Таблица на първообразните математически функции. Първопроизводна функция и неопределен интеграл. Логаритмични функции y = log a x

Директно интегриране с помощта на таблицата на първоизводните (таблица на неопределените интеграли)

Таблица на антипроизводните

Можем да намерим първоизводната от известен диференциал на функция, ако използваме свойствата на неопределения интеграл. От таблицата на основните елементарни функции, използвайки равенствата ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C и ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x можем да направим таблица на антипроизводните.

Нека напишем таблицата на производните под формата на диференциали.

Константа y = C C" = 0 Степенна функция y = x p. (x p) " = p x p - 1	Константа y = C d (C) = 0 d x Степенна функция y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Експоненциална функция y = a x. d (a x) = a x ln α d x По-специално, за a = e имаме y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Логаритмични функции y = log a x . d (log a x) = d x x ln a По-специално, за a = e имаме y = ln x d (ln x) = d x x
Тригонометрични функции. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Тригонометрични функции. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Обратни тригонометрични функции. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Нека илюстрираме горното с пример. Нека намерим неопределения интеграл на степенната функция f (x) = x p.

Според таблицата на диференциалите d (x p) = p · x p - 1 · d x. По свойствата на неопределения интеграл имаме ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Следователно ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. Втората версия на записа е както следва: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Нека го приемем за равно на - 1 и намерим множеството от първоизводни на степенната функция f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Сега се нуждаем от таблица с диференциали за натурален логаритъм d (ln x) = d x x, x > 0, следователно ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Следователно ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Таблица на първоизводните (неопределени интеграли)

Лявата колона на таблицата съдържа формули, които се наричат ​​основни антипроизводни. Формулите в дясната колона не са основни, но могат да се използват за намиране на неопределени интеграли. Те могат да бъдат проверени чрез диференциране.

Директна интеграция

За да извършим директно интегриране, ще използваме таблици с първоизводни, правила за интегриране ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, както и свойства на неопределени интеграли ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

Таблицата с основните интеграли и свойствата на интегралите могат да се използват само след лесна трансформация на интегралната функция.

Пример 1

Нека намерим интеграла ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Решение

Премахваме коефициент 3 от под интегралния знак:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Използвайки тригонометрични формули, трансформираме функцията интегранд:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + sin x d x

Тъй като интегралът на сбора е равен на сбора на интегралите, тогава
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Използваме данните от таблицата на първоизводните: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = празно 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Отговор:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Пример 2

Необходимо е да се намери множеството от първопроизводни на функцията f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Решение

Използваме таблицата на първоизводните за експоненциалната функция: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Това означава, че ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Използваме правилото за интегриране ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Получаваме ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Отговор: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Използвайки таблицата на първоизводните, свойствата и правилото за интегриране, можем да намерим много неопределени интеграли. Това е възможно в случаите, когато е възможно да се трансформира подинтегралната функция.

За намиране на интеграла на функцията логаритъм, функциите тангенс и котангенс и редица други се използват специални методи, които ще разгледаме в раздела „Основни методи за интегриране“.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека изброим интегралите на елементарни функции, които понякога се наричат ​​таблични:

Всяка от горните формули може да бъде доказана, като се вземе производната на дясната страна (резултатът ще бъде интегранд).

Интеграционни методи

Нека да разгледаме някои основни методи за интегриране. Те включват:

1. Метод на разлагане(директна интеграция).

Този метод се основава на директното използване на таблични интеграли, както и на използването на свойства 4 и 5 на неопределения интеграл (т.е. изваждане на постоянния фактор извън скоби и/или представяне на интегранта като сума от функции - разлагане на интегранта в членове).

Пример 1.Например, за да намерите(dx/x 4), можете директно да използвате табличния интеграл заx n dx. Всъщност,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Пример 2.За да го намерим, използваме същия интеграл:

Пример 3.За да го намерите, трябва да вземете

Пример 4.За да намерим, представяме функцията интегранд във формата и използвайте табличния интеграл за експоненциалната функция:

Нека считаме използването на скоби за постоянен фактор.

Пример 5.Да намерим например . Имайки предвид това, получаваме

Пример 6.Ще го намерим. Тъй като , нека използваме табличния интеграл Получаваме

В следващите два примера можете също да използвате интеграли в скоби и таблици:

Пример 7.

(ние използваме и );

Пример 8.

(ние използваме И ).

Нека да разгледаме по-сложни примери, които използват сумарния интеграл.

Пример 9.Например, да намерим
. За да приложим метода на разширение в числителя, използваме формулата на куба на сумата  и след това разделяме получения полином на знаменателя, член по член.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Трябва да се отбележи, че в края на решението се записва една обща константа C (а не отделни при интегрирането на всеки член). В бъдеще се предлага също така да се пропуснат константите от интегрирането на отделните членове в процеса на решаване, стига изразът да съдържа поне един неопределен интеграл (ще запишем една константа в края на решението).

Пример 10.Ще намерим . За да решим този проблем, нека разложим числителя на множители (след това можем да намалим знаменателя).

Пример 11.Ще го намерим. Тук могат да се използват тригонометрични идентичности.

Понякога, за да разложите израз на термини, трябва да използвате по-сложни техники.

Пример 12.Ще намерим . В интегранта избираме цялата част от дробта . Тогава

Пример 13.Ще намерим

2. Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът се основава на следната формула: f(x)dx=f((t))`(t)dt, където x =(t) е функция, диференцируема на разглеждания интервал.

Доказателство. Нека намерим производните по отношение на променливата t от лявата и дясната страна на формулата.

Обърнете внимание, че от лявата страна има сложна функция, чийто междинен аргумент е x = (t). Следователно, за да го диференцираме по отношение на t, първо диференцираме интеграла по отношение на x и след това вземаме производната на междинния аргумент по отношение на t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Производна от дясната страна:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Тъй като тези производни са равни, по следствие от теоремата на Лагранж, лявата и дясната страна на доказаната формула се различават с определена константа. Тъй като самите неопределени интеграли са дефинирани до неопределен постоянен член, тази константа може да бъде пропусната от крайното обозначение. Доказано.

Успешната промяна на променлива ви позволява да опростите оригиналния интеграл и в най-простите случаи да го намалите до табличен. При прилагането на този метод се прави разлика между линейни и нелинейни методи на заместване.

а) Метод на линейно заместванеНека разгледаме един пример.

Пример 1.
. Тогава нека t= 1 – 2x

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Трябва да се отбележи, че новата променлива не трябва да се изписва изрично. В такива случаи те говорят за трансформиране на функция под диференциален знак или за въвеждане на константи и променливи под диференциален знак, т.е. О неявна замяна на променлива.

Пример 2.Например, нека намеримcos(3x + 2)dx. По свойствата на диференциала dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), тогаваcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

И в двата разгледани примера е използвано линейно заместване t=kx+b(k0) за намиране на интегралите.

В общия случай е валидна следната теорема.

Теорема за линейно заместване. Нека F(x) е някаква първоизводна на функцията f(x). Тогаваf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, където k и b са някои константи, k0.

Доказателство.

По дефиниция на интеграла f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Нека извадим постоянния фактор k от интегралния знак: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Сега можем да разделим лявата и дясната страна на равенството на две и да получим твърдението, което трябва да се докаже до обозначението на константния член.

Тази теорема гласи, че ако в дефиницията на интеграла f(x)dx= F(x) + C вместо аргумента x заместим израза (kx+b), това ще доведе до появата на допълнителен фактор 1/k пред антипроизводното.

Използвайки доказаната теорема, решаваме следните примери.

Пример 3.

Ще намерим . Тук kx+b= 3 –x, т.е. k= -1,b= 3. Тогава

Пример 4.

Ще го намерим. Ето kx+b= 4x+ 3, т.е. k= 4,b= 3. Тогава

Пример 5.

Ще намерим . Тук kx+b= -2x+ 7, т.е. k= -2,b= 7. Тогава

.

Пример 6.Ще намерим
. Тук kx+b= 2x+ 0, т.е. k= 2,b= 0.

.

Нека сравним получения резултат с пример 8, който беше решен чрез метода на разлагане. Решавайки същия проблем с помощта на различен метод, получихме отговора
. Нека сравним резултатите: По този начин тези изрази се различават един от друг с постоянен термин , т.е. Получените отговори не си противоречат.

Пример 7.Ще намерим
. Нека изберем точен квадрат в знаменателя.

В някои случаи промяната на променлива не редуцира интеграла директно до табличен, но може да опрости решението, правейки възможно използването на метода на разширение в следваща стъпка.

Пример 8.Например, да намерим . Заменете t=x+ 2, след това dt=d(x+ 2) =dx. Тогава

,

където C = C 1 – 6 (при заместване на израза (x+ 2) вместо първите два члена получаваме ½x 2 -2x– 6).

Пример 9.Ще намерим
. Нека t= 2x+ 1, тогава dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Нека заместим израза (2x+ 1) с t, отворим скобите и дадем подобни.

Имайте предвид, че в процеса на трансформации се преместихме към друг постоянен член, защото групата от постоянни членове може да бъде пропусната по време на процеса на трансформация.

б) Метод на нелинейно заместванеНека разгледаме един пример.

Пример 1.
. Lett= -x 2. След това може да се изрази x чрез t, след това да се намери израз за dx и да се приложи промяна на променлива в желания интеграл. Но в този случай е по-лесно да направите нещата по различен начин. Нека намерим dt=d(-x 2) = -2xdx. Обърнете внимание, че изразът xdx е фактор на подинтегралната функция на желания интеграл. Нека го изразим от полученото равенствоxdx= - ½dt. Тогава

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2.Ще намерим . Нека t= 1 -x 2 . Тогава

Пример 3.Ще намерим . Lett=. Тогава

;

Пример 4.В случай на нелинейно заместване също е удобно да се използва имплицитно заместване на променлива.

Например, да намерим
. Нека запишем xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (имплицитно заменено с променливата t= 3 - 2x 2). Тогава

Пример 5.Ще намерим . Тук също въвеждаме променлива под диференциалния знак: (неявно заместване = 3 + 5x 3). Тогава

Пример 6.Ще намерим . Тъй като ,

Пример 7.Ще го намерим. От тогава

Нека да разгледаме няколко примера, в които става необходимо да се комбинират различни замествания.

Пример 8.Ще намерим
. Нека= 2x+ 1, тогаваx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Пример 9.Ще намерим
. Нека = x- 2, тогава x = t + 2; dx = dt.

Първопроизводна функция и неопределен интеграл

Факт 1. Интегрирането е действие, обратно на диференцирането, а именно възстановяване на функция от известната производна на тази функция. Така функцията се възстановява Е(х) е наречен антипроизводноза функция f(х).

Определение 1. Функция Е(х f(х) на някакъв интервал х, ако за всички стойности хот този интервал равенството е в сила Е "(х)=f(х), тоест тази функция f(х) е производната на антипроизводната функция Е(х). .

Например функцията Е(х) = грях х е антипроизводна на функцията f(х) = cos х на цялата числова линия, тъй като за всяка стойност на x (грях х)" = (cos х) .

Определение 2. Неопределен интеграл на функция f(х) е множеството от всички свои първоизводни. В този случай се използва нотацията

∫

f(х)dx

,

къде е табелата ∫ наречен интегрален знак, функцията f(х) – интегрална функция, и f(х)dx – интегранд израз.

По този начин, ако Е(х) – някакво противопроизводно за f(х) , Че

∫

f(х)dx = Е(х) +° С

Където ° С - произволна константа (константа).

За да се разбере значението на множеството от първоизводни на функция като неопределен интеграл, е подходяща следната аналогия. Нека има врата (традиционна дървена врата). Неговата функция е да „бъде врата“. От какво е направена вратата? Направено от дърво. Това означава, че наборът от първоизводни на интегранта на функцията „да бъде врата“, тоест нейният неопределен интеграл, е функцията „да бъде дърво + C“, където C е константа, която в този контекст може обозначават, например, вида дърво. Точно както една врата е направена от дърво с помощта на някои инструменти, производна на функция е „направена“ от антипроизводна функция с помощта на формули, които научихме, докато изучавахме производната .

След това таблицата на функциите на общите обекти и съответните им антипроизводни („да бъде врата“ - „да бъде дърво“, „да бъде лъжица“ - „да бъде метал“ и т.н.) е подобна на таблицата на основните неопределени интеграли, които ще бъдат дадени по-долу. Таблицата с неопределени интеграли изброява общи функции с указание за антипроизводните, от които тези функции са „направени“. В част от задачите за намиране на неопределен интеграл са дадени интегранти, които могат да се интегрират директно без много усилия, тоест с помощта на таблицата на неопределените интеграли. При по-сложни задачи интегралната функция трябва първо да се трансформира, за да могат да се използват таблични интеграли.

Факт 2. Когато възстановяваме функция като антипроизводна, трябва да вземем предвид произволна константа (константа) ° С, и за да не пишете списък от първоизводни с различни константи от 1 до безкрайност, трябва да напишете набор от първоизводни с произволна константа ° С, например така: 5 х³+C. И така, произволна константа (константа) е включена в израза на антипроизводното, тъй като антипроизводното може да бъде функция, например 5 х³+4 или 5 х³+3 и когато се диференцира, 4 или 3, или всяка друга константа отива на нула.

Нека поставим проблема за интегриране: за тази функция f(х) намери такава функция Е(х), чиято производнаравна на f(х).

Пример 1.Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение. За тази функция антипроизводната е функцията

функция Е(х) се нарича първоизводна за функцията f(х), ако производната Е(х) е равно на f(х), или, което е същото, диференциал Е(х) е равно f(х) dx, т.е.

(2)

Следователно функцията е антипроизводна на функцията. Това обаче не е единственото антипроизводно на . Те също служат като функции

Където СЪС– произволна константа. Това може да се провери чрез диференциране.

По този начин, ако има една антипроизводна за функция, тогава за нея има безкраен брой първоизводни, които се различават с постоянен член. Всички първоизводни за функция се записват в горната форма. Това следва от следната теорема.

Теорема (официално изложение на факт 2).Ако Е(х) – първоизводна за функцията f(х) на някакъв интервал х, след това всяка друга антипроизводна за f(х) на същия интервал могат да бъдат представени във формата Е(х) + ° С, Където СЪС– произволна константа.

В следващия пример се обръщаме към таблицата с интеграли, която ще бъде дадена в параграф 3, след свойствата на неопределения интеграл. Правим това преди да прочетем цялата таблица, за да е ясна същността на горното. И след таблицата и свойствата ще ги използваме изцяло по време на интеграцията.

Пример 2.Намерете набори от първоизводни функции:

Решение. Ние намираме набори от антипроизводни функции, от които тези функции са „направени“. Когато споменавате формули от таблицата на интегралите, засега просто приемете, че има такива формули там, а самата таблица на неопределените интеграли ще проучим малко по-нататък.

1) Прилагайки формула (7) от таблицата на интегралите за н= 3, получаваме

2) Използвайки формула (10) от таблицата на интегралите за н= 1/3, имаме

3) Тъй като

след това съгласно формула (7) с н= -1/4 намираме

Не самата функция е записана под знака интеграл. f, и неговото произведение от диференциала dx. Това се прави основно, за да се посочи по коя променлива се търси антипроизводната. Например,

, ;

тук и в двата случая подинтегралната функция е равна на , но нейните неопределени интеграли в разглежданите случаи се оказват различни. В първия случай тази функция се разглежда като функция на променливата х, а във втория - като функция на z .

Процесът на намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометричен смисъл на неопределения интеграл

Да предположим, че трябва да намерим крива y=F(x)и вече знаем, че тангенсът на допирателния ъгъл във всяка негова точка е дадена функция f(x)абсцисата на тази точка.

Според геометричния смисъл на производната, тангенсът на ъгъла на наклона на допирателната в дадена точка на кривата y=F(x)равна на стойността на производната F"(x). Така че трябва да намерим такава функция F(x), за което F"(x)=f(x). Функция, необходима в задачата F(x)е антипроизводно на f(x). Условията на задачата се удовлетворяват не от една крива, а от семейство криви. y=F(x)- една от тези криви и всяка друга крива може да бъде получена от нея чрез паралелно преместване по оста Ой.

Нека наречем графиката на първоизводната функция на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), след това графиката на функцията y=F(x)има интегрална крива.

Факт 3. Неопределеният интеграл е геометрично представен от семейството на всички интегрални криви , както е на снимката по-долу. Разстоянието на всяка крива от началото на координатите се определя от произволна константа на интегриране ° С.

Свойства на неопределения интеграл

Факт 4. Теорема 1. Производната на неопределен интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла.

Факт 5. Теорема 2. Неопределен интеграл от диференциала на функция f(х) е равно на функцията f(х) до постоянен срок , т.е.

(3)

Теореми 1 и 2 показват, че диференцирането и интегрирането са взаимно обратни операции.

Факт 6. Теорема 3. Постоянният множител в интегранта може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл , т.е.

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблица на интегралите. Таблични неопределени интеграли. (Най-прости интеграли и интеграли с параметър). Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.

Таблица на първоизводните ("интеграли"). Таблични неопределени интеграли. (Най-прости интеграли и интеграли с параметър).
Интеграл на степенна функция.	Интеграл на степенна функция.
Интеграл, който се редуцира до интеграла на степенна функция, ако x е под знака на диференциала.
	Интеграл от експонента, където a е постоянно число.
Интеграл на комплексна експоненциална функция.	Интеграл на експоненциална функция.
Интеграл, равен на натурален логаритъм.	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
	Интеграл: "Дълъг логаритъм".
Интеграл: "Голям логаритъм".	Интеграл, където x в числителя е поставен под диференциалния знак (константата под знака може да бъде добавена или извадена), в крайна сметка е подобен на интеграл, равен на натурален логаритъм.
Интеграл: "Голям логаритъм".
Косинус интеграл.	Синус интеграл.
Интеграл, равен на тангенса.	Интеграл, равен на котангенс.
Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус
Интеграл, равен както на аркусинус, така и на аркосинус.	Интеграл, равен както на арктангенс, така и на арккотангенс.
Интеграл, равен на косеканс.	Интеграл, равен на секанс.
Интеграл, равен на арсеканс.	Интеграл, равен на аркосеканс.
Интеграл, равен на арсеканс.	Интеграл, равен на арсеканс.
Интеграл, равен на хиперболичния синус.	Интеграл, равен на хиперболичен косинус.
Интеграл, равен на хиперболичния синус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.	Интеграл, равен на хиперболичния косинус, където sinhx е хиперболичният синус в английската версия.
Интеграл, равен на хиперболичния тангенс.	Интеграл, равен на хиперболичния котангенс.
Интеграл, равен на хиперболичния секанс.	Интеграл, равен на хиперболичния косеканс.

Формули за интегриране по части. Правила за интегриране.

Формули за интегриране по части. Формула на Нютон-Лайбниц.
Интегриране на продукт (функция) чрез константа:
Интегриране на сумата от функции:
неопределени интеграли:
Формула за интегриране по части определени интеграли:
Формула на Нютон-Лайбниц определени интеграли:	Където F(a),F(b) са стойностите на антипроизводните съответно в точки b и a.

Таблица на производните. Таблични производни. Производно на продукта. Производна на частното. Производна на сложна функция.

Ако x е независима променлива, тогава:

Таблица на производните. Таблични производни."table derivative" - ​​​​да, за съжаление, точно така се търсят в интернет
	Производна на степенна функция
	Производна на показателя
Производна на комплексна експоненциална функция	Производна на експоненциална функция
Производна на логаритмична функция	Производна на натурален логаритъм
	Производна на натурален логаритъм на функция
Производна на синус	Производна на косинус
Производна на косеканс	Производна на секанс
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Производна на арксинус	Производна на аркосинус
Тангенсна производна	Производна на котангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арктангенса	Производна на аркотангенс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на арсеканс	Производна на аркосеканс
Производна на хиперболичния синус Производна на хиперболичния синус в английската версия	Производна на хиперболичен косинус Производна на хиперболичен косинус в английската версия
Производна на хиперболичен тангенс	Производна на хиперболичен котангенс
Производна на хиперболичния секанс	Производна на хиперболичния косеканс

Правила за диференциране. Производно на продукта. Производна на частното. Производна на сложна функция.
Производна на продукт (функция) по константа:
Производна на сумата (функции):
Производна на продукт (функции):
Производна на частното (на функции):
Производна на сложна функция:

Свойства на логаритмите. Основни формули за логаритми. Десетични (lg) и естествени логаритми (ln).

Основно логаритмично тъждество
Нека покажем как всяка функция от формата a b може да бъде направена експоненциална. Тъй като функция от вида e x се нарича експоненциална, тогава
Всяка функция от формата a b може да бъде представена като степен на десет

Натурален логаритъм ln (логаритъм при основа e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; log(1)=0

Серия Тейлър. Разширение в ред на Тейлър на функция.

Оказва се, че мнозинството практически се срещатматематическите функции могат да бъдат представени с всякаква точност в близост до определена точка под формата на степенни редове, съдържащи степени на променлива в нарастващ ред. Например в близост до точката x=1:

При използване на серия т.нар Редовете на Тейлърсмесените функции, съдържащи, да речем, алгебрични, тригонометрични и експоненциални функции, могат да бъдат изразени като чисто алгебрични функции. Използвайки серии, често можете бързо да извършите диференциране и интегриране.

Редът на Тейлър в околността на точка а има формата:

1) , където f(x) е функция, която има производни от всички порядъци при x = a. R n - остатъчният член в реда на Тейлър се определя от израза

2)

K-тият коефициент (при x k) на серията се определя по формулата

3) Специален случай на серията Taylor е серията Maclaurin (=McLaren). (разширяването става около точката a=0)

при a=0

членовете на серията се определят по формулата

Условия за използване на серия Тейлър.

1. За да може функцията f(x) да бъде разширена в серия на Тейлър на интервала (-R;R), е необходимо и достатъчно остатъчният член във формулата на Тейлър (Маклаурин (=Макларън)) за това функция клони към нула при k →∞ на посочения интервал (-R;R).

2. Необходимо е да има производни на дадена функция в точката, в близост до която ще построим редицата на Тейлър.

Свойства на редовете на Тейлър.

Ако f е аналитична функция, тогава нейният ред на Тейлър във всяка точка a в областта на дефиниране на f се събира към f в някаква околност на a.

Има безкрайно диференцируеми функции, чийто ред на Тейлър се събира, но в същото време се различава от функцията във всяка околност на a. Например:

Сериите на Тейлър се използват за апроксимация (апроксимацията е научен метод, който се състои в замяна на някои обекти с други, в един или друг смисъл близки до оригиналните, но по-прости) на функция чрез полиноми. По-специално, линеаризация ((от linearis - линеен), един от методите за приблизително представяне на затворени нелинейни системи, при който изследването на нелинейна система се заменя с анализ на линейна система, в известен смисъл еквивалентна на оригиналната .) уравненията се получават чрез разширяване в серия на Тейлър и прекъсване на всички членове над първи ред.

Така почти всяка функция може да бъде представена като полином с дадена точност.

Примери за някои често срещани разширения на степенни функции в редове на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0) и Тейлър в близост до точка 1. Първите членове на разширения на основните функции в редове на Тейлър и Макларън.

Примери за някои общи разширения на степенни функции в редица на Маклорен (= Макларън, Тейлър в близост до точка 0)

Примери за някои често срещани разширения в ред на Тейлър в близост до точка 1

Основни интеграли, които всеки ученик трябва да знае

Изброените интеграли са основата, основата на фундаментите. Тези формули определено трябва да се запомнят. Когато изчислявате по-сложни интеграли, ще трябва да ги използвате постоянно.

Обърнете специално внимание на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забравяйте да добавите произволна константа C към вашия отговор, когато интегрирате!

Интеграл от константа

∫ A d x = A x + C (1)

Интегриране на мощностна функция

Всъщност беше възможно да се ограничим само до формули (5) и (7), но останалите интеграли от тази група се срещат толкова често, че си струва да им обърнем малко внимание.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Интеграли на експоненциални функции и хиперболични функции

Разбира се, формула (8) (може би най-удобната за запаметяване) може да се разглежда като специален случай на формула (9). Формули (10) и (11) за интегралите на хиперболичния синус и хиперболичния косинус се извеждат лесно от формула (8), но е по-добре просто да запомните тези отношения.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Основни интеграли на тригонометрични функции

Грешка, която учениците често правят е, че бъркат знаците във формули (12) и (13). Спомняйки си, че производната на синуса е равна на косинуса, по някаква причина много хора вярват, че интегралът на функцията sinx е равен на cosx. Това не е вярно! Интегралът от синус е равен на „минус косинус“, но интегралът от cosx е равен на „просто синус“:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интеграли, които се редуцират до обратни тригонометрични функции

Формула (16), водеща до арктангенса, естествено е специален случай на формула (17) за a=1. По същия начин (18) е специален случай на (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

По-сложни интеграли

Също така е препоръчително да запомните тези формули. Те също се използват доста често и изходът им е доста досаден.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Общи правила за интегриране

1) Интегралът от сумата на две функции е равен на сумата от съответните интеграли: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Интегралът на разликата на две функции е равен на разликата на съответните интеграли: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константата може да бъде извадена от интегралния знак: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Лесно е да се види, че свойство (26) е просто комбинация от свойства (25) и (27).

4) Интеграл на сложна функция, ако вътрешната функция е линейна: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тук F(x) е първоизводна за функцията f(x). Моля, обърнете внимание: тази формула работи само когато вътрешната функция е Ax + B.

Важно: няма универсална формула за интеграл от произведението на две функции, както и за интеграл от дроб:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (тридесет)

Това, разбира се, не означава, че фракция или продукт не могат да бъдат интегрирани. Просто всеки път, когато видите интеграл като (30), ще трябва да измислите начин да се „борите“ с него. В някои случаи интегрирането по части ще ви помогне, в други ще трябва да направите промяна на променлива, а понякога дори „училищната“ алгебра или тригонометрични формули могат да помогнат.

Прост пример за изчисляване на неопределен интеграл

Пример 1. Намерете интеграла: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Нека използваме формули (25) и (26) (интегралът на сбора или разликата на функциите е равен на сбора или разликата на съответните интеграли. Получаваме: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Нека си припомним, че константата може да бъде извадена от интегралния знак (формула (27)). Изразът се преобразува във формата

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Сега нека просто използваме таблицата на основните интеграли. Ще трябва да приложим формули (3), (12), (8) и (1). Нека интегрираме степенната функция, синус, експоненциал и константа 1. Не забравяйте да добавите произволна константа C в края:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

След елементарни трансформации получаваме крайния отговор:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Тествайте се чрез диференциране: вземете производната на получената функция и се уверете, че тя е равна на оригиналния интегранд.

Обобщена таблица на интегралите

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Изтеглете таблицата на интегралите (част II) от този линк

Ако учите в университет, ако имате затруднения с висшата математика (математически анализ, линейна алгебра, теория на вероятностите, статистика), ако имате нужда от услугите на квалифициран преподавател, отидете на страницата на преподавател по висша математика. Заедно ще решим вашите проблеми!

Може също да се интересувате от