>> Периодичност на функциите y = sin x, y = cos x

§ 11. Периодичност на функциите y = sin x, y = cos x

В предишните параграфи използвахме седем свойства функции: област на дефиниция, четно или нечетно, монотонност, ограниченост, най-големи и най-малки стойности, непрекъснатост, диапазон от стойности на функция. Използвахме тези свойства или за построяване на графика на функция (това се случи, например, в § 9), или за четене на построената графика (това се случи, например, в § 10). Сега е дошъл удобният момент да въведем още едно (осмо) свойство на функциите, което ясно се вижда в конструкциите по-горе. графикифункции y = sin x (вижте фиг. 37), y = cos x (вижте фиг. 41).

Определение.Функция се нарича периодична, ако има ненулево число T, така че за всяко x в множеството е изпълнено двойното условие: равенство:

Числото T, което удовлетворява определеното условие, се нарича период на функцията y = f(x).
Следва, че тъй като за всяко x са валидни равенствата:

тогава функциите y = sin x, y = cos x са периодични и числото е 2 Пслужи като период и за двете функции.
Периодичността на функцията е обещаното осмо свойство на функциите.

Сега погледнете графиката на функцията y = sin x (фиг. 37). За да изградите синусоида, достатъчно е да начертаете една от нейните вълни (на сегмент и след това да преместите тази вълна по оста x с. В резултат на това, използвайки една вълна, ще изградим цялата графика.

Нека да разгледаме от същата гледна точка графиката на функцията y = cos x (фиг. 41). Виждаме, че тук, за да начертаете графика, е достатъчно първо да начертаете една вълна (например на сегмента

И след това го преместете по оста x с
Обобщавайки, правим следния извод.

Ако функцията y = f(x) има период T, тогава за да построите графика на функцията, първо трябва да построите клон (вълна, част) на графиката на всеки интервал с дължина T (най-често вземете интервал с краища в точки и след това преместете този клон по оста x надясно и наляво към T, 2T, ZT и т.н.
Една периодична функция има безкрайно много периоди: ако T е период, тогава 2T е период и ZT е период и -T е период; Като цяло периодът е произволно число от формата KT, където k = ±1, ±2, ± 3... Обикновено се опитват, ако е възможно, да изолират най-малкия положителен период, той се нарича основен период.
И така, всяко число от формата 2pk, където k = ±1, ± 2, ± 3, е периодът на функциите y = sinn x, y = cos x; 2n е основният период на двете функции.

Пример.Намерете главния период на функцията:

а)Нека T е главният период на функцията y = sin x. Да сложим

За да бъде числото T период на функция, идентичността Но тъй като говорим за намиране на главния период, получаваме
б)Нека T е основният период на функцията y = cos 0,5x. Нека сложим f(x)=cos 0,5x. Тогава f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

За да бъде числото T период на функцията, идентичността cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x трябва да е в сила.

Това означава 0,5t = 2pp. Но тъй като говорим за намиране на основния период, получаваме 0,5T = 2 l, T = 4 l.

Обобщението на получените в примера резултати е следното твърдение: главният период на функцията

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки програма за дискусии Интегрирани уроци

удовлетворяващи системата от неравенства:

б) Да разгледаме набор от числа на числовата ос, които удовлетворяват системата от неравенства:

Намерете сумата от дължините на отсечките, съставляващи това множество.

§ 7. Най-простите формули

В § 3 установихме следната формула за остри ъгли α:

			sin2 α + cos2 α = 1.
				Същата формула			кога,
				когато α е всяко			всъщност
				le, нека M е точка от тригонометрията
				ичен кръг, съответстващ на
				число α (фиг. 7.1). Тогава		М има ко-
				ординати x = cos α, y
				Въпреки това, всяка точка (x; y), лежаща на
				кръг с единичен радиус с център
				trome в началото, задоволително
				удовлетворява уравнението x2 + y2		1, откъдето
				cos2 α + sin2 α = 1, както се изисква.

И така, формулата cos2 α + sin2 α = 1 следва от уравнението на окръжността. Може да изглежда, че по този начин сме дали ново доказателство на тази формула за остри ъгли (в сравнение с това, посочено в § 3, където използвахме Питагоровата теорема). Разликата обаче е чисто външна: при извеждане на уравнението на окръжност x2 + y2 = 1 се използва същата Питагорова теорема.

За острите ъгли получихме и други формули, напр

Според символа дясната страна винаги е неотрицателна, докато лявата страна може да е отрицателна. За да е вярна формулата за всички α, тя трябва да бъде повдигната на квадрат. Полученото равенство е: cos2 α = 1/(1 + tan2 α). Нека докажем, че тази формула е вярна за всички α:1

1/(1 + тен2			sin2 α			cos2 α	Cos2 α.
			cos2 α			sin2 α + cos2 α

Задача 7.1. Изведете всички формули по-долу от дефинициите и формулата sin2 α + cos2 α = 1 (вече сме доказали някои от тях):

sin2 α + cos2 α = 1;

tg2 α =

tg2 α

sin2 α =

tg α · ctg α = 1;

cos2 α

1 + tan2 α

ctg2 α

Ctg2

cos2 α =

1 + cotg2 α

грях2

Тези формули позволяват, знаейки стойността на една от тригонометричните функции на дадено число, почти да намерите всички останали.

нов Нека, например, знаем, че sin x = 1/2. Тогава cos2 x =

1−sin2 x = 3/4, така че cos x е или 3/2, или − 3/2. За да разберете на кое от тези две числа е равно cos x, е необходима допълнителна информация.

Задача 7.2. Покажете с примери, че и двата горни случая са възможни.

Задача 7.3. а) Нека tan x = −1. Намерете sin x. Колко отговора има този проблем?

б) Нека в допълнение към условията на точка а) знаем, че sin x< 0. Сколько теперь ответов у задачи?

1 За което е дефинирано tan α, т.е. cos α 6= 0.

Задача 7.4. Нека sin x = 3/5, x [π/2; 3π/2]. Намерете tg x.

Задача 7.5. Нека tan x = 3, cos x > sin x. Намерете cos x, sin x.

Задача 7.6. Нека tg x = 3/5. Намерете sin x + 2 cos x. cos x − 3 sin x

Задача 7.7. Докажете идентичностите:

tan α − sin α

в) sin α + cos α cot α + sin α tan α + cos α =

Задача 7.8. Опростете изразите:

а) (sin α + cos α)2 + (sin α − cos α)2 ; б) (tg α + ctg α)2 + (tg α − ctg α)2 ;

в) sin α(2 + cot α)(2 cot α + 1) − 5 cos α.

§ 8. Периоди на тригонометрични функции

Числата x, x+2π, x−2π съответстват на една и съща точка от тригонометричната окръжност (ако изминете допълнителен кръг по тригонометричната окръжност, ще се върнете там, където сте били). Това предполага следните идентичности, които вече бяха обсъдени в § 5:

sin(x + 2π) = sin(x − 2π) = sin x; cos(x + 2π) = cos(x − 2π) = cos x.

Във връзка с тези идентичности вече използвахме термина „период“. Нека сега дадем точни определения.

Определение. Числото T 6= 0 се нарича период на функцията f, ако за всички x са верни равенствата f(x − T) = f(x + T) = f(x) (приема се, че x + T и x − T са включени в областта на дефиниция на функцията , ако включва x). Една функция се нарича периодична, ако има период (поне един).

Периодичните функции възникват естествено при описване на колебателни процеси. Един от тези процеси вече беше обсъден в § 5. Ето още примери:

1) Нека ϕ = ϕ(t) е ъгълът на отклонение на люлеещото се махало на часовника от вертикалата в момента t. Тогава ϕ е периодична функция на t.

2) Напрежението („потенциалната разлика“, както би казал един физик) между два контакта на AC контакт, например

дали се разглежда като функция на времето, е периодична функция1.

3) Нека чуем музикалния звук. Тогава налягането на въздуха в дадена точка е периодична функция на времето.

Ако една функция има период T, тогава периодите на тази функция също ще бъдат числата −T, 2T, −2T. . . - с една дума всички числа nT, където n е цяло число, което не е равно на нула. Наистина, нека проверим, например, че f(x + 2T) = f(x):

f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).

Определение. Най-малкият положителен период на функция f е - в съответствие с буквалното значение на думите - положително число T, така че T да е период от f и никое положително число, по-малко от T, да не е период от f.

Не се изисква една периодична функция да има най-малкия положителен период (например, функция, която е постоянна, има период от произволно число и следователно няма най-малкия положителен период). Можем също да дадем примери за непостоянни периодични функции, които нямат най-малкия положителен период. Въпреки това, в повечето интересни случаи съществува най-малкият положителен период на периодични функции.

1 Когато казват „напрежението в мрежата е 220 волта“, те имат предвид неговата „ефективна стойност“, за която ще говорим в § 21. Самото напрежение се променя през цялото време.

Ориз. 8.1. Период на тангенса и котангенса.

По-специално, най-малкият положителен период на синус и косинус е 2π. Нека докажем това, например, за функцията y = sin x. Нека, противно на това, което твърдим, синус има период Т, такъв че 0< T < 2π. При x = π/2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (π/2) + 2π. Поэтому период синуса быть меньше 2π не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Най-малкият положителен период на функцията, описваща трептенията (както в нашите примери 1–3), просто се нарича период на тези трептения.

Тъй като 2π е периодът на синус и косинус, той също ще бъде период на тангенс и котангенс. За тези функции обаче 2π не е най-малкият период: най-малкият положителен период на тангенса и котангенса ще бъде π. Всъщност точките, съответстващи на числата x и x + π на тригонометричната окръжност, са диаметрално противоположни: от точка x до точка x + 2π човек трябва да измине разстояние π, точно равно на половината от окръжността. Сега, ако използваме определението за тангенс и котангенс, използвайки осите на тангенсите и котангенсите, равенствата tg(x + π) = tan x и ctg(x + π) = ctg x ще станат очевидни (фиг. 8.1). Лесно е да се провери (ще предложим да направите това в задачите), че π наистина е най-малкият положителен период на тангенса и котангенса.

Една забележка относно терминологията. Думите „период на функция“ често се използват за означаване на „най-малък положителен период“. Така че, ако на изпит ви попитат: „100π периодът на функцията синус ли е?“, не бързайте с отговора, а изяснете дали имате предвид най-малкия положителен период или само един от периодите.

Тригонометричните функции са типичен пример за периодични функции: всяка "не много лоша" периодична функция може в известен смисъл да бъде изразена чрез тригонометрични.

Задача 8.1. Намерете най-малките положителни периоди на функциите:

				в) y = cos πx;

г) y = cos x + cos(1,01x).

Задача 8.2. Зависимостта на напрежението в мрежа с променлив ток от времето се дава по формулата U = U0 sin ωt (тук t е време, U е напрежение, U0 и ω са константи). Честотата на променливия ток е 50 херца (това означава, че напрежението прави 50 трептения в секунда).

а) Намерете ω, като приемете, че t се измерва в секунди;

b) Намерете (най-малкия положителен) период на U като функция на t.

Задача 8.3. а) Докажете, че най-малкият положителен период на косинуса е 2π;

б) Докажете, че най-малкият положителен период на тангентата е равен на π.

Задача 8.4. Нека най-малкият положителен период на функцията f е T. Докажете, че всичките му останали периоди са от вида nT за някои цели n.

Задача 8.5. Докажете, че следните функции не са периодични.

Цел: обобщете и систематизирайте знанията на учениците по темата „Периодичност на функциите“; развиват умения за прилагане на свойствата на периодична функция, намиране на най-малкия положителен период на функция, конструиране на графики на периодични функции; насърчаване на интереса към изучаването на математика; култивирайте наблюдателност и точност.

Оборудване: компютър, мултимедиен проектор, карти със задачи, диапозитиви, часовници, таблици с орнаменти, елементи от народните занаяти

„Математиката е това, което хората използват, за да контролират природата и себе си.“
А.Н. Колмогоров

По време на часовете

I. Организационен етап.

Проверка на готовността на учениците за урока. Докладвайте темата и целите на урока.

II. Проверка на домашните.

Проверяваме домашните с помощта на проби и обсъждаме най-трудните точки.

III. Обобщаване и систематизиране на знанията.

1. Устна фронтална работа.

Теоретични въпроси.

1) Формирайте дефиниция на периода на функцията
2) Назовете най-малкия положителен период на функциите y=sin(x), y=cos(x)
3). Какъв е най-малкият положителен период на функциите y=tg(x), y=ctg(x)
4) С помощта на кръг докажете правилността на отношенията:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Как да начертая периодична функция?

Устни упражнения.

1) Докажете следните отношения

а) sin(740º) = sin(20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
° С) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Докажете, че ъгъл от 540º е един от периодите на функцията y= cos(2x)

3. Докажете, че ъгъл от 360º е един от периодите на функцията y=tg(x)

4. Трансформирайте тези изрази така, че ъглите, включени в тях, да не надвишават 90º по абсолютна стойност.

а) tg375º
б) ctg530º
° С) sin1268º
д) cos(-7363º)

5. Къде срещнахте думите ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТ?

Отговори на учениците: Периодът в музиката е структура, в която е представена повече или по-малко завършена музикална мисъл. Геоложкият период е част от ера и е разделен на епохи с период от 35 до 90 милиона години.

Време на полуразпад на радиоактивно вещество. Периодична дроб. Периодичните издания са печатни издания, които излизат в строго определени срокове. Периодичната система на Менделеев.

6. Фигурите показват части от графиките на периодични функции. Определете периода на функцията. Определете периода на функцията.

Отговор: Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.

7. Къде в живота си сте срещали изграждането на повтарящи се елементи?

Отговор на ученик: Елементи на орнаменти, народно изкуство.

IV. Колективно решаване на проблеми.

(Решаване на задачи на слайдове.)

Нека разгледаме един от начините за изследване на функция за периодичност.

Този метод избягва трудностите, свързани с доказването, че даден период е най-малък, и също така елиминира необходимостта да се засягат въпроси за аритметични операции върху периодични функции и периодичността на сложна функция. Разсъждението се основава само на дефиницията на периодична функция и на следния факт: ако T е периодът на функцията, тогава nT(n?0) е нейният период.

Задача 1. Намерете най-малкия положителен период на функцията f(x)=1+3(x+q>5)

Решение: Да приемем, че T-периодът на тази функция. Тогава f(x+T)=f(x) за всички x € D(f), т.е.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Нека сложим х=-0,25, получаваме

(T)=0<=>T=n, n € Z

Получихме, че всички периоди на въпросната функция (ако съществуват) са сред целите числа. Нека изберем най-малкото положително число сред тези числа. Това 1 . Да проверим дали наистина ще е период 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Тъй като (T+1)=(T) за всяко T, тогава f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), т.е. 1 – период f. Тъй като 1 е най-малкото от всички положителни числа, тогава T=1.

Задача 2. Покажете, че функцията f(x)=cos 2 (x) е периодична и намерете нейния главен период.

Задача 3. Намерете главния период на функцията

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Нека приемем T-периода на функцията, тогава за всеки хсъотношението е валидно

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Ако x=0, тогава

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Ако x=-T, тогава

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

Събирайки го, получаваме:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Нека изберем най-малкото положително число от всички „подозрителни” числа за периода и проверим дали то е период за f. Този номер

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Това означава, че това е основният период на функцията f.

Задача 4. Да проверим дали функцията f(x)=sin(x) е периодична

Нека T е периодът на функцията f. Тогава за всяко x

sin|x+Т|=sin|x|

Ако x=0, тогава sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Да предположим. Че за някое n числото π n е периодът

разглежданата функция π n>0. Тогава sin|π n+x|=sin|x|

Това означава, че n трябва да е както четно, така и нечетно число, но това е невъзможно. Следователно тази функция не е периодична.

Задача 5. Проверете дали функцията е периодична

f(x)=

Тогава нека T е периодът на f

, следователно sinT=0, Т=π n, n € Z. Да приемем, че за някое n числото π n наистина е периодът на тази функция. Тогава числото 2π n ще бъде периодът

Тъй като числителите са равни, следователно знаменателите им са равни

Това означава, че функцията f не е периодична.

Работа в групи.

Задачи за 1 група.

Задачи за 2 група.

Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Задачи за 3 група.

В края на работата си групите представят своите решения.

VI. Обобщаване на урока.

Отражение.

Учителят дава на учениците карти с рисунки и ги кара да оцветят част от първия чертеж в съответствие със степента, в която смятат, че са усвоили методите за изучаване на функция за периодичност, а част от втория чертеж - в съответствие с техните принос към работата в урока.

VII. Домашна работа

1). Проверете дали функцията f е периодична и намерете нейния основен период (ако съществува)

б). f(x)=x 2 -2x+4

° С). f(x)=2tg(3x+5)

2). Функцията y=f(x) има период T=2 и f(x)=x 2 +2x за x € [-2; 0]. Намерете стойността на израза -2f(-3)-4f(3,5)

Литература/

1. Мордкович А.Г.Алгебра и начало на анализа със задълбочено изучаване.
2. Математика. Подготовка за Единния държавен изпит. Изд. Лисенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
3. Шереметьева Т.Г. , Тарасова Е.А.Алгебра и начален анализ за 10-11 клас.

Аргумент x, тогава той се нарича периодичен, ако има число T такова, че за всяко x F(x + T) = F(x). Това число T се нарича период на функцията.

Може да има няколко периода. Например функцията F = const приема една и съща стойност за всяка стойност на аргумента и следователно всяко число може да се счита за негов период.

Обикновено се интересувате от най-малкия ненулев период на функция. За краткост се нарича просто период.

Класически пример за периодични функции е тригонометричният: синус, косинус и тангенс. Техният период е еднакъв и равен на 2π, тоест sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и т.н. Но, разбира се, тригонометричните функции не са единствените периодични.

За простите основни функции единственият начин да се определи дали са периодични или непериодични е чрез изчисление. Но за сложни функции вече има няколко прости правила.

Ако F(x) е с период T и за него е дефинирана производна, тогава тази производна f(x) = F′(x) също е периодична функция с период T. В крайна сметка стойността на производната в точка x е равно на тангенса на ъгъла на допирателната на графиката на неговата антипроизводна в тази точка спрямо оста x и тъй като антипроизводната се повтаря периодично, производната също трябва да се повтаря. Например, производната на функцията sin(x) е равна на cos(x) и е периодична. Вземането на производната на cos(x) ви дава –sin(x). Честотата остава непроменена.

Обратното обаче не винаги е вярно. По този начин функцията f(x) = const е периодична, но нейната първоизводна F(x) = const*x + C не е.

Ако F(x) е периодична функция с период T, тогава G(x) = a*F(kx + b), където a, b и k са константи и k не е равно на нула - също е периодична функция , а периодът му е T/k. Например sin(2x) е периодична функция и нейният период е π. Това може да бъде визуално представено по следния начин: като умножите x по някакво число, вие изглежда компресирате графиката на функцията хоризонтално точно толкова пъти

Ако F1(x) и F2(x) са периодични функции и техните периоди са равни съответно на T1 и T2, тогава сумата от тези функции също може да бъде периодична. Неговият период обаче няма да бъде проста сума от периоди T1 и T2. Ако резултатът от деленето T1/T2 е рационално число, тогава сумата от функциите е периодична и нейният период е равен на най-малкото общо кратно (LCM) на периодите T1 и T2. Например, ако периодът на първата функция е 12, а периодът на втората е 15, тогава периодът на тяхната сума ще бъде равен на LCM (12, 15) = 60.

Това може да бъде визуално представено по следния начин: функциите идват с различни „ширини на стъпките“, но ако съотношението на техните ширини е рационално, тогава рано или късно (или по-скоро, точно чрез LCM на стъпките), те отново ще станат равни и тяхната сума ще започне нов период.

Въпреки това, ако съотношението на периодите е ирационално, тогава общата функция изобщо няма да бъде периодична. Например, нека F1(x) = x mod 2 (остатъкът, когато x е разделено на 2), и F2(x) = sin(x). T1 тук ще бъде равно на 2, а T2 ще бъде равно на 2π. Отношението на периодите е равно на π – ирационално число. Следователно функцията sin(x) + x mod 2 не е периодична.

Тригонометричен функции периодичен, тоест те се повтарят след определен период. В резултат на това е достатъчно да се изследва функцията на този интервал и да се разширят откритите свойства за всички останали периоди.

Инструкции

1. Ако ви е даден примитивен израз, в който има само една тригонометрична функция (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) и ъгълът вътре във функцията не е умножен по никакво число и самата тя не е повдигната до никакво мощност - използвайте определението. За изрази, съдържащи sin, cos, sec, cosec, смело задайте периода на 2P и ако уравнението съдържа tg, ctg, тогава P. Да кажем, че за функцията y=2 sinx+5, периодът ще бъде равен на 2P .

2. Ако ъгълът x под знака на тригонометрична функция се умножи по някакво число, тогава, за да намерите периода на тази функция, разделете типичния период на това число. Да кажем, че ви е дадена функция y = sin 5x. Типичният период за синус е 2P; като го разделите на 5, получавате 2P/5 - това е желаният период на този израз.

3. За да намерите периода на тригонометрична функция, повдигната на степен, оценете паритета на степента. За равномерна степен намалете типичния период наполовина. Да кажем, че ако ви е дадена функцията y = 3 cos^2x, тогава типичният период 2P ще намалее 2 пъти, така че периодът ще бъде равен на P. Моля, имайте предвид, че функциите tg, ctg са периодични на P на всеки степен.

4. Ако ви е дадено уравнение, съдържащо произведението или частното на две тригонометрични функции, първо намерете периода за всички тях поотделно. След това намерете минималното число, което ще съдържа цялото число на двата периода. Да кажем, че е дадена функцията y=tgx*cos5x. За тангенс периодът е P, за косинус 5x периодът е 2P/5. Минималният брой, в който могат да се поместят и двата периода, е 2P, следователно желаният период е 2P.

5. Ако ви е трудно да го направите по предложения начин или се съмнявате в резултата, опитайте се да го направите по дефиниция. Вземете T като период на функцията; той е по-голям от нула. Заместете израза (x + T) вместо x в уравнението и решете полученото равенство, сякаш T е параметър или число. В резултат на това ще откриете стойността на тригонометричната функция и ще можете да намерите най-малкия период. Да кажем, че в резултат на облекчението получавате греха на идентичност (T/2) = 0. Минималната стойност на T, при която се изпълнява, е 2P, това ще бъде резултатът от задачата.

Периодична функция е функция, която повтаря стойностите си след някакъв ненулев период. Периодът на функция е число, което, когато се добави към аргумента на функция, не променя стойността на функцията.

Ще имаш нужда

• Познания по елементарна математика и основен преглед.

Инструкции

1. Нека обозначим периода на функцията f(x) с числото K. Нашата задача е да открием тази стойност на K. За да направите това, представете си, че функцията f(x), използвайки дефиницията на периодична функция, приравняваме f(x+K)=f(x).

2. Решаваме полученото уравнение относно неизвестното K, сякаш x е константа. В зависимост от стойността на K ще има няколко опции.

3. Ако K>0 – това е периодът на вашата функция Ако K=0 – тогава функцията f(x) не е периодична Ако решението на уравнението f(x+K)=f(x) не съществува за всяко K не е равно на нула, тогава такава функция се нарича апериодична и тя също няма период.

Видео по темата

Забележка!
Всички тригонометрични функции са периодични, а всички полиномни функции със степен по-голяма от 2 са апериодични.

Полезен съвет
Периодът на функция, състояща се от 2 периодични функции, е най-малкото универсално кратно на периодите на тези функции.

Тригонометричните уравнения са уравнения, които съдържат тригонометрични функции на неизвестен аргумент (например: 5sinx-3cosx =7). За да се научите как да ги решавате, трябва да знаете някои начини за това.

Инструкции

1. Решаването на такива уравнения се състои от 2 етапа.Първият е реформирането на уравнението, за да придобие най-простата си форма. Най-простите тригонометрични уравнения са: Sinx=a; Cosx=a и т.н.

2. Второто е полученото решение на най-простото тригонометрично уравнение. Има основни начини за решаване на уравнения от този тип: Решаване алгебрично. Този метод е добре познат от училище, от курс по алгебра. Иначе се нарича метод на заместване и заместване на променливи. Използвайки формули за редукция, трансформираме, правим заместване и след това намираме корените.

3. Факторизиране на уравнение. Първо преместваме всички членове наляво и ги разлагаме на множители.

4. Свеждане на уравнението до хомогенно. Уравненията се наричат ​​хомогенни уравнения, ако всички членове са с еднаква степен, а синусът и косинусът са с еднакъв ъгъл.За да го решите, трябва: първо да прехвърлите всичките му членове от дясната страна в лявата страна; преместете всички универсални фактори извън скобите; приравняват множители и скоби към нула; приравнените скоби дават хомогенно уравнение от по-ниска степен, което трябва да бъде разделено на cos (или sin) в най-висока степен; решаване на полученото алгебрично уравнение относно тен.

5. Следващият начин е да преминете към половин ъгъл. Да речем, решете уравнението: 3 sin x – 5 cos x = 7. Да преминем към полуъгъла: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 грях ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , след което редуцираме всички членове в една част (за предпочитане дясната страна) и решаваме уравнението.

6. Въвеждане на спомагателен ъгъл. Когато заменим целочислената стойност cos(a) или sin(a). Знакът "а" е спомагателен ъгъл.

7. Метод за преобразуване на произведение в сума. Тук трябва да приложите подходящите формули. Да кажем, че е дадено: 2 sin x · sin 3x = cos 4x. Решете го, като трансформирате лявата страна в сума, тоест: cos 4x – cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0,8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Последният метод се нарича многофункционално заместване. Трансформираме израза и правим промяна, да речем Cos(x/2)=u, и след това решаваме уравнението с параметъра u. При закупуване на общата сума преобразуваме стойността в противоположната.

Видео по темата

Ако разгледаме точки на окръжност, тогава точките x, x + 2π, x + 4π и т.н. съвпадат един с друг. По този начин, тригонометричен функциина права линия периодичноповторете значението им. Ако периодът е известен функции, възможно е да се конструира функция върху този период и да се повтори върху други.

Инструкции

1. Периодът е число T, така че f(x) = f(x+T). За да намерите периода, решете съответното уравнение, като заместите x и x+T като аргумент. В този случай те използват вече добре познатите периоди за функции. За функциите синус и косинус периодът е 2π, а за функциите тангенс и котангенс е π.

2. Нека е дадена функцията f(x) = sin^2(10x). Разгледайте израза sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Използвайте формулата, за да намалите степента: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. След това получавате 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) или cos 20x = cos (20x+20T). Като знаем, че периодът на косинуса е 2π, 20T = 2π. Това означава T = π/10. T е минималният правилен период и функцията ще се повтори след 2T и след 3T и в другата посока по оста: -T, -2T и т.н.

Полезен съвет
Използвайте формули за намаляване на степента на функция. Ако вече знаете периодите на някои функции, опитайте се да намалите съществуващата функция до известни.

Изследването на функция за четност и нечетност помага да се изгради графика на функцията и да се разбере естеството на нейното поведение. За това изследване трябва да сравните тази функция, написана за аргумента „x“ и за аргумента „-x“.

Инструкции

1. Запишете функцията, която искате да изследвате, във формата y=y(x).

2. Заменете аргумента на функцията с „-x“. Заместете този аргумент във функционален израз.

3. Опростете израза.

4. Така имате една и съща функция, написана за аргументи "x" и "-x". Погледнете тези два записа. Ако y(-x)=y(x), това е четна функция. Ако y(-x)=-y(x), тогава това е нечетна функция. Ако е невъзможно да да кажем за функция, че y (-x)=y(x) или y(-x)=-y(x), тогава по свойството паритет това е функция с универсална форма. Тоест не е нито четно, нито нечетно.

5. Запишете констатациите си. Сега можете да ги използвате при построяването на графика на функция или в бъдещо аналитично изследване на свойствата на функция.

6. Също така е възможно да се говори за четност и нечетност на функция, когато графиката на функцията вече е дадена. Да приемем, че графиката е послужила като резултат от физически експеримент. Ако графиката на функция е симетрична спрямо ординатната ос, тогава y(x) е четна функция. Ако графиката на функция е симетрична спрямо абсцисната ос, тогава x(y) е четна функция. x(y) е функция, обратна на функцията y(x). Ако графиката на функция е симетрична спрямо началото (0,0), тогава y(x) е нечетна функция. Обратната функция x(y) също ще бъде нечетна.

7. Важно е да запомните, че идеята за четност и нечетност на функция има пряка връзка с домейна на дефиниране на функцията. Ако, да речем, четна или нечетна функция не съществува при x=5, тогава тя не съществува при x=-5, което не може да се каже за функция с универсална форма. Когато установявате четен и нечетен паритет, обърнете внимание на домейна на функцията.

8. Намирането на функция за четност и нечетност корелира с намирането на набор от функционални стойности. За да намерите набора от стойности на четна функция, достатъчно е да погледнете половината от функцията, вдясно или вляво от нулата. Ако при x>0 четната функция y(x) приема стойности от A до B, тогава тя ще приема същите стойности при x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 странна функция y(x) приема диапазон от стойности от A до B, след това при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Тригонометрични“ някога са започнали да се наричат ​​функции, които се определят от зависимостта на острите ъгли в правоъгълен триъгълник от дължините на неговите страни. Такива функции включват, на първо място, синус и косинус, второ, обратното на тези функции, секанс и косеканс, техните производни тангенс и котангенс, както и обратните функции арксинус, аркосинус и т.н. По-положително е да не говорим за „решението“ на такива функции, а за тяхното „изчисляване“, тоест за намирането на числова стойност.

Инструкции

1. Ако аргументът на тригонометричната функция е неизвестен, тогава стойността му може да се изчисли чрез индиректен метод въз основа на дефинициите на тези функции. За да направите това, трябва да знаете дължините на страните на триъгълника, тригонометричната функция за един от ъглите на който трябва да се изчисли. Да кажем, че по дефиниция синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на дължината на катета срещу този ъгъл към дължината на хипотенузата. От това следва, че за да се намери синусът на ъгъл е достатъчно да се знаят дължините на тези 2 страни. Подобно определение гласи, че синусът на остър ъгъл е съотношението на дължината на крака, съседен на този ъгъл, към дължината на хипотенузата. Тангенсът на остър ъгъл може да се изчисли, като се раздели дължината на противоположния катет на дължината на съседния, а котангенсът изисква разделяне на дължината на съседния катет на дължината на срещуположния. За да изчислите секанса на остър ъгъл, трябва да намерите съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на крака, съседен на необходимия ъгъл, а косекансът се определя от съотношението на дължината на хипотенузата към дължината на срещуположния крак.

2. Ако аргументът на тригонометричната функция е правилен, тогава не е необходимо да знаете дължините на страните на триъгълника - можете да използвате таблици със стойности или калкулатори на тригонометрични функции. Такъв калкулатор е включен в стандартните програми на операционната система Windows. За да го стартирате, можете да натиснете клавишната комбинация Win + R, да въведете командата calc и да щракнете върху бутона „OK“. В интерфейса на програмата трябва да разгънете секцията „Преглед“ и да изберете елемента „Инженер“ или „Учен“. След това е възможно да се въведе аргументът на тригонометричната функция. За да изчислите функциите синус, косинус и тангенс, по-скоро след като въведете стойността, щракнете върху съответния бутон на интерфейса (sin, cos, tg), а за да намерите техния обратен арксинус, аркосинус и арктангенс, трябва предварително да поставите отметка в квадратчето Inv.

3. Има и алтернативни методи. Един от тях е да отидете на уебсайта на търсачката Nigma или Google и да въведете желаната функция и нейния аргумент като заявка за търсене (да речем sin 0.47). Тези търсачки имат вградени калкулатори, така че след изпращане на такава заявка ще получите стойността на въведената от вас тригонометрична функция.

Видео по темата

Съвет 7: Как да откриете стойността на тригонометричните функции

Тригонометричните функции се появяват за първи път като инструменти за абстрактни математически изчисления на зависимостите на стойностите на острите ъгли в правоъгълен триъгълник от дължините на страните му. Сега те се използват широко както в научните, така и в техническите области на човешката дейност. За утилитарни изчисления на тригонометрични функции от дадени аргументи можете да използвате различни инструменти - няколко от тях, които са особено достъпни, са описани по-долу.

Инструкции

1. Използвайте, да речем, програмата калкулатор, инсталирана по подразбиране с операционната система. Отваря се, като изберете елемента „Калкулатор“ в папката „Услуга“ от подраздела „Типични“, намиращ се в раздела „Всички програми“. Този раздел може да бъде намерен, като отворите главното меню на операционната система, като щракнете върху бутона „Старт“. Ако използвате версията на Windows 7, вероятно просто ще въведете думата „Калкулатор“ в полето „Откриване на програми и файлове“ на главното меню и след това щракнете върху съответната връзка в резултатите от търсенето.

2. Въведете стойността на ъгъла, за който искате да изчислите тригонометричната функция, и след това щракнете върху бутона, съответстващ на тази функция - sin, cos или tan. Ако сте загрижени за обратни тригонометрични функции (арксинус, арккосинус или арктангенс), тогава първо щракнете върху бутона с надпис Inv - той обръща функциите, присвоени на бутоните за ръководство на калкулатора.

3. В по-ранните версии на операционната система (да речем Windows XP), за да получите достъп до тригонометричните функции, трябва да отворите секцията „Изглед“ в менюто на калкулатора и да изберете реда „Инженеринг“. Освен това, вместо бутона Inv, интерфейсът на по-старите версии на програмата има квадратче със същия надпис.

4. Можете да правите без калкулатор, ако имате достъп до интернет. В интернет има много услуги, които предлагат калкулатори на тригонометрични функции, организирани по различни начини. Една от особено удобните опции е вградена в търсачката Nigma. Отивайки на главната му страница, просто въведете стойността, която ви тревожи, в полето за заявка за търсене - да речем „дъгова допирателна 30 градуса“. След като щракнете върху бутона "Откриване!" Търсачката ще изчисли и ще покаже резултата от изчислението - 0.482347907101025.

Видео по темата

Тригонометрията е дял от математиката за разбиране на функции, които изразяват различни зависимости на страните на правоъгълен триъгълник от стойностите на острите ъгли при хипотенузата. Такива функции бяха наречени тригонометрични и за улесняване на работата с тях бяха получени тригонометрични функции идентичности .

производителност идентичностив математиката означава равенство, което е изпълнено за всички стойности на аргументите на функциите, включени в него. Тригонометричен идентичностиса равенства на тригонометрични функции, потвърдени и приети за опростяване на работата с тригонометрични формули.Тригонометричната функция е елементарна функция на зависимостта на един от катетите на правоъгълен триъгълник от стойността на острия ъгъл при хипотенузата. Шестте основни тригонометрични функции, които се използват най-често, са sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) и cosec (косеканс). Тези функции се наричат ​​директни функции, има и обратни функции, да речем, синус - арксинус, косинус - аркосинус и др. Първоначално тригонометричните функции бяха отразени в геометрията, след което се разпространиха в други области на науката: физика, химия, география, оптика, теория на вероятностите, както и акустика, теория на музиката, фонетика, компютърна графика и много други. Днес е трудно да си представим математически изчисления без тези функции, въпреки че в далечното минало те са били използвани само в астрономията и архитектурата. идентичностисе използват за опростяване на работата с дълги тригонометрични формули и намаляването им до смилаема форма. Има шест основни тригонометрични идентичности; те са свързани с директни тригонометрични функции: tg ? = грях?/защото?; грях^2? +cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (?/2 – ?) = cos ?; cos (?/2 – ?) = sin ?. Тези идентичностилесно се потвърждава от свойствата на съотношението на страните и ъглите в правоъгълен триъгълник: sin ? = BC/AC = b/c; защото? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Първата идентичност tg ? = sin ?/cos ? следва от съотношението на страните в триъгълника и изключването на страна c (хипотенуза) при разделянето на sin на cos. Идентичността ctg ? се дефинира по същия начин. = cos ?/sin ?, защото ctg ? = 1/tg ?. По Питагоровата теорема a^2 + b^2 = c^2. Нека разделим това равенство на c^2, получаваме второто тъждество: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Трети и четвърти идентичностиполучено чрез разделяне съответно на b^2 и a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? или 1 + ctg^2? = 1/sin^2 ?.Пета и шеста основна идентичностисе доказват чрез определяне на сбора от острите ъгли на правоъгълен триъгълник, който е равен на 90° или?/2. По-трудни тригонометрични идентичности: формули за добавяне на аргументи, двойни и тройни ъгли, редуциране на градуси, реформиране на сумата или произведението на функции, както и формули за тригонометрично заместване, а именно изрази на основни тригонометрични функции чрез tg на половин ъгъл: sin ?= (2*tg ?/2)/(1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Необходимостта да се намери минимумът значениематематически функциипредставлява действителен интерес при решаването на приложни проблеми, да речем, в икономиката. Огромен значениеминимизирането на загубите е от съществено значение за бизнес дейностите.

Инструкции

1. За да откриете минимума значение функции, е необходимо да се определи при каква стойност на аргумента x0 ще бъде изпълнено неравенството y(x0)? y(x), където x? x0. Както обикновено, този проблем се решава за определен интервал или във всеки диапазон от стойности функции, ако такъв не е посочен. Един аспект на решението е намирането на фиксирани точки.

2. Стационарна точка се нарича значениеаргумент, в който производната функцииотива на нула. Според теоремата на Ферма, ако диференцируема функция приема екстремал значениев някакъв момент (в този случай локален минимум), тогава тази точка е неподвижна.

3. минимум значениефункцията често поема точно тази точка, но тя не може да бъде определена неизменно. Освен това не винаги е възможно да се каже с точност какъв е минимумът функцииили той приема безкрайно малкото значение. След това, както обикновено, те намират границата, към която тя клони, докато намалява.

4. За да се определи минималната значение функции, трябва да извършите последователност от действия, състояща се от четири етапа: намиране на домейна на дефиницията функции, придобиване на фиксирани точки, преглед на стойностите функциив тези точки и в краищата на празнината, откривайки минимума.

5. Оказва се, че някаква функция y(x) е дадена на интервал с граници в точките A и B. Намерете областта на нейната дефиниция и разберете дали интервалът е негово подмножество.

6. Изчислете производната функции. Приравнете получения израз на нула и намерете корените на уравнението. Проверете дали тези неподвижни точки попадат в празнината. Ако не, те не се вземат предвид на следващ етап.

7. Разгледайте празнината за вида на границите: отворени, затворени, сложни или неизмерими. Това определя как търсите минимума значение. Да кажем, че сегментът [A, B] е затворен интервал. Включете ги във функцията и изчислете стойностите. Направете същото с неподвижна точка. Изберете най-ниската сума.

8. При отворени и неизмерими интервали ситуацията е малко по-трудна. Тук ще трябва да търсите едностранчиви граници, които не винаги дават недвусмислен резултат. Да речем, за интервал с една затворена и една пробита граница [A, B), трябва да се намери функция при x = A и едностранна граница lim y при x? Б-0.