चरम बिंदु और उनकी विशेषताएं। अंतराल, चरम सीमाओं पर बढ़ते और घटते कार्य। हम एक साथ समारोह के चरम सीमाओं की खोज जारी रखते हैं

बिंदु x 0 कहा जाता है अधिकतम बिंदु(न्यूनतम) फ़ंक्शन f(x) का, यदि बिंदु x 0 के किसी पड़ोस में असमानता f(x) f(x 0) (f(x) f(x 0)) संतुष्ट है।

इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान तदनुसार कहा जाता है ज्यादा से ज्यादाया न्यूनतमकार्य। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को एक सामान्य नाम से जोड़ा जाता है चरमकार्य।

इस अर्थ में किसी फ़ंक्शन के चरम को अक्सर कहा जाता है स्थानीय चरम, इस तथ्य पर बल देते हुए कि यह अवधारणा केवल बिंदु x 0 के पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस से जुड़ी है। एक ही अंतराल पर, एक फ़ंक्शन में कई स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा हो सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि के साथ मेल खाते हों वैश्विक अधिकतमया न्यूनतम(यानी पूरे अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान)।

चरम के लिए आवश्यक शर्त. किसी फ़ंक्शन के लिए एक बिंदु पर एक चरम होने के लिए, यह आवश्यक है कि उस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो या मौजूद न हो।

अवकलनीय कार्यों के लिए, यह स्थिति Fermat के प्रमेय से अनुसरण करती है। इसके अलावा, यह उस मामले के लिए प्रदान करता है जब फ़ंक्शन में उस बिंदु पर एक चरम सीमा होती है जहां यह भिन्न नहीं होता है।

जिन बिंदुओं पर आवश्यक चरम स्थिति संतुष्ट होती है उन्हें कहा जाता है गंभीर(या अचलएक अलग समारोह के लिए)। ये बिंदु फ़ंक्शन के दायरे में होने चाहिए।

इस प्रकार, यदि किसी बिंदु पर एक चरम है, तो यह बिंदु महत्वपूर्ण है (स्थिति की आवश्यकता है)। ध्यान दें कि बातचीत सच नहीं है। महत्वपूर्ण बिंदु जरूरी नहीं कि एक चरम बिंदु हो, अर्थात। बताई गई स्थिति पर्याप्त नहीं है।

चरम के लिए पहली पर्याप्त शर्त. यदि, एक निश्चित बिंदु से गुजरते समय, एक अलग-अलग फ़ंक्शन का व्युत्पन्न अपना संकेत प्लस से माइनस में बदल देता है, तो यह फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु है, और यदि माइनस से प्लस तक, तो न्यूनतम बिंदु।

इस स्थिति का प्रमाण एकरसता की पर्याप्त स्थिति से होता है (जब व्युत्पन्न परिवर्तन का संकेत होता है, तो संक्रमण या तो फ़ंक्शन में वृद्धि से कमी या कमी से वृद्धि तक होता है)।

चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति. यदि किसी बिंदु पर दो बार अवकलनीय फलन का पहला अवकलज शून्य है, और दूसरा अवकलज उस बिंदु पर धनात्मक है, तो यह फलन का न्यूनतम बिंदु है; और यदि दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो यह अधिकतम बिंदु है।

इस स्थिति का प्रमाण भी पर्याप्त एकरसता की स्थिति पर आधारित है। दरअसल, यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो पहला व्युत्पन्न एक बढ़ता हुआ कार्य है। चूंकि यह विचाराधीन बिंदु पर शून्य के बराबर है, इसलिए, इसके माध्यम से गुजरते समय, यह माइनस से प्लस में बदल जाता है, जो हमें स्थानीय न्यूनतम के लिए पहली पर्याप्त स्थिति में लौटाता है। इसी तरह, यदि दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो पहला घट जाता है और संकेत को प्लस से माइनस में बदल देता है, जो कि स्थानीय अधिकतम के लिए पर्याप्त शर्त है।

किसी कार्य की चरम सीमा तक जांच करनातैयार किए गए प्रमेयों के अनुसार, इसमें निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. फलन f'(x) का प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. आवश्यक चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें, अर्थात। फलन f(x) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए जिन पर अवकलज f`(x) = 0 या मौजूद नहीं है।

3. पर्याप्त चरम स्थिति की पूर्ति की जाँच करें, अर्थात। या तो प्रत्येक क्रांतिक बिंदु के बाएँ और दाएँ अवकलज के चिह्न की जाँच करें, या दूसरा अवकलज f`(x) ज्ञात करें और प्रत्येक क्रांतिक बिंदु पर उसका चिह्न ज्ञात करें। फ़ंक्शन के चरम सीमाओं की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें।

4. फलन का एक्स्ट्रेमा (चरम मान) ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन का वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम ढूँढनाएक निश्चित अंतराल पर भी महान व्यावहारिक महत्व का है। एक खंड पर इस समस्या का समाधान वीयरस्ट्रैस प्रमेय पर आधारित है, जिसके अनुसार एक निरंतर कार्य एक खंड पर अपना सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान लेता है। उन्हें चरम बिंदुओं और खंड के सिरों दोनों पर प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, समाधान में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. फलन f'(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. फलन f(x) के क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए जिन पर अवकलज f'(x) = 0 या मौजूद नहीं है।

3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मान खोजें और उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

यह भी कहा जा सकता है कि इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन की गति की दिशा बदल जाती है: यदि फ़ंक्शन गिरना बंद हो जाता है और बढ़ना शुरू हो जाता है, तो यह न्यूनतम बिंदु है, इसके विपरीत, अधिकतम।

न्यूनतम और अधिकतम को सामूहिक रूप से कहा जाता है फंक्शन एक्स्ट्रेमा.

दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए चार्ट में हाइलाइट किए गए सभी पांच बिंदु एक्सट्रीम हैं।

इसके लिए धन्यवाद, इन बिंदुओं को ढूंढना कोई समस्या नहीं है, भले ही आपके पास फ़ंक्शन का ग्राफ़ न हो।

ध्यान!जब वे लिखते हैं चरम सीमाओंया उच्च/निम्न का अर्थ है फ़ंक्शन का मान यानी। \(वाई\)। जब वे लिखते हैं चरम बिंदुया उच्च/निम्न उन एक्स को संदर्भित करता है जिन पर उच्च/निम्न पहुंच जाते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर की आकृति में, \(-5\) न्यूनतम (या चरम) बिंदु है, और \(1\) न्यूनतम (या चरम) है।

व्युत्पन्न (परीक्षा के 7 कार्य) के ग्राफ के अनुसार किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु कैसे खोजें?

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके व्युत्पन्न के ग्राफ के अनुसार फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की संख्या को एक साथ खोजें:

हमारे पास एक ग्राफ है - इसलिए हम देख रहे हैं कि ग्राफ पर कौन से बिंदु व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। जाहिर है, ये बिंदु हैं \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) और \(3\)। फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की संख्या \(5\) है।

ध्यान!अगर शेड्यूल दिया गया है यौगिककार्य करता है, लेकिन आपको खोजने की आवश्यकता है समारोह के चरम बिंदु, हम व्युत्पन्न के उच्च और निम्न की गणना नहीं करते हैं! हम उन बिंदुओं की गणना करते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है (यानी \(x\) अक्ष को पार करता है)।

व्युत्पन्न (परीक्षा के 7 कार्य) के ग्राफ के अनुसार किसी फ़ंक्शन के मैक्सिमा या मिनिमा के बिंदु कैसे खोजें?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको दो और महत्वपूर्ण नियमों को याद रखना होगा:

- जहां फलन बढ़ता है वहां व्युत्पन्न धनात्मक होता है।
- व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है जहाँ फलन घटता है।

इन नियमों का उपयोग करते हुए, आइए व्युत्पन्न के ग्राफ पर फ़ंक्शन के न्यूनतम और अधिकतम बिंदु खोजें।

यह स्पष्ट है कि चरम बिंदुओं के बीच न्यूनतम और अधिकतम की मांग की जानी चाहिए, अर्थात। \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) और \(3\) के बीच।

समस्या को हल करना आसान बनाने के लिए, हम पहले प्लस और माइनस चिह्नों को अंक में रखते हैं, जो व्युत्पन्न के संकेत को दर्शाते हैं। फिर तीर - फ़ंक्शन की वृद्धि, कमी को दर्शाता है।

आइए \(-13\) से शुरू करें: \(-13\) तक व्युत्पन्न सकारात्मक है, यानी। फलन बढ़ता है, उसके बाद - अवकलज ऋणात्मक होता है अर्थात्। समारोह गिर जाता है। यदि आप इसकी कल्पना करते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि \(-13\) अधिकतम बिंदु है।

\(-11\): अवकलज पहले धनात्मक और फिर ऋणात्मक होता है, इसलिए फलन बढ़ता है और फिर घटता है। दोबारा, इसे मानसिक रूप से खींचने का प्रयास करें और यह आपके लिए स्पष्ट हो जाएगा कि \(-11\) न्यूनतम है।

\(- 9\): फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है - अधिकतम।

\(-7\): न्यूनतम।

\(3\): अधिकतम।

उपरोक्त सभी को निम्नलिखित निष्कर्षों में संक्षेपित किया जा सकता है:

- फ़ंक्शन में अधिकतम होता है जहां व्युत्पन्न शून्य होता है और साइन को प्लस से माइनस में बदलता है।
- फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है जहां व्युत्पन्न शून्य होता है और माइनस से प्लस में साइन बदलता है।

यदि फ़ंक्शन का सूत्र ज्ञात है (12 USE कार्य) तो मैक्सिमा और मिनिमा के बिंदु कैसे खोजें?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको पिछले पैराग्राफ की तरह ही सब कुछ करने की आवश्यकता है: यह पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहाँ सकारात्मक है, कहाँ ऋणात्मक है और जहाँ यह शून्य के बराबर है। इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं एक उदाहरण समाधान के साथ एक एल्गोरिथ्म लिखूंगा:

1. फलन \(f"(x)\) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
2. समीकरण \(f"(x)=0\) के मूल ज्ञात कीजिए।
3. \(x\) अक्ष बनाएं और उस पर चरण 2 में प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें, चापों को उन अंतरालों में खींचें जिनमें अक्ष विभाजित है। अक्ष के ऊपर साइन करें \ (f "(x) \), और अक्ष के नीचे \ (f (x) \)।
4. प्रत्येक अंतराल (अंतराल विधि) में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें।
5. प्रत्येक अंतराल (अक्ष के ऊपर) में व्युत्पन्न का चिह्न लगाएं, और फ़ंक्शन (अक्ष के नीचे) की वृद्धि (↗) या कमी (↘) को इंगित करने के लिए एक तीर का उपयोग करें।
6. निर्धारित करें कि चरण 2 में प्राप्त बिंदुओं से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न कैसे बदल गया है:
   - यदि \(f'(x)\) ने चिह्न को "\(+\)" से "\(-\)" में बदल दिया है, तो \(x_1\) अधिकतम बिंदु है;
   - यदि \(f'(x)\) ने चिह्न को "\(-\)" से "\(+\)" में बदल दिया है, तो \(x_3\) न्यूनतम बिंदु है;
   - यदि \(f'(x)\) ने चिह्न नहीं बदला है, तो \(x_2\) एक विभक्ति बिंदु हो सकता है।

हर चीज़! उच्च और निम्न अंक पाए गए।

उस अक्ष पर बिंदुओं को दर्शाना जिस पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, पैमाने को अनदेखा किया जा सकता है। फ़ंक्शन का व्यवहार दिखाया जा सकता है जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। तो यह अधिक स्पष्ट होगा कि अधिकतम कहां है और न्यूनतम कहां है।

उदाहरण(उपयोग). फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु खोजें \(y=3x^5-20x^3-54\)।
फेसला:
1. फ़ंक्शन का अवकलज ज्ञात कीजिए: \(y"=15x^4-60x^2\)।
2. इसे शून्य के बराबर करें और समीकरण को हल करें:

\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)

3. - 6. आइए वास्तविक अक्ष पर बिंदुओं को रखें और निर्धारित करें कि व्युत्पन्न का चिह्न कैसे बदलता है और फ़ंक्शन कैसे चलता है:

अब यह स्पष्ट है कि अधिकतम बिंदु \(-2\) है।

जवाब. \(-2\).

फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को बिंदु $(x_0,y_0)$ के कुछ पड़ोस में परिभाषित होने दें। ऐसा कहा जाता है कि $(x_0,y_0)$ (स्थानीय) अधिकतम का एक बिंदु है यदि सभी बिंदुओं के लिए $(x,y)$ $(x_0,y_0)$ के कुछ पड़ोस में असमानता $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, तो बिंदु $(x_0,y_0)$ को एक (स्थानीय) न्यूनतम बिंदु कहा जाता है।

उच्च और निम्न बिंदुओं को अक्सर सामान्य शब्द एक्स्ट्रीमम पॉइंट द्वारा संदर्भित किया जाता है।

यदि $(x_0,y_0)$ एक अधिकतम बिंदु है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन $f(x_0,y_0)$ का मान अधिकतम फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ कहलाता है। तदनुसार, न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन के मान को फ़ंक्शन का न्यूनतम $z=f(x,y)$ कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन की न्यूनतम और मैक्सिमा एक सामान्य शब्द से एकजुट होती है - एक फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा।

एक चरम के लिए $z=f(x,y)$ फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम

1. $\frac(\partial z)(\partial x)$ और $\frac(\partial z)(\partial y)$ के आंशिक डेरिवेटिव खोजें। समीकरणों की प्रणाली को लिखें और हल करें $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ जिन बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट प्रणाली को संतुष्ट करते हैं उन्हें स्थिर कहा जाता है।
2. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial) खोजें y^2)$ और मान की गणना करें $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ हर स्थिर बिंदु पर। उसके बाद, निम्न योजना का उपयोग करें:
   1. अगर $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (या $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), तो अध्ययन के तहत बिंदु पर न्यूनतम बिंदु है।
   2. अगर $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. अगर $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. यदि $\Delta = 0$, तो एक चरम की उपस्थिति के बारे में निश्चित रूप से कुछ भी नहीं कहा जा सकता है; अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

नोट (पाठ की बेहतर समझ के लिए वांछनीय): दिखाएँ\छिपाएँ

अगर $\Delta > 0$ तो $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ आंशिक) ^2z)(\आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2 > 0$। और इससे यह इस प्रकार है कि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ) (\आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2 0$। वे। $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. यदि कुछ राशियों का गुणनफल शून्य से अधिक है, तो इन राशियों का एक ही चिन्ह होता है। उदाहरण के लिए, यदि $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, तो $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$। संक्षेप में, यदि $\Delta > 0$ तो $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ और $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ के संकेत हैं वही।

उदाहरण 1

एक चरम के लिए $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ फ़ंक्शन की जांच करें।

$$ \ frac (\ आंशिक z) (\ आंशिक x) = 8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

आइए इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को $2$ से कम करें और संख्याओं को समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित करें:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 4x-3y=17;\\ और -3x+5y=-21. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

हमने रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है। इस स्थिति में, यह मुझे परिणामी प्रणाली को हल करने के लिए क्रैमर की विधि का सबसे सुविधाजनक अनुप्रयोग लगता है।

$$ \शुरू (गठबंधन) और \Delta=\बाएं| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\बाएं| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\बाएं| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(गठबंधन) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

मान $x=2$, $y=-3$ स्थिर बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांक हैं।

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

आइए $\Delta$ के मूल्य की गणना करें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

चूँकि $\Delta > 0$ और $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, तो बिंदु के अनुसार $(2;-3)$ फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है $ जेड $। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $(2;-3)$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

जवाब: $(2;-3)$ - न्यूनतम बिंदु; $z_(मिनट)=-90$।

उदाहरण #2

एक चरम के लिए $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ फ़ंक्शन की जांच करें।

हम उपरोक्त का पालन करेंगे। सबसे पहले, आइए पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

समीकरणों की प्रणाली की रचना करें $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ अंत (गठबंधन)\दाएं।$:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 3x^2+3y^2-15=0;\\ और 6xy-12=0. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 6 से कम करें।

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और x^2+y^2-5=0;\\ और xy-2=0. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

अगर $x=0$, तो दूसरा समीकरण हमें एक विरोधाभास की ओर ले जाएगा: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$। इसलिए निष्कर्ष: $x\neq 0$। फिर दूसरे समीकरण से हमारे पास है: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$। पहले समीकरण में $y=\frac(2)(x)$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

$$ x^2+\बाएं(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

हमें द्विघात समीकरण मिला है। हम प्रतिस्थापन $t=x^2$ करते हैं (हम ध्यान में रखते हैं कि $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(गठबंधन) $$

अगर $t=1$, तो $x^2=1$। इसलिए हमारे पास $x$ के दो मान हैं: $x_1=1$, $x_2=-1$। अगर $t=4$, तो $x^2=4$, यानी। $x_3=2$, $x_4=-2$। उस $y=\frac(2)(x)$ को याद करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

\begin(गठबंधन) और y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ और y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \ अंत (गठबंधन)

तो, हमारे पास चार स्थिर बिंदु हैं: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$। यह एल्गोरिथम का पहला चरण पूरा करता है।

अब आइए एल्गोरिथम के लिए नीचे उतरें। आइए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

$\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \दाएं)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2)। $$

अब हम पहले पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $\Delta$ के मूल्य की गणना करेंगे। आइए बिंदु $M_1(1;2)$ से शुरू करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$। चूंकि $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_2(-1;-2)$ का अन्वेषण करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$। चूंकि $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

आइए बिंदु $M_3(2;1)$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \बाएं।\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

चूंकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, फिर $M_3(2; 1)$ $z$ फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

यह बिंदु $M_4(-2;-1)$ का पता लगाने के लिए बनी हुई है। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \बाएं।\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

चूंकि $\Delta(M_4) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1) +1=29. $$

चरम अध्ययन पूरा हो गया है। यह केवल उत्तर लिखने के लिए रह गया है।

जवाब:

• $(2;1)$ - न्यूनतम बिंदु, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - अधिकतम बिंदु, $z_(अधिकतम)=29$।

टिप्पणी

सामान्य स्थिति में, $\Delta$ के मूल्य की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम केवल संकेत में रुचि रखते हैं, न कि इस पैरामीटर के विशिष्ट मान में। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण नंबर 2 के लिए, बिंदु $M_3(2;1)$ पर हमारे पास $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$ है। यहां यह स्पष्ट है कि $\Delta > 0$ (चूंकि दोनों कारक $36$ और $(2^2-1^2)$ सकारात्मक हैं) और यह संभव है कि $\Delta$ का विशिष्ट मान न मिले। सच है, यह टिप्पणी विशिष्ट गणनाओं के लिए बेकार है - उन्हें गणनाओं को एक संख्या में लाने की आवश्यकता है :)

उदाहरण #3

एक चरम के लिए $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ फ़ंक्शन की जांच करें।

हम पालन करेंगे। सबसे पहले, आइए पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

समीकरणों की प्रणाली की रचना करें $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ अंत (गठबंधन)\दाएं।$:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और 4x^3-4x+4y=0;\\ और 4y^3+4x-4y=0. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

आइए दोनों समीकरणों को $4$ से कम करें:

$$ \बाएं \( \शुरू (गठबंधन) और x^3-x+y=0;\\ और y^3+x-y=0. \end(गठबंधन) \दाएं। $$

आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में जोड़ें और $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त करें:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; वाई = -एक्स। $$

सिस्टम के पहले समीकरण में $y=-x$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

परिणामी समीकरण से हमारे पास है: $x=0$ या $x^2-2=0$। यह समीकरण $x^2-2=0$ से आता है कि $x=-\sqrt(2)$ या $x=\sqrt(2)$। तो, $x$ के तीन मान पाए जाते हैं, अर्थात्: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$। चूंकि $y=-x$, फिर $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$।

समाधान का पहला चरण समाप्त हो गया है। हमें तीन स्थिर बिंदु मिले: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

अब आइए एल्गोरिथम के लिए नीचे उतरें। आइए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

$\Delta$ खोजें:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \आंशिक x\आंशिक y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1)। $$

अब हम पहले पाए गए प्रत्येक स्थिर बिंदु पर $\Delta$ के मूल्य की गणना करेंगे। आइए बिंदु $M_1(0;0)$ से शुरू करें। इस बिंदु पर हमारे पास है: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$। चूंकि $\Delta(M_1) = 0$, अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है, क्योंकि विचार बिंदु पर एक चरम की उपस्थिति के बारे में निश्चित रूप से कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। आइए इस बिंदु को कुछ समय के लिए छोड़ दें और अन्य बिंदुओं पर आगे बढ़ें।

आइए बिंदु $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$ की जांच करें। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(गठबंधन) और \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ और \बाएं। )^2-4=24-4=20. \ अंत (गठबंधन)

चूँकि $\Delta(M_2) > 0$ और $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, के अनुसार $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_2$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

पिछले बिंदु के समान, हम बिंदु $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ की जांच करते हैं। इस बिंदु पर हमें मिलता है:

\begin(गठबंधन) और \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ और \बाएं। ^2-4=24-4=20. \ अंत (गठबंधन)

चूंकि $\Delta(M_3) > 0$ और $\बाएं। (2),-\sqrt(2))$ फ़ंक्शन $z$ का न्यूनतम बिंदु है। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु $M_3$ के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके हम न्यूनतम फ़ंक्शन $z$ पाते हैं:

$$ z_(मिनट)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

यह बिंदु $M_1(0;0)$ पर लौटने का समय है, जहां $\Delta(M_1) = 0$। अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है। इस टालमटोल वाले मुहावरे का अर्थ है "जो आप चाहते हैं वह करो" :)। ऐसी स्थितियों को हल करने का कोई सामान्य तरीका नहीं है - और यह समझ में आता है। यदि ऐसी कोई विधि होती तो वह बहुत पहले सभी पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश कर जाती। इस बीच, हमें प्रत्येक बिंदु के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की तलाश करनी होगी जिस पर $\Delta = 0$। खैर, आइए $M_1(0;0)$ बिंदु के आसपास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें। हम तुरंत ध्यान दें कि $z(M_1)=z(0;0)=3$। मान लें कि $M_1(0;0)$ एक न्यूनतम बिंदु है। फिर किसी भी बिंदु $M$ के लिए बिंदु $M_1(0;0)$ के कुछ पड़ोस से हमें $z(M) > z(M_1) $ मिलता है, अर्थात। $z(एम) > 3$। क्या होगा यदि किसी पड़ोस में ऐसे बिंदु हों जहां $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=0$, अर्थात। फॉर्म के अंक $(x,0)$। इन बिंदुओं पर, $z$ फ़ंक्शन निम्नलिखित मानों को ग्रहण करेगा:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

सभी पर्याप्त रूप से छोटे पड़ोस में $M_1(0;0)$ हमारे पास $x^2-2 . है< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

लेकिन शायद बिंदु $M_1(0;0)$ एक अधिकतम बिंदु है? यदि ऐसा है, तो बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी पड़ोस से किसी भी बिंदु $M$ के लिए हमें $z(M) मिलता है< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? तब निश्चित रूप से बिंदु $M_1$ पर अधिकतम नहीं होगा।

उन बिंदुओं पर विचार करें जिनके लिए $y=x$, अर्थात्। फॉर्म के अंक $(x,x)$। इन बिंदुओं पर, $z$ फ़ंक्शन निम्नलिखित मानों को ग्रहण करेगा:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

चूंकि बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में हमारे पास $2x^4 > 0$ है, फिर $2x^4+3 > 3$। निष्कर्ष: बिंदु $M_1(0;0)$ के किसी भी पड़ोस में ऐसे बिंदु होते हैं जहां $z > 3$, इसलिए बिंदु $M_1(0;0)$ अधिकतम बिंदु नहीं हो सकता।

बिंदु $M_1(0;0)$ न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम। निष्कर्ष: $M_1$ बिल्कुल भी चरम बिंदु नहीं है।

जवाब: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - फंक्शन $z$ के न्यूनतम अंक। दोनों बिंदुओं पर $z_(min)=-5$।

किसी फलन की प्रकृति को निर्धारित करने और उसके व्यवहार के बारे में बात करने के लिए वृद्धि और कमी के अंतरालों को खोजना आवश्यक है। इस प्रक्रिया को फ़ंक्शन एक्सप्लोरेशन और प्लॉटिंग कहा जाता है। चरम बिंदु का उपयोग फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए किया जाता है, क्योंकि वे अंतराल से फ़ंक्शन को बढ़ाते या घटाते हैं।

यह लेख परिभाषाओं को प्रकट करता है, हम अंतराल पर वृद्धि और कमी के पर्याप्त संकेत और एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए स्थिति तैयार करते हैं। यह उदाहरणों और समस्याओं को हल करने पर लागू होता है। कार्यों के भेदभाव पर अनुभाग को दोहराया जाना चाहिए, क्योंकि हल करते समय व्युत्पन्न खोजने का उपयोग करना आवश्यक होगा।

परिभाषा 1

फलन y = f (x) अंतराल x पर बढ़ जाएगा जब किसी x 1 X और x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए असमानता f (x 2)> f (x 1) संभव होगी। दूसरे शब्दों में, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

परिभाषा 2

फलन y = f (x) को अंतराल x पर घटता हुआ माना जाता है जब किसी x 1 X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 के लिए समानता f (x 2)> f (x 1) पर विचार किया जाता है। संभव। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा फ़ंक्शन मान एक छोटे तर्क मान से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

टिप्पणी: जब फलन आरोही और अवरोही अंतराल के सिरों पर निश्चित और निरंतर होता है, अर्थात (a; b) जहाँ x = a, x = b, अंक आरोही और अवरोही अंतराल में शामिल होते हैं। यह परिभाषा का खंडन नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि यह अंतराल x पर होता है।

y = sin x प्रकार के प्राथमिक कार्यों के मुख्य गुण तर्कों के वास्तविक मूल्यों के लिए निश्चितता और निरंतरता हैं। यहाँ से हम पाते हैं कि साइन में वृद्धि अंतराल पर होती है - 2; 2, फिर खंड में वृद्धि का रूप है - 2; 2।

परिभाषा 3

बिंदु x 0 कहा जाता है अधिकतम बिंदुफ़ंक्शन y = f (x) के लिए जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) f (x) सत्य है। फ़ीचर अधिकतमबिंदु पर फलन का मान है, और इसे y m a x द्वारा निरूपित किया जाता है।

बिंदु x 0 को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए न्यूनतम बिंदु कहा जाता है जब x के सभी मानों के लिए असमानता f (x 0) f (x) सत्य है। फ़ीचर न्यूनतमबिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, और इसमें y m i n के रूप का संकेतन है।

बिंदु x 0 के पड़ोस माने जाते हैं चरम बिंदु,और फ़ंक्शन का मान जो चरम बिंदुओं से मेल खाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के साथ फ़ंक्शन का एक्स्ट्रीमा। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

पहला आंकड़ा कहता है कि खंड [ a ; से फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करना आवश्यक है; बी] । यह अधिकतम बिंदुओं का उपयोग करके पाया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम मान के बराबर होता है, और दूसरा आंकड़ा x = b पर अधिकतम बिंदु खोजने जैसा है।

कार्यों को बढ़ाने और घटाने के लिए पर्याप्त शर्तें

किसी फ़ंक्शन की मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, उस स्थिति में एक चरम के संकेतों को लागू करना आवश्यक है जब फ़ंक्शन इन शर्तों को पूरा करता है। पहली विशेषता सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विशेषता है।

चरम के लिए पहली पर्याप्त शर्त

परिभाषा 4

मान लीजिए कि एक फलन y = f (x) दिया गया है, जो बिंदु x 0 के पड़ोस में अवकलनीय है, और दिए गए बिंदु x 0 पर निरंतरता है। इसलिए हम पाते हैं कि

• जब f "(x) > 0 x (x 0 - ε; x 0) और f" (x) के साथ< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• जब च"(एक्स)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x (x 0 ; x 0 + ) के लिए 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है।

दूसरे शब्दों में, हम उनकी साइन सेटिंग शर्तें प्राप्त करते हैं:

• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसका एक बदलते संकेत के साथ एक व्युत्पन्न होता है, अर्थात + से -, जिसका अर्थ है कि बिंदु को अधिकतम कहा जाता है;
• जब फ़ंक्शन बिंदु x 0 पर निरंतर होता है, तो इसका एक व्युत्पन्न चिह्न - से + में परिवर्तित होता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु को न्यूनतम कहा जाता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को सही ढंग से निर्धारित करने के लिए, आपको उन्हें खोजने के लिए एल्गोरिथम का पालन करना चाहिए:

• परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं;
• इस क्षेत्र पर फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए;
• उन शून्य और बिंदुओं की पहचान करें जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है;
• अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत का निर्धारण;
• उन बिंदुओं का चयन करें जहां फ़ंक्शन संकेत बदलता है।

फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने के कई उदाहरणों को हल करने के उदाहरण पर एल्गोरिथ्म पर विचार करें।

उदाहरण 1

दिए गए फलन y = 2 (x + 1) 2 x - 2 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

फेसला

इस फलन का प्रांत x = 2 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। सबसे पहले, हम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2)" (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x + 1)" (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2)) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

यहां से हम देखते हैं कि फ़ंक्शन के शून्य x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2 हैं, अर्थात प्रत्येक ब्रैकेट को शून्य के बराबर होना चाहिए। संख्या रेखा पर अंकित करें और प्राप्त करें:

अब हम प्रत्येक अंतराल से अवकलज के चिह्न ज्ञात करते हैं। अंतराल में शामिल एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है, इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, अंक x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6।

हमें वह मिलता है

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8\u003e 0, इसलिए, अंतराल - ; - 1 का एक सकारात्मक व्युत्पन्न है। इसी तरह, हम इसे प्राप्त करते हैं

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

चूंकि दूसरा अंतराल शून्य से कम निकला, इसका मतलब है कि खंड पर व्युत्पन्न ऋणात्मक होगा। तीसरा माइनस के साथ, चौथा प्लस के साथ। निरंतरता निर्धारित करने के लिए, व्युत्पन्न के संकेत पर ध्यान देना आवश्यक है, यदि यह बदलता है, तो यह एक चरम बिंदु है।

हम पाते हैं कि बिंदु x = - 1 पर फलन सतत रहेगा, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न चिह्न + से - में बदल जाएगा। पहले चिह्न के अनुसार, हमें प्राप्त होता है कि x = - 1 अधिकतम बिंदु है, जिसका अर्थ है कि हमें प्राप्त होता है

वाई एम ए एक्स = वाई (- 1) = 2 (एक्स + 1) 2 एक्स - 2 एक्स = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

बिंदु x = 5 इंगित करता है कि फ़ंक्शन निरंतर है, और व्युत्पन्न चिह्न - से + में बदल जाएगा। इसलिए, x=-1 न्यूनतम बिंदु है, और इसकी खोज का रूप है

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

ग्राफिक छवि

जवाब: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 ।

यह इस तथ्य पर ध्यान देने योग्य है कि चरम के पहले पर्याप्त संकेत के उपयोग के लिए फ़ंक्शन को बिंदु x 0 से अलग करने की आवश्यकता नहीं होती है, और यह गणना को सरल करता है।

उदाहरण 2

फलन y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

फेसला।

फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। इसे फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

फिर आपको व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है:

y "= 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y "= - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

बिंदु x = 0 का कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि एक तरफा सीमा के मान भिन्न होते हैं। हमें वह मिलता है:

लिम वाई "एक्स → 0 - 0 = लिम वाई एक्स → 0 - 0 - 1 2 एक्स 2 - 4 एक्स - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 लिम वाई "एक्स → 0 + 0 = लिम वाई एक्स → 0 - 0 1 2 एक्स 2 - 4 एक्स + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन बिंदु x = 0 पर निरंतर है, फिर हम गणना करते हैं

लिम वाई एक्स → 0 - 0 = लिम एक्स → 0 - 0 - 1 6 एक्स 3 - 2 एक्स 2 - 22 3 एक्स - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 लिम y x → 0 + 0 = लिम x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

जब व्युत्पन्न शून्य हो जाता है तो तर्क के मूल्य को खोजने के लिए गणना करना आवश्यक है:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

प्रत्येक अंतराल के चिह्न को निर्धारित करने के लिए प्राप्त सभी बिंदुओं को रेखा पर चिह्नित किया जाना चाहिए। इसलिए, प्रत्येक अंतराल के लिए मनमाना बिंदुओं पर व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, हम x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4, x = 6 मानों वाले अंक ले सकते हैं। हमें वह मिलता है

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

एक सीधी रेखा पर बने प्रतिबिम्ब का रूप होता है

तो, हम इस बिंदु पर आते हैं कि चरम के पहले संकेत का सहारा लेना आवश्यक है। हम गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं

x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, तो यहाँ से अधिकतम अंक x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3 हैं।

आइए न्यूनतम की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

आइए हम फ़ंक्शन की मैक्सिमा की गणना करें। हमें वह मिलता है

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

ग्राफिक छवि

जवाब:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

यदि एक फलन f "(x 0) = 0 दिया जाता है, तो उसके f "" (x 0) > 0 के साथ हम पाते हैं कि x 0 एक न्यूनतम बिंदु है यदि f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

उदाहरण 3

फलन y = 8 x x + 1 का मैक्सिमा और मिनिमा ज्ञात कीजिए।

फेसला

सबसे पहले, हम परिभाषा का डोमेन पाते हैं। हमें वह मिलता है

डी (वाई): एक्स 0 एक्स ≠ - 1 ⇔ एक्स ≥ 0

फ़ंक्शन को अलग करना आवश्यक है, जिसके बाद हम प्राप्त करते हैं

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

जब x = 1, व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो जाता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु एक संभावित चरम है। स्पष्टीकरण के लिए, दूसरा व्युत्पन्न खोजना और x \u003d 1 पर मान की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x "= 4 (- x + 1)" (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 एक्स = = 4 (- 1) (एक्स + 1) 2 एक्स - (- एक्स + 1) एक्स + 1 2" एक्स + (एक्स + 1) 2 एक्स" (एक्स + 1) 4 एक्स == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

इसलिए, चरम के लिए 2 पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं कि x = 1 अधिकतम बिंदु है। अन्यथा, प्रविष्टि y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 है।

ग्राफिक छवि

जवाब:वाई एम ए एक्स = वाई (1) = 4 ..

परिभाषा 5

फलन y = f (x) का व्युत्पन्न बिंदु x 0 के पड़ोस में nवें क्रम तक और बिंदु x 0 पर n + 1 क्रम तक इसका अवकलज है। तब f "(x 0) = f "" (x 0) = f "" " (x 0) = . . . = एफ एन (एक्स 0) = 0।

यह इस प्रकार है कि जब n एक सम संख्या है, तब x 0 को एक विभक्ति बिंदु माना जाता है, जब n एक विषम संख्या है, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और f (n + 1) (x 0) > 0, फिर x 0 एक न्यूनतम बिंदु है, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

उदाहरण 4

फलन y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

फेसला

मूल फलन एक संपूर्ण परिमेय फलन है, इसलिए यह इस प्रकार है कि परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। फ़ंक्शन को अलग करने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 "== 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

यह व्युत्पन्न x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3 पर शून्य हो जाएगा। यही है, अंक एक संभावित चरम सीमा के बिंदु हो सकते हैं। तीसरी पर्याप्त चरम स्थिति को लागू करना आवश्यक है। दूसरा व्युत्पन्न ढूँढना आपको अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन की उपस्थिति को सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है। दूसरे व्युत्पन्न की गणना इसके संभावित चरम के बिंदुओं पर की जाती है। हमें वह मिलता है

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) "= 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

इसका मतलब है कि x 2 \u003d 5 7 अधिकतम बिंदु है। 3 पर्याप्त मानदंड लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं कि n = 1 और f (n + 1) 5 7 . के लिए< 0 .

x 1 = - 1, x 3 = 3 बिंदुओं की प्रकृति का निर्धारण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको तीसरे व्युत्पन्न को खोजने की जरूरत है, इन बिंदुओं पर मूल्यों की गणना करें। हमें वह मिलता है

y "" " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) "== 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y "" " (- 1) = 96 0 y "" "(3) = 0

इसलिए, x 1 = - 1 फलन का विभक्ति बिंदु है, क्योंकि n = 2 और f (n + 1) (- 1) 0 के लिए। बिंदु x 3 = 3 की जाँच करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम चौथा व्युत्पन्न पाते हैं और इस बिंदु पर गणना करते हैं:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) "== 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

ऊपर से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x 3 \u003d 3 फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।

ग्राफिक छवि

जवाब: x 2 \u003d 5 7 अधिकतम बिंदु है, x 3 \u003d 3 - दिए गए फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु।

यदि आपको टेक्स्ट में कोई गलती दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाईलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

परिचय

विज्ञान के कई क्षेत्रों में और व्यवहार में, अक्सर किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। तथ्य यह है कि कई तकनीकी, आर्थिक, आदि। प्रक्रियाओं को एक फ़ंक्शन या कई कार्यों द्वारा तैयार किया जाता है जो चर पर निर्भर करते हैं - कारक जो मॉडलिंग की जा रही घटना की स्थिति को प्रभावित करते हैं। इष्टतम (तर्कसंगत) स्थिति, प्रक्रिया नियंत्रण को निर्धारित करने के लिए ऐसे कार्यों के चरम को खोजना आवश्यक है। तो अर्थव्यवस्था में, लागत को कम करने या मुनाफे को अधिकतम करने की समस्याओं को अक्सर हल किया जाता है - कंपनी का सूक्ष्म आर्थिक कार्य। इस काम में, हम मॉडलिंग के मुद्दों पर विचार नहीं करते हैं, लेकिन केवल सरल संस्करण में फ़ंक्शन एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए एल्गोरिदम पर विचार करते हैं, जब चर (बिना शर्त अनुकूलन) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है, और केवल एक उद्देश्य फ़ंक्शन के लिए चरम की मांग की जाती है।

समारोह की चरम सीमा

एक सतत फलन के ग्राफ पर विचार करें वाई = एफ (एक्स)चित्र में दिखाया गया है। बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स 1 बाईं और दाईं ओर के सभी पड़ोसी बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों से अधिक होगा एक्सएक । इस मामले में, फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है एक्स 1 अधिकतम। बिंदु पर एक्स 3 फ़ंक्शन में स्पष्ट रूप से अधिकतम भी है। अगर हम बिंदु पर विचार करें एक्स 2 , तो इसमें फ़ंक्शन का मान सभी पड़ोसी मानों से कम है। इस मामले में, फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है एक्स 2 न्यूनतम। इसी प्रकार बिंदु के लिए एक्स 4 .

समारोह वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर एक्स 0 है ज्यादा से ज्यादा, यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान बिंदु वाले कुछ अंतराल के सभी बिंदुओं पर इसके मानों से अधिक है एक्स 0, यानी अगर बिंदु का ऐसा पड़ोस है एक्स 0 , जो सभी के लिए है एक्स≠एक्स 0 , इस पड़ोस से संबंधित, हमारे पास असमानता है एफ (एक्स)<च (एक्स 0 ) .

समारोह वाई = एफ (एक्स)यह है न्यूनतमबिंदु पर एक्स 0 , अगर बिंदु का ऐसा पड़ोस है एक्स 0 , सबके लिए क्या है एक्स≠एक्स 0 इस पड़ोस से संबंधित, हमारे पास असमानता है एफ (एक्स)>च(x0.

जिन बिंदुओं पर फ़ंक्शन अपने अधिकतम और न्यूनतम तक पहुंचता है, उन्हें चरम बिंदु कहा जाता है, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा होते हैं।

आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक खंड पर परिभाषित एक फ़ंक्शन केवल विचाराधीन खंड के भीतर संलग्न बिंदुओं पर ही अधिकतम और न्यूनतम तक पहुंच सकता है।

ध्यान दें कि यदि किसी फ़ंक्शन का एक बिंदु पर अधिकतम है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का परिभाषा के पूरे डोमेन में अधिकतम मान है। ऊपर चर्चा की गई आकृति में, बिंदु पर फलन एक्स 1 में अधिकतम है, हालांकि ऐसे बिंदु हैं जिन पर फ़ंक्शन मान बिंदु से अधिक हैं एक्स 1 . विशेष रूप से, एफ(एक्स 1) < एफ(एक्स 4) यानी फ़ंक्शन का न्यूनतम अधिकतम से अधिक है। अधिकतम की परिभाषा से, यह केवल इस प्रकार है कि यह अधिकतम बिंदु के काफी करीब बिंदुओं पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है।

प्रमेय 1. (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त।) यदि एक अलग कार्य वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर है एक्स = एक्स 0 चरम, तो इस बिंदु पर इसका व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

प्रमाण. चलो, निश्चितता के लिए, बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है। फिर पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि के लिए एक्सअपने पास च (एक्स 0 + Δ एक्स) 0 ) , अर्थात।

परन्तु फिर

इन असमानताओं को सीमा तक . के रूप में पारित करना एक्स→ 0 और ध्यान में रखते हुए कि व्युत्पन्न एफ "(एक्स 0) मौजूद है, और इसलिए बाईं ओर की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कैसे एक्स→ 0, हम पाते हैं: . के लिए एक्स → 0 – 0 एफ"(एक्स 0) 0 और . पर एक्स → 0 + 0 एफ"(एक्स 0) 0. चूँकि एफ"(एक्स 0) एक संख्या को परिभाषित करता है, तो ये दो असमानताएँ तभी संगत होती हैं जब एफ"(एक्स 0) = 0.

सिद्ध प्रमेय में कहा गया है कि अधिकतम और न्यूनतम अंक केवल तर्क के उन मूल्यों में से हो सकते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमने उस स्थिति पर विचार किया है जब किसी फलन का एक निश्चित खंड के सभी बिंदुओं पर व्युत्पन्न होता है। क्या होता है जब व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है? उदाहरणों पर विचार करें।

आप=|एक्स|.

फ़ंक्शन में एक बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं होता है एक्स=0 (इस बिंदु पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित स्पर्शरेखा नहीं होती है), लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है, क्योंकि आप(0) = 0, और सभी के लिए एक्स≠ 0आप > 0.

पर कोई व्युत्पन्न नहीं है एक्स= 0, क्योंकि यह अनंत तक जाता है जब एक्स= 0। लेकिन इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की अधिकतम है। पर कोई व्युत्पन्न नहीं है एक्स=0, क्योंकि at एक्स→0। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन में न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है। सच में, एफ (एक्स)=0 और at एक्स<0एफ (एक्स)<0, а при एक्स>0एफ (एक्स)>0.

इस प्रकार, दिए गए उदाहरणों और सूत्रबद्ध प्रमेय से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन का केवल दो मामलों में एक चरम हो सकता है: 1) उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य के बराबर है; 2) उस बिंदु पर जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

हालांकि, अगर किसी बिंदु पर एक्स 0 हम जानते हैं कि च"(एक्स 0 ) = 0, तो इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में एक चरम सीमा होती है।

उदाहरण के लिए।

.

लेकिन बिंदु एक्स=0 एक चरम बिंदु नहीं है, क्योंकि इस बिंदु के बाईं ओर फ़ंक्शन मान अक्ष के नीचे स्थित हैं बैल, और ऊपर दाईं ओर।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से एक तर्क के मान, जिसके लिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु.

उपरोक्त सभी से, यह इस प्रकार है कि फ़ंक्शन के चरम बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं में से हैं, और, हालांकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है। इसलिए, फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना होगा, और फिर इनमें से प्रत्येक बिंदु को अधिकतम और न्यूनतम के लिए अलग-अलग जांचना होगा। इसके लिए, निम्नलिखित प्रमेय कार्य करता है।

प्रमेय 2। (एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्त।) मान लीजिए कि महत्वपूर्ण बिंदु वाले कुछ अंतराल पर फ़ंक्शन निरंतर है एक्स 0 , और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है (सिवाय, शायद, बिंदु को छोड़कर एक्स 0)। यदि, इस बिंदु से बाएं से दाएं जाने पर, व्युत्पन्न संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो बिंदु पर एक्स = एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है। अगर, गुजरते समय एक्स 0 बाएं से दाएं, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस पर हस्ताक्षर करता है, फिर इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, यदि

च"(एक्स)>0 बजे एक्स<एक्स 0 और च"(एक्स)< 0 बजे एक्स > एक्स 0 , फिर एक्स 0 - अधिकतम बिंदु;

पर एक्स<एक्स 0 और एफ "(एक्स)> 0 बजे एक्स > एक्स 0 , फिर एक्स 0 न्यूनतम बिंदु है।

प्रमाण. आइए पहले मान लें कि जब से गुजरते हैं एक्स 0, व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत प्लस से माइनस में, अर्थात। सबके लिए एक्सबिंदु के करीब एक्स 0 एफ "(एक्स)> 0 के लिए एक्स< x 0 , च"(एक्स)< 0 के लिए एक्स > एक्स 0. आइए लैग्रेंज प्रमेय को अंतर पर लागू करें एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) = एफ "(सी) (एक्स- एक्स 0), जहां सीबीच मे स्थित एक्सऔर एक्स 0 .

रहने दो एक्स< x 0. फिर सी< x 0 और च "(सी)> 0. इसलिए एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0 और इसलिए,

एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 )< 0, यानी एफ (एक्स)< f(x 0 ).

रहने दो एक्स > एक्स 0. फिर सी>एक्स 0 और च"(सी)< 0. माध्यम एफ "(सी) (एक्स-एक्स 0)< 0. इसलिए एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) <0,т.е.एफ (एक्स)< च (एक्स 0 ) .

इस प्रकार, सभी मूल्यों के लिए एक्सकाफी करीब एक्स 0 एफ (एक्स)< च (एक्स 0 ) . और इसका मतलब है कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है।

न्यूनतम प्रमेय का दूसरा भाग इसी प्रकार सिद्ध होता है।

आइए चित्र में इस प्रमेय का अर्थ स्पष्ट करें। रहने दो च"(एक्स 1 ) = 0 और किसी के लिए एक्स,काफी करीब एक्स 1, असमानताएं

च"(एक्स)< 0 बजे एक्स< x 1 , एफ "(एक्स)> 0 बजे एक्स > एक्स 1 .

फिर बिंदु के बाईं ओर एक्स 1 फलन बढ़ रहा है, और दाईं ओर घट रहा है, इसलिए, जब एक्स = एक्स 1 फंक्शन बढ़ते से घटते जाता है, यानी इसमें अधिकतम होता है।

इसी तरह, कोई बिंदुओं पर विचार कर सकता है एक्स 2 और एक्स 3 .

योजनाबद्ध रूप से, उपरोक्त सभी को चित्र में दर्शाया जा सकता है:

एक चरम के लिए y=f(x) फलन का अध्ययन करने का नियम

फ़ंक्शन का दायरा खोजें एफ (एक्स)।

किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें च"(एक्स).

इसके लिए महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें:

समीकरण की वास्तविक जड़ें खोजें च"(एक्स)=0;

सभी मान खोजें एक्सजिसके तहत व्युत्पन्न च"(एक्स)मौजूद नहीं होना।

महत्वपूर्ण बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न का निर्धारण करें। चूंकि व्युत्पन्न का चिह्न दो महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच स्थिर रहता है, इसलिए यह व्युत्पन्न के चिह्न को बाईं ओर किसी एक बिंदु पर और एक बिंदु पर महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।