Способы определения невязок. Метод взвешенных невязок. Задачах теории поля

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Введение Функция аппроксимируются набором функций: Где - неизвестные параметры - линейно-независимые функции, принадлежащие к полной последовательности (3) Рассмотрим функцию ошибки (невязку): (4) При этом будем полагать, что: - набор весовых функций (5)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: Возьмем аппроксимирующую функцию в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: (6) (7) (8) при Точное решение (проверка): В качестве точек коллокаций выберем

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод коллокаций и метод наименьших квадратов Распространим метод коллокаций на случай, когда число точек превышает число неизвестных. При этом неизвестные параметры определяются при минимизации в среднеквадратичном смысле. оценивается в точках (), а функция может быть записана в виде: Минимизируем (16), для -ого уравнения получим: (15) (16) (17)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: при Точное решение (проверка): Подсчитаем невязку в трех точках:

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Метод моментов Для заданной системы уравнений: В качестве весовых функций можно использовать любой набор линейно независимых функций из полной последовательности, например: При этом обеспечивается обращение в нуль моментов невязки более высокого порядка: (18) (17) (19)

Кафедра Юнеско по НИТ, Рейн Т.С. Пример Рассмотрим следующее уравнение второго порядка на промежутке: с граничными условиями: и аппроксимирующей функцией в виде выражения удовлетворяющего граничным условиям при любых: при Точное решение (проверка): Функция ошибки ортогонализируется по отношению к и:

Изучив один метод относительно подробно, переходим к изложению прочих методов целыми классами. Самым распространенным классом являются методы взвешенных невязок. Они исходят из предположения, что искомую функцию можно представить в виде функционального ряда, например такого:

Функцию f 0 обычно стараются выбирать так, чтобы она максимально точно (по возможности) удовлетворяла начальным и граничным условиям. Аппроксимирующие (пробные) функции f j предполагаются известными. Математики напридумывали некоторое количество требований к таким функциям, но их здесь обсуждать не будем. Ограничимся фактом, что полиномы и тригонометрические функции этим требованиям удовлетворяют. Еще несколько примеров наборов подобных функций будут рассмотрены при описании конкретных методов.

Коэффициенты a j заранее неизвестны, и их следует определять из системы уравнений, получаемой из исходного уравнения. От бесконечного ряда берут лишь некоторое конечное число членов.

В уравнении, которое предполагается решить, все члены переписываются в левую часть, в правой части остается лишь нуль. Таким образом, уравнение приводится к виду

Если приближенное решение (записанное в виде конечной суммы заранее выбранных функций) подставить в это уравнение, то оно не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, можно записать

где величина R называется невязкой. В общем случае невязка является функцией x, y, z и t. Задача сводится к нахождению таких коэффициентов a j , чтобы невязка оставалась малой во всей расчетной области. Под понятием «малой» в данных методах понимают, что интегралы по расчетной области от невязки, умноженной на некоторые весовые функции, равны нулю. То есть

Задав конечное число весовых функций, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов. Задавая различные пробные аппроксимирующие (пробные) и различные весовые функции, легко получаем целый класс методов, называемый методами взвешенных невязок.

Приведем несколько примеров простейших методов из этого класса.

Метод подобластей. Расчетная область разделяется на несколько подобластей D m , могущих перекрывать друг друга. Весовую функцию задают в виде

Таким образом, обеспечивается равенство нулю интеграла от невязки по каждой подобласти. Метод послужил основой для ряда методов (один из них будет рассмотрена ниже).

Метод колокаций. В качестве весовых функций используются дельта-функция Дирака

где x= (x,y,z). Напоминаю, что функция Дирака – это хитрая функция, равная нулю везде, кроме начала координат. Но в начале она принимает неизвестное науке значение такое, что любой интеграл по области, содержащей начало координат, равен единице. Говоря проще: задаем некоторое количество точек (часто в данном подходе называемых узлами). Исходное уравнение будет удовлетворяться в этих точках. Существуют подходы к выбору этих точек и пробных функций, позволяющие максимизировать точность при ограниченном числе узлов. Но здесь их обсуждать не будем.

Метод наименьших квадратов. Метод основан на минимизации величины

Но нетрудно показать, что он тоже принадлежит к классу методов взвешенных невязок. Весовыми функциями для него являются функции вида

Пожалуй, это самый известный среди неспециалистов метод из данного класса, но далеко не самый популярный у специалистов.

Метод Галеркина. В этом методе в качестве весовых функций берутся аппроксимирующие (пробные) функции. То есть

Метод широко используется в случаях, когда хотят найти решение в виде непрерывной (а не сеточной) функции.

Рассмотрим применение этих методов к расчету деформации консольно закрепленной балки длиной L. Пусть отклонение от осевой линии описывается уравнением

Граничные условия заданы в виде

Будем искать решение в виде

Тогда невязка будет записываться в виде

Для нахождения неизвестных коэффициентов a и b нам потребуется составить систему из двух уравнений. Проделаем это всеми рассмотренными методами.

Метод колокаций. Выбираем две точки на концах балки. Приравниваем в них невязку к нулю

Получаем

Как видим, метод колокаций достаточно прост в реализации, однако уступает по точности остальным методам.

Метод подобластей. Разбиваем всю длину балки на две подобласти. В каждой из них интеграл от невязки приравниваем к нулю.

Метод Галеркина. Берем интегралы от невязки, умноженной на пробные функции.

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов требует наибольших вычислительных затрат, не давая при этом заметного выигрыша в точности. Поэтому он редко применяется в решении практических задач.

50. ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ. МЕТОД ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК. МЕТОД БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА.

Разностная схема - это конечная система алгебраических уравнений , поставленная в соответствие какой-либо дифференциальной задаче, содержащей дифференциальное уравнение и дополнительные условия (например краевые условия и/или начальное распределение). Таким образом , разностные схемы применяются для сведения дифференциальной задачи, имеющей континуальный характер, к конечной системе уравнений, численное решение которых принципиально возможно на вычислительных машинах. Алгебраические уравнения , поставленные в соответствие дифференциальному уравнению получаются применением разностного метода , что отличает теорию разностных схем от других численных методов решения дифференциальных задач (например проекционных методов, таких как метод Галёркина).

Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи.

Хотя формальное определение не накладывает существенных ограничений на вид алгебраических уравнений , но на практике имеет смысл рассматривать только те схемы, которые каким-либо образом отвечают дифференциальной задаче. Важными понятиями теории разностных схем являются понятия сходимости, аппроксимации , устойчивости, консервативности.

Явные схемы

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования: (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Здесь V * – приближённое решение,
F – функция, удовлетворяющая граничным условиям,
N m – пробные функции, которые на границе области должны быть равны нулю ,
A m – неизвестные коэффициенты, которые необходимо отыскать из условия наилучшего удовлетворения дифференциальному оператору,
M – количество пробных функций.

Если подставить V * в исходный дифференциальный оператор, то получим невязку, принимающую в различных точках области разное значение.

R = LV * + P

Здесь W n – некоторые весовые функции, в зависимости от выбора которых различают варианты метода взвешенных невязок,

S – область пространства, в которой ищется решение.

При выборе в качестве весовых функций дельта-фукций будем иметь метод, который получил название метод поточечной коллокации , для кусочно-постоянных функций – метод коллокации по подобластям, но наиболее распространенным является метод Галёркина, в котором в качестве весовых функций выбираются пробные функции N . В этом случае, если количество пробных функций равно количеству весовых функций, после раскрытия определенных интегралов приходим к замкнутой системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов A .

KA + Q = 0

Где коэффициенты матрицы K и вектора Q вычисляются по формулам:

После нахождения коэффициентов A и подстановки их в (1), получаем решение исходной задачи.

Недостатки метода взвешенных невязок очевидны: поскольку решение ищется сразу по всей области, то количество пробных и весовых функций должно быть значительным для обеспечения приемлемой точности , но при этом возникают трудности при вычислении коэффициентов K ij и Q i , особенно при решении плоских и объемных задач, когда потребуется вычисление двойных и тройных интегралов по областям с криволинейными границами. Поэтому на практике этот метод не использовался, пока не был изобретен метод конечных элементов (МКЭ).

ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Метод конечных элементов является численным методом и основан на замене объекта (конструкции или ее части) совокупностью подобластей (элементов), для каждой из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на граничных поверхностях именно этого элемента, и затем получить решение в том или ином виде. Объединение "элементных" решений по определенному правилу дает решение задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция МКЭ.

2.1 Методы взвешенных невязок

Большая группа методов приближенного решения дифференциальных

уравнений базируется на математической формулировке, связанной с

интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок .

Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

Здесь L −дифференциальный оператор; x i − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u 0 – точное решение.

Будем считать, что некоторая функция u также является решением уравнения, и оно может быть аппроксимировано набором функций
:

, (2.1.3)

при этом коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.

В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция
ошибка , или невязка , которая характеризует степень отличия
отточного решения :

В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты иМ по-прежнему неизвестных коэффициентов .

На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).

В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций , количество которых равно числу неизвестных коэффициентов. В этихМ точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов :

. (2.1.5)

В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции , а затем минимизируют ее в среднем:

. (2.1.6)

В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е.
, и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:

. (2.1.7)

Для этого должно выполняться условие:

, (2.1.8)

приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции
, называемые базисными , и требуется их ортогональность невязке :

. (2.1.9)

Если − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.

Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере . Дано уравнение на промежутке
:

с граничными условиями:
,
.

Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:

удовлетворяющей граничным условиям (2.1.2) при любых . На первом этапе находим невязку:

Выполним процедуру второго этапа:

,
.

Интегрирование приведет к системе двух уравнений:

,

решением которых будут следующие значения :
;
. Приближенное решение имеет вид:.

Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением дано в таблице 1.

Таблица 1

Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея-Ритца.