Как да намерим общо кратно. Най-малко общо кратно (LCM) – Дефиниция, примери и свойства. Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

Нека намерим най-големия общ делител на НОД (36; 24)

Стъпки на решението

Метод №1

36 - съставно число
24 - съставно число

Нека разширим числото 36

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - дели се на простото число 2
9: 3 = 3 - дели се на простото число 3.

Нека разбием числото 24 на прости множители и ги маркирайте в зелено. Започваме да избираме делител от прости числа, започвайки с най-малкото просто число 2, докато частното се окаже просто число

24: 2 = 12 - дели се на простото число 2
12: 2 = 6 - дели се на простото число 2
6: 2 = 3
Завършваме делението, тъй като 3 е просто число

2) Маркирайте го в синьо и напишете общите множители

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общи множители (36; 24): 2, 2, 3

3) Сега, за да намерите НОД, трябва да умножите общите множители

Отговор: НОД (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 12

Метод № 2

1) Намерете всички възможни делители на числата (36; 24). За да направите това, последователно ще разделим числото 36 на делители от 1 до 36, а числото 24 - на делители от 1 до 24. Ако числото се дели без остатък, тогава записваме делителя в списъка с делители.

За номер 36
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

За числото 24 Нека запишем всички случаи, когато се дели без остатък:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) Нека да запишем всички общи делители на числата (36; 24) и да маркираме най-големия в зелено, това ще бъде най-големият общ делител на НОД на числата (36; 24)

Общи множители на числата (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

Отговор: НОД (36; 24) = 12

Нека намерим най-малкото общо кратно на LCM (52; 49)

Стъпки на решението

Метод №1

1) Нека разложим числата на прости множители. За да направите това, нека проверим дали всяко от числата е просто (ако едно число е просто, то не може да се разложи на прости множители и самото то е разлагане)

52 - съставно число
49 - съставно число

Нека разширим числото 52 на прости множители и ги маркирайте в зелено. Започваме да избираме делител от прости числа, започвайки с най-малкото просто число 2, докато частното се окаже просто число

52: 2 = 26 - дели се на простото число 2
26: 2 = 13 - дели се на простото число 2.
Завършваме делението, тъй като 13 е просто число

Нека разширим числото 49 на прости множители и ги маркирайте в зелено. Започваме да избираме делител от прости числа, започвайки с най-малкото просто число 2, докато частното се окаже просто число

49: 7 = 7 - дели се на простото число 7.
Завършваме делението, тъй като 7 е просто число

2) Първо запишете множителите на най-голямото число, а след това на по-малкото число. Нека намерим липсващите фактори, маркирайте в синьо в разгръщането на по-малкото число факторите, които не са включени в разгръщането на по-голямото число.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) Сега, за да намерите LCM, трябва да умножите факторите на по-голямото число с липсващите фактори, които са маркирани в синьо

LCM (52; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

Метод № 2

1) Намерете всички възможни кратни на числата (52; 49). За целта последователно ще умножим числото 52 по числата от 1 до 49 и числото 49 по числата от 1 до 52.

Изберете всички кратни 52 в зелено:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

Изберете всички кратни 49 в зелено:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) Нека запишем всички общи кратни на числата (52; 49) и маркирайте най-малкото в зелено, това ще бъде най-малкото общо кратно на числата (52; 49).

Общи кратни на числа (52; 49): 2548

Отговор: LCM (52; 49) = 2548

На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има проблеми със следната формулировка: има две значения. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби с различни знаменатели. В тази статия ще разгледаме как да намерим LOC и основните понятия.

Основни понятия

Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция звучи така: кратно на определена стойност А е естествено число, което ще се дели без остатък на А. Така че за 4 кратните ще бъдат 8, 12, 16, 20, и така нататък до необходимия лимит.

В този случай броят на делителите за конкретна стойност може да бъде ограничен, но кратните са безкрайно много. Същата стойност има и за природните ценности. Това е показател, който се разделя на тях без остатък. След като разбрахме концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.

Намиране на НОК

Най-малкото кратно на два или повече показателя е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички посочени числа.

Има няколко начина да намерите такава стойност, разгледайте следните методи:

1. Ако числата са малки, запишете на един ред всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. Писмено те се означават с буквата К. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
2. Ако те са големи или трябва да намерите кратно на 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате друга техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от списъка, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия подчертайте факторите и ги добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
3. При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. В разгръщането на най-голямото не са включени само две двойки от разгръщането на числото 16. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за предварително посочените числови стойности.

Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.

Как да намерите GCD и NOC.

Частни методи за намиране

Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:

• ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (НКМ на 60 и 15 е 15);
• относително простите числа нямат общи прости множители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 ще бъде 56;
• същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Това трябва да включва и случаи на разлагане на съставни числа, които са тема на отделни статии и дори на кандидатски дисертации.

Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите, където има неравни знаменатели.

Малко примери

Нека да разгледаме няколко примера, които ще ви помогнат да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:

1. Намерете LOC (35; 40). Първо разлагаме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавете 8 към най-малкото число и вземете LOC 280.
2. НОК (45; 54). Разлагаме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме LCM равно на 270.
3. Е, последният пример. Има 5 и 4. Няма прости кратни на тях, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, което е равно на 20.

Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какъв е смисълът на такива манипулации.

Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда първоначално. За да направите това, се използват както просто разширение, така и умножение на прости стойности помежду си. Умението да работите с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено на дроби с различна степен на сложност.

Не забравяйте периодично да решавате примери с различни методи; това развива логическия ви апарат и ви позволява да запомните много термини. Научете как да намирате такъв степенен показател и ще можете да се справите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.

Общи кратни

Просто казано, всяко цяло число, което се дели на всяко от дадените числа, е общо кратнодадени цели числа.

Можете да намерите общото кратно на две или повече цели числа.

Пример 1

Изчислете общото кратно на две числа: $2$ и $5$.

Решение.

По дефиниция общото кратно на $2$ и $5$ е $10$, защото то е кратно на числото $2$ и числото $5$:

Общи кратни на числата $2$ и $5$ ще бъдат и числата $–10, 20, –20, 30, –30$ и т.н., т.к. всички те са разделени на числа $2$ и $5$.

Бележка 1

Нулата е общо кратно на произволен брой ненулеви цели числа.

Според свойствата на делимостта, ако определено число е общо кратно на няколко числа, то противоположното по знак число също ще бъде общо кратно на дадените числа. Това се вижда от разгледания пример.

За дадени цели числа винаги можете да намерите тяхното общо кратно.

Пример 2

Изчислете общото кратно на $111$ и $55$.

Решение.

Нека умножим дадените числа: $111\div 55=6105$. Лесно се проверява, че числото $6105$ се дели на числото $111$ и на числото $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Така $6105$ е общо кратно на $111$ и $55$.

Отговор: Общото кратно на $111$ и $55$ е $6105$.

Но, както вече видяхме от предишния пример, това общо кратно не е единица. Други общи кратни биха били $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ и т.н. Така стигнахме до следния извод:

Бележка 2

Всеки набор от цели числа има безкраен брой общи кратни.

На практика те се ограничават до намиране на общи кратни само на положителни цели (естествени) числа, т.к множествата кратни на дадено число и противоположното му съвпадат.

Определяне на най-малкото общо кратно

От всички кратни на дадени числа най-често се използва най-малкото общо кратно (LCM).

Определение 2

Най-малкото положително общо кратно на дадени цели числа е най-малко общо кратнотези числа.

Пример 3

Изчислете LCM на числата $4$ и $7$.

Решение.

защото тези числа нямат общи делители, тогава $LCM(4,7)=28$.

Отговор: $NOK (4,7)=28$.

Намиране на NOC чрез GCD

защото има връзка между LCM и GCD, с негова помощ можете да изчислите LCM на две положителни цели числа:

Бележка 3

Пример 4

Изчислете LCM на числата $232$ и $84$.

Решение.

Нека използваме формулата, за да намерим LCM чрез GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Нека намерим НОД на числата $232$ и $84$ с помощта на евклидовия алгоритъм:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Тези. $НОД(232, 84)=4$.

Нека намерим $LCC (232, 84)$:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Отговор: $NOK (232,84)=$4872.

Пример 5

Изчислете $LCD(23, 46)$.

Решение.

защото $46$ се дели на $23$, тогава $gcd (23, 46)=23$. Да намерим LOC:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Отговор: $NOK (23,46)=$46.

Така може да се формулира правило:

Бележка 4

Ние наричаме числата, които се делят на 10, кратни на 10. Например 30 или 50 са кратни на 10. 28 е кратно на 14. Числата, които се делят както на 10, така и на 14, естествено се наричат ​​общи кратни на 10 и 14.

Можем да намерим толкова общи кратни, колкото искаме. Например 140, 280 и т.н.

Естественият въпрос е: как да намерим най-малкото общо кратно, най-малкото общо кратно?

От откритите кратни на 10 и 14, най-малкото досега е 140. Но дали това е най-малкото общо кратно?

Нека разложим нашите числа на множители:

Нека конструираме число, което се дели на 10 и 14. За да се дели на 10, трябва да имате множители 2 и 5. За да се дели на 14, трябва да имате множители 2 и 7. Но 2 вече е там, всичко, което трябва да направите, е да добавите 7. Полученото число 70 е общо кратно на 10 и 14. Въпреки това, няма да е възможно да се конструира число, по-малко от това, така че то също да бъде общо кратно.

Така че това е най-малко общо кратно. За това използваме нотацията NOC.

Нека намерим НОД и НОК за числата 182 и 70.

Изчислете сами:

3.

Ние проверяваме:

За да разберете какво са GCD и LCM, не можете да направите без разлагане на множители. Но когато вече разбираме какво е то, вече не е необходимо да го факторизираме всеки път.

Например:

Можете лесно да проверите, че за две числа, където едното се дели на другото, по-малкото е техният GCD, а по-голямото е техният LCM. Опитайте се да си обясните защо това е така.

Дължината на стъпката на таткото е 70 см, а на малката дъщеря е 15 см. Те започват да ходят с краката си на една и съща маркировка. Колко далеч ще извървят, преди краката им отново да са на ниво?

Баща и дъщеря започват да се движат. Отначало краката са на една и съща маркировка. След като направиха няколко крачки, краката им се върнаха на същото ниво. Това означава, че и баща, и дъщеря имат цял ​​брой стъпки, за да достигнат тази марка. Това означава, че разстоянието до нея трябва да бъде разделено на дължината на стъпката на бащата и дъщерята.

Тоест трябва да намерим:

Тоест това ще се случи след 210 cm = 2 m 10 cm.

Не е трудно да се разбере, че бащата ще направи 3 стъпки, а дъщерята ще направи 14 (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация към задачата

Проблем 1

Петя има 100 приятели в мрежата ВКонтакте, а Ваня има 200. Колко приятели имат Петя и Ваня заедно, ако имат 30 общи приятели?

Отговор 300 е неправилен, защото може да имат общи приятели.

Нека решим този проблем така. Нека изобразим набор от всички приятели на Петя наоколо. Нека изобразим многото приятели на Ваня в друг, по-голям кръг.

Тези кръгове имат обща част. Там има общи приятели. Тази обща част се нарича "пресечна точка" на две множества. Тоест множеството от общи приятели е пресечната точка на множеството от приятели на всички.

Ориз. 2. Кръгове от много приятели

Ако има 30 общи приятели, то 70 отляво са приятели само на Петина, а 170 са приятели само на Ванина (виж фиг. 2).

Колко общо?

Цялото голямо множество, състоящо се от две окръжности, се нарича обединение на две множества.

Всъщност самият VK решава проблема с пресичането на две групи за нас; той веднага посочва много общи приятели, когато посетите страницата на друг човек.

Ситуацията с GCD и LCM на две числа е много сходна.

Проблем 2

Помислете за две числа: 126 и 132.

Изобразяваме техните прости множители в кръгове (виж фиг. 3).

Ориз. 3. Окръжности с прости множители

Пресечната точка на множествата е техният общ делител. GCD се състои от тях.

Обединението на две множества ни дава LCM.

Библиография

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.В., Якир М.С. Математика 6 клас. - Физкултурен салон. 2006 г.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Зад страниците на учебник по математика. - М.: Образование, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задачи за курса по математика за 5-6 клас. - М .: ZSh MEPhI, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Ръководство за ученици от 6 клас в задочната школа на МИФИ. - М .: ZSh MEPhI, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-беседник за 5-6 клас на СОУ. - М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

3. Уебсайт „Училищен асистент“ ()

Домашна работа

1. От пристанищния град започват три плавания с туристически корабчета, първото от които е с продължителност 15 дни, второто - 20 и третото - 12 дни. След като се върнаха в пристанището, корабите потеглиха отново в същия ден. Днес от пристанището тръгнаха кораби и по трите маршрута. След колко дни отново ще плават заедно за първи път? Колко пътувания ще направи всеки кораб?

2. Намерете LCM на числата:

3. Намерете простите множители на най-малкото общо кратно:

И ако: , , .

Нека разгледаме разрешаването на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което двамата правят цял ​​брой крачки.

Решение.Целият път, който децата ще изминат, трябва да се дели на 60 и 70, тъй като всяко от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще запишем всички кратни на числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека запишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са в двата реда.

• Общите кратни на числата биха били 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на проблема, най-малкото разстояние, на което момчетата ще направят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път в 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Определяне на най-малкото общо кратно

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно и на a, и на b.

За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо трябва да разложите тези числа на прости множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общият множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разделете числата на прости множители.
• 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички, които са в експанзията на другите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички записани множители.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.