Geometrické uhly a ich názvy. Geometrický obrazec uhol - definícia uhla, meranie uhlov, symboly a príklady. Vlastnosti plochého rohu

Tento článok sa bude zaoberať jedným z hlavných geometrických tvarov - uhlom. Po všeobecnom úvode do tohto pojmu sa zameriame na konkrétny typ takejto postavy. Priamy uhol je dôležitý pojem v geometrii a bude stredobodom tohto článku.

Úvod do pojmu geometrický uhol

V geometrii existuje množstvo objektov, ktoré tvoria základ celej vedy. Uhol na ne len odkazuje a je určený pomocou konceptu lúča, takže začnime s ním.

Predtým, ako pristúpite k definícii samotného uhla, musíte si zapamätať niekoľko rovnako dôležitých objektov v geometrii - toto je bod, priamka v rovine a samotná rovina. Priama čiara je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý nemá začiatok ani koniec. Rovina je plocha, ktorá má dva rozmery. No, lúč (alebo polpriamka) v geometrii je časť priamky, ktorá má začiatok, ale nemá koniec.

Pomocou týchto pojmov môžeme urobiť vyhlásenie, že uhol je geometrický útvar, ktorý leží úplne v určitej rovine a pozostáva z dvoch nezhodných lúčov so spoločným pôvodom. Takéto lúče sa nazývajú strany uhla a spoločným začiatkom strán je jeho vrchol.

Typy uhlov a geometrie

Vieme, že uhly môžu byť úplne odlišné. Preto nižšie bude uvedená malá klasifikácia, ktorá pomôže lepšie pochopiť typy uhlov a ich hlavné vlastnosti. V geometrii teda existuje niekoľko typov uhlov:

1. Pravý uhol. Vyznačuje sa hodnotou 90 stupňov, čo znamená, že jeho strany sú vždy na seba kolmé.
2. Ostrý roh. Tieto uhly zahŕňajú všetkých ich zástupcov, ktorí majú veľkosť menšiu ako 90 stupňov.
3. Tupý uhol. Môžu tu byť aj všetky uhly s hodnotou od 90 do 180 stupňov.
4. Rozšírený roh. Má veľkosť striktne 180 stupňov a navonok jej strany tvoria jednu priamku.

Koncept priameho uhla

Teraz sa pozrime na rozvinutý uhol podrobnejšie. To je prípad, keď obe strany ležia na rovnakej priamke, čo je jasne vidieť na obrázku nižšie. To znamená, že môžeme s istotou povedať, že jedna z jej strán je v skutočnosti pokračovaním druhej.

Stojí za to pamätať na skutočnosť, že takýto uhol možno vždy rozdeliť pomocou lúča, ktorý vychádza z jeho vrcholu. V dôsledku toho dostaneme dva uhly, ktoré sa v geometrii nazývajú susedné.

Tiež rozvinutý uhol má niekoľko funkcií. Aby ste mohli hovoriť o prvom z nich, musíte si zapamätať pojem "sektor uhla". Pripomeňme, že ide o lúč, ktorý rozdeľuje akýkoľvek uhol striktne na polovicu. Čo sa týka priameho uhla, jeho stred ho delí tak, že vznikajú dva pravé uhly s veľkosťou 90 stupňov. Toto je veľmi jednoduché vypočítať matematicky: 180˚ (stupeň narovnaného uhla): 2 = 90˚.

Ak však rozvinutý uhol rozdelíme úplne ľubovoľným lúčom, dostaneme vo výsledku vždy dva uhly, z ktorých jeden bude ostrý a druhý tupý.

Vlastnosti plochého rohu

Bude vhodné zvážiť tento uhol a spojiť všetky jeho hlavné vlastnosti, ktoré sme urobili v tomto zozname:

1. Strany priameho uhla sú antiparalelné a tvoria priamku.
2. Hodnota rozvinutého uhla je vždy 180˚.
3. Dva susedné uhly spolu vždy tvoria rovný uhol.
4. Celý uhol, ktorý je 360˚, sa skladá z dvoch rozmiestnených a rovná sa ich súčtu.
5. Polovica narovnaného uhla je pravý uhol.

Takže, keď poznáme všetky tieto charakteristiky tohto typu uhla, môžeme ich použiť na riešenie množstva geometrických problémov.

Problémy s rovnými rohmi

Aby ste pochopili, či ste si osvojili koncept priameho uhla, skúste odpovedať na niekoľko nasledujúcich otázok.

1. Čo je to priamy uhol, ak jeho strany tvoria zvislú čiaru?
2. Budú dva uhly susediť, ak veľkosť prvého je 72˚ a druhého je 118˚?
3. Ak sa plný uhol skladá z dvoch priamych uhlov, koľko pravých uhlov má?
4. Priamy uhol je rozdelený lúčom na dva také uhly, že ich miera stupňov je 1:4. Vypočítajte získané uhly.

Riešenia a odpovede:

1. Bez ohľadu na to, ako je umiestnený priamy uhol, je vždy podľa definície rovný 180˚.
2. Priľahlé rohy majú jednu spoločnú stranu. Preto na výpočet veľkosti uhla, ktorý poskladajú, stačí pridať hodnotu ich mier. Takže, 72 + 118 = 190. Ale podľa definície je priamy uhol 180˚, čo znamená, že dva dané uhly nemôžu susediť.
3. Priamy uhol obsahuje dva pravé uhly. A keďže v plnej sú nasadené dve, znamená to, že v nej budú 4 rovné čiary.
4. Ak nazveme požadované uhly a a b, potom nech x je pre ne koeficient úmernosti, čo znamená, že a \u003d x, a teda b \u003d 4x. Priamy uhol v stupňoch je 180˚. A podľa jeho vlastností, že miera stupňa uhla sa vždy rovná súčtu mier stupňov tých uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom, ktorý prechádza medzi jeho stranami, môžeme usúdiť, že x + 4x = 180 ˚, čo znamená 5x = 180˚. Odtiaľto nájdeme: x=a=36˚ a b = 4x = 144˚. Odpoveď: 36˚ a 144˚.

Ak sa vám podarilo odpovedať na všetky tieto otázky bez výziev a bez nahliadnutia do odpovedí, ste pripravení prejsť na ďalšiu lekciu geometrie.

merať uhol znamená nájsť jeho hodnotu. Hodnota uhla ukazuje, koľkokrát uhol zvolený pre mernú jednotku zapadá do daného uhla.

Jednotkou merania uhlov sú zvyčajne stupne. stupňa je uhol rovný časti priameho uhla. Na označenie stupňov v texte slúži znak °, ktorý je umiestnený v pravom hornom rohu čísla označujúceho počet stupňov (napríklad 60 °).

Meranie uhlov pomocou uhlomeru

Na meranie uhlov sa používa špeciálne zariadenie - uhlomer:

Uhlomer má dve stupnice – vnútornú a vonkajšiu. Referenčný bod pre vnútornú a vonkajšiu stupnicu sa nachádza na rôznych stranách. Ak chcete získať správny výsledok merania, stupne musia začínať zo správnej strany.

Meranie uhlov sa vykonáva nasledovne: uhlomer sa umiestni na roh tak, aby sa horná časť rohu zhodovala so stredom uhlopriečky a jedna zo strán rohu prechádzala nulovým dielom na stupnici. Potom druhá strana uhla bude udávať hodnotu uhla v stupňoch:

Hovorí sa: roh BOC je 60 stupňov, uhol PO sa rovná 120 stupňom a napíšte: ∠ BOC= 60°, ∠ PO= 120°.

Pre presnejšie meranie uhlov sa používajú zlomky stupňa: minúty a sekundy. Minúta je uhol rovný zlomku stupňa. Po druhé je uhol rovný zlomku minúty. Minúty sú označené " , a sekundy sú znamienko "" . Znak minút a sekúnd je umiestnený v pravom hornom rohu čísla. Napríklad, ak má uhol hodnotu 50 stupňov 34 minút a 19 sekúnd, napíšte:

50°34 " 19""

Vlastnosti merania uhla

Ak lúč rozdeľuje daný uhol na dve časti (dva uhly), potom sa hodnota tohto uhla rovná súčtu hodnôt dvoch získaných uhlov.

Keď dvaja lúč (AO A OB) vychádzajú z jedného bodu, potom útvar tvorený týmito lúčmi (spolu s nimi ohraničenou časťou roviny) sa nazýva kútik .

Lúče zvierajúce uhol sa nazývajú strany. Bod, z ktorého pochádzajú - summit uhol.

Bočný uhol by sa mali považovať za nekonečne rozšírené zhora.

Rohový zvyčajne sa označuje tromi písmenami, z ktorých stredné je umiestnené na vrcholov a extrémne na niektorých miestach po stranách. Povedzte napríklad „uhol AOB alebo uhol SAI". Ale je možné označiť uhol jedným písmenom umiestneným vo vrchole, ak v tomto vrchole nie sú žiadne iné uhly. Uhol niekedy označíme číslom umiestneným vo vnútri uhla vo vrchole. Slovo "uhol" sa v písaní často nahrádza znakom / .

Keď z jedného vychádzajú dva lúče bodov, potom striktne hovoríme, že tvoria nie jeden uhol, ale dva uhly.

Tieto dva uhly sú rovnaké, iba ak sú lúče AO A OB tvoria jeden priamy .

Takýto uhol sa nazýva uhol.

Počítajú sa dva rohy rovnaké uhly ak sa pri prekrývaní dajú kombinovať.

Považujeme za samozrejmé, že vo vnútri akéhokoľvek uhla od jeho vrcholu je možné nakresliť lúč (a iba jeden), ktorý delí tento uhol na polovicu. Takýto lúč sa nazýva osi uhla .

dva rohy ( AOB A BOC) sa volajú súvisiace, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany sú priamka.

Sakra 1. Sakra.2

Keď dvaja priľahlý roh sú rovnaké (obr. 2), potom ich spoločná strana OB volal kolmý na priamku AC na ktorom ležia ostatné strany.

Ak sú susedné uhly nerovnaké (obr. 1), potom spoločná strana OB volal šikmé Komu AC.

V oboch prípadoch ide o pointu O volal základ(kolmé alebo šikmé).

Z akéhokoľvek bodu priamky, na ktorejkoľvek strane tejto priamky, sa k nej možno vrátiť kolmý a len jeden .

Každý z rovnakých susedných uhlov sa nazýva priamy. Pravý uhol je trvalé hodnotu rovnajúcu sa 90 0 (zvyčajne sa označuje znamienkom d, t.j. začiatočné písmeno francúzskeho slova "droit" - rovný). V dôsledku toho sa obyčajné uhly porovnávajú vo veľkosti s pravým uhlom.

akýkoľvek nasadené uhol je 2 d= 180°.

Každý roh ( AOC), menší ako pravý uhol ( AOB) sa nazýva ostrý.

Každý roh ( AOD) väčší priamy sa nazýva hlúpy.

Meranie uhlov je založené na ich porovnaní s uhlom braným ako merná jednotka. Zvyčajne sa stupeň berie ako merná jednotka pre uhly - uhol rovný 1/180 rozvinutého uhla.

Uhlomer

Kladné číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát stupeň a jeho časti zapadajú do daného uhla, sa nazýva miera uhla. Na meranie uhlov sa používa uhlomer (obr. 1).

∠AOB = 150°

Obrázok 2 znázorňuje uhol AOB, ktorého miera stupňa je 150°. Zvyčajne stručne hovoria: „Uhol AOB je 150 °“ - a píšu: Z AOB \u003d 150 °.

1/60 stupňa sa nazýva minúta a 1/60 minúty sa nazýva sekunda. Minúty sú označené znakom „′“ a sekundy znakom „″“. Napríklad uhol 68 stupňov, 32 minút a 27 sekúnd by bol 68°32′27″.

Ak sú dva uhly rovnaké, potom stupeň a jeho časti zapadajú do týchto uhlov rovnako veľakrát, to znamená, že rovnaké uhly majú rovnaké miery. Ak je jeden uhol menší ako druhý, potom sa do neho stupeň (alebo jeho časť) zmestí menejkrát ako do iného uhla, to znamená, že menší uhol má menšiu mieru stupňov.

Pretože stupeň je 1/180: časť priameho uhla, priamy uhol je 180°. Rozvinutý uhol je menší ako 180°, pretože je menší ako rozvinutý.

∠AOC = 40°, ∠COB= 120°, ∠AOB = 160°

Obrázok 3 znázorňuje lúče s počiatkom v bode O. Lúč OS rozdeľuje uhol AOB na dva uhly: AOC a COB. To vidíme ∠ AOC = 40°, ∠ COB = 120°, ∠ AOB = 160°.

teda ∠ AOC + ∠ COB = ∠ AOB.

Je jasné, že vo všetkých ostatných prípadoch keď lúč rozdeľuje uhol na dva uhly, miera stupňov celého uhla sa rovná súčtu mier týchto uhlov.

Uhol sa nazýva:

priamy, ak sa rovná 90° (obr. 4, a);

ostrý, ak je menší ako 90 °, t.j. menší ako pravý uhol (obr. 4, b);

hlúpy, ak je viac ako 90°, ale menej ako 180°, t.j. väčší ako pravý, ale menší ako priamy uhol (obr. 4, c).

Príklad 1 Lúč l je osou uhla hk rovnajúcej sa 50°. Nájdite mieru stupňov uhlov hi a Ik.

Riešenie. Pretože l je osou uhla hk, miera stupňov každého z uhlov hl a lk je rovnaká. Označme mieru stupňa jedného z nich ako x. Potom 2x = 50°, odkiaľ x = 25°. Miery stupňov každého z uhlov hl a lk sú teda 25° a 25°.

Príklad 2 Ray OS rozdeľuje uhol AOB na dva uhly. Nájdite uhol AOC, ak ∠ AOC = 155° a uhol AOC je o 15° väčší ako uhol COB.

Riešenie. Označme mieru stupňa uhla AOC ako x. Potom bude miera COB uhla x - 15°. Teraz podľa stavu x + x - 15° = 155° alebo 2x = 170°, kde x = 85°.

Príklad 3 Lúč a prechádza medzi stranami uhla cd, ktorý sa rovná 120°. Nájdite uhly kanady, ak sú ich miery v pomere 4:2.

Riešenie. Lúč a prechádza medzi stranami uhla cd, takže ∠ ca + ∠ ad = ∠ cd.
Keďže miery stupňov ∠ca a ∠ad súvisia ako 4:2, potom $$∠ ca = \frac(120°)(6) 4 = 80° ,\medzera ∠ ad = \frac(120°)(6) 2 = 40°.$$

Začnime tým, že definujeme, čo je uhol. Po prvé, je to Po druhé, tvoria ho dva lúče, ktoré sa nazývajú strany uhla. Po tretie, tieto vychádzajú z jedného bodu, ktorý sa nazýva vrchol rohu. Na základe týchto znakov môžeme urobiť definíciu: uhol je geometrický útvar, ktorý pozostáva z dvoch lúčov (strany) vychádzajúcich z jedného bodu (vrcholu).

Sú klasifikované podľa stupňov, podľa umiestnenia voči sebe navzájom a vzhľadom na kruh. Začnime s typmi uhlov podľa ich veľkosti.

Je ich viacero druhov. Pozrime sa bližšie na každý typ.

Existujú iba štyri hlavné typy uhlov - pravý, tupý, ostrý a rozvinutý uhol.

Rovno

Vyzerá to takto:

Jeho miera stupňov je vždy 90 o, inými slovami, pravý uhol je uhol 90 stupňov. Majú ich len také štvoruholníky ako štvorec a obdĺžnik.

Tupý

Vyzerá to takto:

Miera stupňov je vždy väčšia ako 90 stupňov, ale menšia ako 180 stupňov. Môže sa vyskytovať v takých štvoruholníkoch, ako je kosoštvorec, ľubovoľný rovnobežník, v mnohouholníkoch.

Pikantné

Vyzerá to takto:

Miera stupňa ostrého uhla je vždy menšia ako 90°. Vyskytuje sa vo všetkých štvoruholníkoch, okrem štvorca a ľubovoľného rovnobežníka.

nasadené

Rozšírený uhol vyzerá takto:

Nevyskytuje sa v polygónoch, ale nie je o nič menej dôležitý ako všetky ostatné. Priamy uhol je geometrický útvar, ktorého miera stupňa je vždy 180°. Môžete na ňom stavať nakreslením jedného alebo viacerých lúčov z jeho vrcholu v ľubovoľnom smere.

Existuje niekoľko ďalších sekundárnych typov uhlov. V školách sa neštudujú, ale je potrebné vedieť aspoň o ich existencii. Existuje iba päť sekundárnych typov uhlov:

1. Nula

Vyzerá to takto:

Už samotný názov uhla hovorí o jeho veľkosti. Jeho vnútorná plocha je 0 o a strany ležia na sebe, ako je znázornené na obrázku.

2. Šikmé

Šikmý môže byť rovný a tupý a ostrý a rozvinutý uhol. Jeho hlavnou podmienkou je, že by sa nemal rovnať 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konvexné

Konvexné sú nulové, pravé, tupé, ostré a rozvinuté uhly. Ako ste už pochopili, miera konvexného uhla je od 0 o do 180 o.

4. Nekonvexné

Nekonvexné sú uhly s mierou od 181 o do 359 o vrátane.

5. Plná

Uhol s mierou 360 stupňov je úplný uhol.

Toto sú všetky typy uhlov podľa ich veľkosti. Teraz zvážte ich typy podľa umiestnenia v rovine voči sebe navzájom.

1. Dodatočné

Ide o dva ostré uhly, ktoré tvoria jednu priamku, t.j. ich súčet je 90 o.

2. Súvisiace

Susedné uhly sa vytvárajú, ak je lúč nakreslený v akomkoľvek smere cez nasadený, presnejšie, cez jeho vrchol. Ich súčet je 180 o.

3. Vertikálne

Vertikálne uhly sa vytvárajú, keď sa pretínajú dve čiary. Ich miery sú rovnaké.

Teraz prejdime k typom uhlov umiestnených vzhľadom na kruh. Sú len dve z nich: centrálna a vpísaná.

1. Centrálne

Stredový uhol je ten s vrcholom v strede kruhu. Jeho miera stupňov sa rovná miere stupňa menšieho oblúka prehnutého stranami.

2. Zapísané

Vpísaný uhol je taký, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany ju pretínajú. Jeho miera stupňov sa rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva.

Všetko je to o rohoch. Teraz viete, že okrem najznámejších - ostrých, tupých, priamych a nasadených - v geometrii existuje mnoho ďalších typov.