada figura.

   Calcula las coordenadas del centro de gravedad de cada figura.

   Calcula el área de cada figura.

   Calcule las coordenadas del centro de gravedad de toda la figura usando las fórmulas (la posición del centro de gravedad se traza en el dibujo de la figura):

La instalación para determinar experimentalmente las coordenadas del centro de gravedad mediante el método colgante consta de un soporte vertical 1 (ver figura) al que está unida la aguja 2 . figura plana 3 Hecho de cartón, al que es fácil perforar agujeros. agujeros A Y EN perforado en puntos ubicados aleatoriamente (preferiblemente a la mayor distancia entre sí). Se suspende una figura plana de una aguja, primero en un punto A , y luego en el punto EN . Usando una plomada 4 , unido a la misma aguja, dibuja una línea vertical sobre la figura con un lápiz correspondiente al hilo de la plomada. Centro de gravedad CON la figura se ubicará en el punto de intersección de las líneas verticales dibujadas al colgar la figura en los puntos A Y EN .

Apuntes de lecciones de física, grado 7

Tema: Determinación del centro de gravedad.

Profesor de Física, Escuela Secundaria No. 2 de Argayash

Khidiyatulina Z.A.

Trabajo de laboratorio:

"Determinación del centro de gravedad de una placa plana"

Objetivo : encontrar el centro de gravedad de una placa plana.

Parte teórica:

Todos los cuerpos tienen un centro de gravedad. El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto del cual el momento total de gravedad que actúa sobre el cuerpo es cero. Por ejemplo, si cuelgas un objeto por su centro de gravedad, permanecerá en reposo. Es decir, su posición en el espacio no cambiará (no se pondrá boca abajo ni de lado). ¿Por qué algunos cuerpos se caen y otros no? Si traza una línea perpendicular al suelo desde el centro de gravedad del cuerpo, entonces si la línea va más allá de los límites del soporte del cuerpo, el cuerpo caerá. Cuanto mayor sea el área de apoyo, cuanto más cerca esté el centro de gravedad del cuerpo del punto central del área de apoyo y la línea central del centro de gravedad, más estable será la posición del cuerpo. . Por ejemplo, el centro de gravedad de la famosa Torre Inclinada de Pisa se encuentra a sólo dos metros del centro de su soporte. Y la caída se producirá sólo cuando esta desviación sea de unos 14 metros. El centro de gravedad del cuerpo humano se encuentra aproximadamente a 20,23 centímetros por debajo del ombligo. Una línea imaginaria trazada verticalmente desde el centro de gravedad pasa exactamente entre los pies. En el caso de un muñeco giratorio, el secreto también reside en el centro de gravedad del cuerpo. Su estabilidad se explica por el hecho de que el centro de gravedad del tambor está en el fondo; en realidad, se apoya sobre él. La condición para mantener el equilibrio de un cuerpo es el paso del eje vertical de su centro de gravedad común dentro de la zona de apoyo del cuerpo. Si el centro de gravedad vertical del cuerpo sale de la zona de apoyo, el cuerpo pierde el equilibrio y cae. Por lo tanto, cuanto mayor es el área de apoyo, cuanto más cerca está el centro de gravedad del cuerpo del punto central del área de apoyo y la línea central del centro de gravedad, más estable es la posición del cuerpo será. El área de apoyo cuando una persona está en posición vertical está limitada por el espacio que hay debajo de las plantas y entre los pies. El punto central de la línea vertical del centro de gravedad del pie está a 5 cm por delante del tubérculo del talón. El tamaño sagital de la zona de apoyo siempre prevalece sobre el frontal, por lo que el desplazamiento de la línea vertical del centro de gravedad se produce más fácilmente hacia la derecha y hacia la izquierda que hacia atrás, y es especialmente difícil hacia adelante. En este sentido, la estabilidad al girar durante una carrera rápida es significativamente menor que en la dirección sagital (hacia adelante o hacia atrás). Un pie con zapatos, especialmente con tacón ancho y suela dura, es más estable que sin zapatos, ya que adquiere una mayor superficie de apoyo.

Parte práctica:

Objeto del trabajo: Utilizando el equipo propuesto, encontrar experimentalmente la posición del centro de gravedad de dos figuras de cartón y un triángulo.

Equipo:Trípode, cartulina gruesa, triángulo de un kit escolar, regla, cinta adhesiva, hilo, lápiz...

Tarea 1: Determinar la posición del centro de gravedad de una figura plana de forma arbitraria.

Con unas tijeras, recorta una forma aleatoria de cartón. Sujete el hilo con cinta adhesiva en el punto A. Cuelga la figura por el hilo en la pata del trípode. Con regla y lápiz, marca la línea vertical AB en el cartón.

Mueva el punto de unión del hilo a la posición C. Repita los pasos anteriores.

Punto O de la intersección de las líneas AB yCDDa la posición deseada del centro de gravedad de la figura.

Tarea 2: Usando solo una regla y un lápiz, encuentra la posición del centro de gravedad de una figura plana.

Usando un lápiz y una regla, divide la forma en dos rectángulos. Por construcción, encuentre las posiciones O1 y O2 de sus centros de gravedad. Es obvio que el centro de gravedad de toda la figura está sobre la recta O1O2.

Divide la figura en dos rectángulos de otra forma. Por construcción encuentre las posiciones de los centros de gravedad O3 y O4 de cada uno de ellos. Conecte los puntos O3 y O4 con una línea. El punto de intersección de las líneas O1O2 y O3O4 determina la posición del centro de gravedad de la figura.

Tarea 2: Determinar la posición del centro de gravedad del triángulo.

Con cinta adhesiva, asegure un extremo del hilo en la parte superior del triángulo y cuélguelo de la pata del trípode. Usando una regla, marque la dirección AB de la línea de gravedad (haga una marca en el lado opuesto del triángulo)

Repita el mismo procedimiento, colgando el triángulo del vértice C. En el lado opuesto del vértice C del triángulo, haga una marca.D.

Usando cinta adhesiva, fije trozos de hilo AB yCD. El punto O de su intersección determina la posición del centro de gravedad del triángulo. En este caso, el centro de gravedad de la figura está fuera del propio cuerpo.

III . Resolviendo problemas de calidad

1.¿Con qué propósito los artistas de circo sostienen en sus manos postes pesados ​​cuando caminan sobre la cuerda floja?

2. ¿Por qué una persona que lleva una carga pesada sobre su espalda se inclina hacia adelante?

3. ¿Por qué no puedes levantarte de una silla a menos que inclines el cuerpo hacia adelante?

4.¿Por qué la grúa no se inclina hacia la carga que se está levantando? ¿Por qué sin carga la grúa no se inclina hacia el contrapeso?

5. ¿Por qué los coches, las bicicletas, etc. ¿Es mejor poner frenos en las ruedas traseras que en las delanteras?

6. ¿Por qué un camión cargado de heno vuelca más fácilmente que el mismo camión cargado de nieve?