Логопедический портал / Материал к занятиям / Построение эпюр внутренних усилий (продольной силы). Построение эпюр нормальных сил N Что такое эпюры и как их построить

Построение эпюр внутренних усилий (продольной силы). Построение эпюр нормальных сил N Что такое эпюры и как их построить

29.07.2023

epure - чертёж) - чертёж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких (по ГОСТу трёх, но не всегда) плоскостей. Обычно оно даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции (фасад, план, профиль). Чертёж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые на одну плоскости.

Энциклопедичный YouTube

1 / 3
Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, то есть возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путём простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур.
Будучи одним из министров в революционном правительстве Франции, Гаспар Монж много сделал для её защиты от иностранной интервенции и для победы революционных войск. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке - начертательной геометрии , творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года (стенографическая запись лекций была сделана в 1795 году).

Система двух плоскостей проекции

В данном случае, для построения изображения в двух плоскостях проекций, горизонтальная плоскость проекций П 1 и фронтальная плоскость проекций П 2 совмещаются в одну, как показано на рис.1. В пересечении они дают ось проекций x и делят пространство на четыре четверти (квадранта).

Рис. 1.3 Стержень

Порядок построения эпюр:

1. Определяем реакции опор.

2. Разбиваем стержень на участки.

Участок - часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

3. Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.

4. Строим график (эпюру) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил

Эпюра - график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.

Внутренний фактор - равнодействующая внутренних сил.

N z2 = P-3P = -2P

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Построить эпюру нормальных сил N.

q - интенсивность равномерно - распределенной нагрузки.

Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.

Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил

Построим эпюру нормальных сил

Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.

Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).

Стержень, в основном работающий на кручение, называется валом .

Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).

Пример (К - 1)

Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).

Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов

Пример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).

Рис. 1.10 Построение эпюры крутящих моментов

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

Балка - стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Вал - стержень в основном работающий на кручение.

Виды опор:

Шарнирно-подвижная опора - опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).

Рис. 1.11 Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора - опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).

Рис.1.13 Заделка

+`Q

+`Q

-`Q

-`Q

+`Q

+`Q

1.3.2 Правило знаков для М

Эпюру для М строят на сжатых волокнах.

Рис. 1.14 Расчетная схема

Вычислим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.

Y: R A - P - q · 2a + R B = 0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна

Сумма моментов всех сил относительно точки В равна

Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий

Внутренние усилия на втором участке равны

На третьем участке

Внутренние усилия на четвертом участке равны

Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.

Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M

Дифференциальные зависимости при изгибе

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q = f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой

Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M + dM, а также поперечные силы Q и Q + dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:

После упрощения получим:

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

Правила проверки эпюр

1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0, = > Q = const = C 1 ; => M = C 1 × z + D 1 , то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

2. Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.

3. Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M- -Q => M¯.

Если в сечении приложен сосредоточенный момент М i , то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).

Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q - наклонная прямая, а М - парабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).

Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

6. Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

7. Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

8. Если на участке стержня Q равна нулю, то (рис. 2.7)

Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку DF в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие DN (DNûëxOy) и DT (DTÎxOy).

Рис. 3.3 Связь между напряжениями и внутренними усилиями
Деформации
Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).
Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.
Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).

Как строить эпюру продольных сил?

Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).

Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .

Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.

Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.

При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».

Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.

Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.

Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.

Расчёт эпюр напряжения является базовой задачей такой дисциплины, как сопротивление материалов . В частности, только при помощи эпюры возможно определить максимально допустимую нагрузку на материал

Также, эпюра - схематический чертёж или график. В данном значении практически не употребляется, см. эпюр .

Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :
Смотреть что такое "Эпюра" в других словарях:
Книги
- Начертательная геометрия и инженерная графика (для технических направлений подготовки) (бак.) Учебн. , Георгиевский Олег Викторович. Рассмотрены различные способы преобразования эпюра, приводятся многочисленные примеры решения позиционных и метрических задач. Даются сведения о видах изделий иконструкторских документов,…
- Начертательная геометрия и инженерная графика (для технических направлений подготовки) (бакалавриат). Учебник , О. В. Георгиевский, В. И. Веселов, Г. И. Ничуговский. Рассмотрены различные способы преобразования эпюра, приводятся многочисленные примеры решения позиционных и метрических задач. Даются сведения о видах изделий иконструкторских документов,…
Все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых

наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис.1,б) и жесткое защемление , или заделка (рис.1,в).

В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.
В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.
В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно. Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

2. Построение эпюр продольных сил Nz

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для Nz: условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.2).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
2. Определяем продольную силу Nz в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.

По найденным значениям строим эпюру Nz. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) над осью эпюры, отрицательные - под осью.

3. Построение эпюр крутящих моментов Мкр .

Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно продольной оси Z.

Правило знаков для Мкр : условимся считать крутящий момент в сечении положительным, если при взгляде на сечение со стороны рассматриваемой отсеченной части внешний момент виден направленным против движения часовой стрелки и отрицательным - в противном случае.

Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.3,а).

Порядок расчета.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил .

1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

По найденным значениям строимэпюру Мкр (рис.3,б).

4. Правила контроля эпюр Nz и Мкр .

Для эпюр продольных сил и крутящих моментов характерны определенные закономерности, знание которых позволяет оценить правильность выполненных построений.

1. Эпюры Nz и Мкр всегда прямолинейные.

2. На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра Nz(Мкр) - прямая, параллельная оси, а на участке под распределенной нагрузкой - наклонная прямая.

3. Под точкой приложения сосредоточенной силы на эпюре Nz обязательно должен быть скачок на величину этой силы, аналогично под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Мкр будет скачок на величину этого момента.

5. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой . В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - Qy и изгибающий момент Mx .

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде

Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

6. Консольные балки

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).

Порядок расчета .

1. Намечаем характерные сечения.