प्रतिव्युत्पन्न गणितीय कार्यों की तालिका। प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन। लघुगणकीय फलन y = log a x

प्रतिअवकलजों की तालिका (अनिश्चित समाकलों की तालिका) का उपयोग करके प्रत्यक्ष एकीकरण

प्रतिअवकलजों की तालिका

यदि हम अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों का उपयोग करते हैं तो हम किसी फ़ंक्शन के ज्ञात अंतर से प्रतिअवकलन पा सकते हैं। बुनियादी प्राथमिक कार्यों की तालिका से, समानताओं का उपयोग करना ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C और ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) dx हम प्रतिअवकलजों की एक तालिका बना सकते हैं।

आइए अवकलजों की तालिका को अवकलन के रूप में लिखें।

स्थिरांक y = C सी" = 0 पावर फ़ंक्शन y = x p. (एक्स पी) " = पी एक्स पी - 1	स्थिरांक y = C डी (सी) = 0 डी एक्स पावर फ़ंक्शन y = x p. डी (एक्स पी) = पी एक्स पी - 1 डी एक्स
(ए एक्स) " = ए एक्स एलएन ए	घातांकीय फलन y = a x. डी (ए एक्स) = ए एक्स एलएन α डी एक्स विशेष रूप से, a = e के लिए हमारे पास y = e x है डी (ई एक्स) = ई एक्स डी एक्स
लॉग ए एक्स " = 1 एक्स एलएन ए	लघुगणकीय फलन y = log a x . डी (लॉग ए एक्स) = डी एक्स एक्स एलएन ए विशेष रूप से, a = e के लिए हमारे पास y = ln x है डी (एलएन एक्स) = डी एक्स एक्स
त्रिकोणमितीय कार्य। पाप x " = cos x (cos x) " = - पाप x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 पाप 2 x	त्रिकोणमितीय कार्य। डी सिन एक्स = कॉस एक्स · डी एक्स डी (कॉस एक्स) = - सिन एक्स · डी एक्स डी (टी जी एक्स) = डी एक्स सी ओ एस 2 एक्स डी (सी टी जी एक्स) = - डी एक्स सिन 2 एक्स
ए आर सी सिन एक्स " = 1 1 - एक्स 2 ए आर सी कॉस एक्स " = - 1 1 - एक्स 2 ए आर सी टी जी एक्स " = 1 1 + एक्स 2 ए आर सी सी टी जी एक्स " = - 1 1 + एक्स 2	व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन. डी ए आर सी सिन एक्स = डी एक्स 1 - एक्स 2 डी ए आर सी कॉस एक्स = - डी एक्स 1 - एक्स 2 डी ए आर सी टी जी एक्स = डी एक्स 1 + एक्स 2 डी ए आर सी सी टी जी एक्स = - डी एक्स 1 + एक्स 2

आइए उपरोक्त को एक उदाहरण से स्पष्ट करें। आइए घात फलन f (x) = x p का अनिश्चितकालीन समाकलन ज्ञात करें।

अंतरों की तालिका के अनुसार d (x p) = p · x p - 1 · d x. अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों से हमारे पास ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C है। इसलिए, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. प्रविष्टि का दूसरा संस्करण इस प्रकार है: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + सी 1 , पी ≠ - 1 .

आइए इसे -1 के बराबर लें और पावर फ़ंक्शन f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x के प्रतिअवकलन का सेट ढूंढें।

अब हमें प्राकृतिक लघुगणक d (ln x) = d x x, x > 0 के लिए अंतरों की एक तालिका की आवश्यकता है, इसलिए ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x। इसलिए ∫ d x x = ln x , x > 0।

प्रतिअवकलजों की तालिका (अनिश्चित समाकलन)

तालिका के बाएँ स्तंभ में ऐसे सूत्र हैं जिन्हें मूल प्रतिअवकलज कहा जाता है। दाएं कॉलम में सूत्र बुनियादी नहीं हैं, लेकिन अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है। इन्हें विभेदन द्वारा जांचा जा सकता है।

प्रत्यक्ष एकीकरण

प्रत्यक्ष एकीकरण करने के लिए, हम प्रतिअवकलजों की तालिकाओं, एकीकरण नियमों ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, साथ ही अनिश्चित अभिन्नों के गुणों ∫ k f (x) d x = k का उपयोग करेंगे। ∫ एफ (एक्स) डी एक्स ∫ (एफ (एक्स) ± जी (एक्स)) डी एक्स = ∫ एफ (एक्स) डी एक्स ± ∫ जी (एक्स) डी एक्स

बुनियादी इंटीग्रल की तालिका और इंटीग्रल के गुणों का उपयोग इंटीग्रैंड के आसान परिवर्तन के बाद ही किया जा सकता है।

उदाहरण 1

आइए अभिन्न अंग ∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x ज्ञात करें

समाधान

हम अभिन्न चिह्न के नीचे से गुणांक 3 हटाते हैं:

∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ पाप x 2 + cos x 2 2 d x

त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग करके, हम इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को बदलते हैं:

3 ∫ पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ पाप x 2 2 + 2 पाप x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 पाप x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + पाप x घ x

चूँकि योग का समाकलन समाकलों के योग के बराबर होता है, तो
3 ∫ 1 + पाप x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ पाप x d x

हम प्रतिअवकलजों की तालिका से डेटा का उपयोग करते हैं: 3 ∫ 1 d x + ∫ syn x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = खाली 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos एक्स + सी

उत्तर:∫ 3 पाप x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C।

उदाहरण 2

फलन f (x) = 2 3 4 x - 7 के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

हम घातांकीय फलन के लिए प्रतिअवकलन तालिका का उपयोग करते हैं: ∫ a x · d x = a x ln a + C। इसका मतलब यह है कि ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

हम एकीकरण नियम ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C का उपयोग करते हैं।

हमें ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C मिलता है।

उत्तर: एफ (एक्स) = 2 3 4 एक्स - 7 = 4 3 2 3 4 एक्स - 7 एलएन 2 + सी

प्रतिअवकलजों, गुणों और एकीकरण के नियम की तालिका का उपयोग करके, हम बहुत से अनिश्चित अभिन्न अंग पा सकते हैं। यह उन मामलों में संभव है जहां इंटीग्रैंड को बदलना संभव है।

लघुगणक फ़ंक्शन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फ़ंक्शन और कई अन्य के अभिन्न अंग को खोजने के लिए, विशेष तरीकों का उपयोग किया जाता है, जिस पर हम "एकीकरण के बुनियादी तरीकों" अनुभाग में विचार करेंगे।

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आइए हम प्राथमिक कार्यों के अभिन्नों को सूचीबद्ध करें, जिन्हें कभी-कभी सारणीबद्ध कहा जाता है:

उपरोक्त किसी भी सूत्र को दाहिनी ओर का व्युत्पन्न लेकर सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम इंटीग्रैंड होगा)।

एकीकरण के तरीके

आइए कुछ बुनियादी एकीकरण विधियों पर नजर डालें। इसमे शामिल है:

1. अपघटन विधि(प्रत्यक्ष एकीकरण).

यह विधि सारणीबद्ध इंटीग्रल्स के प्रत्यक्ष उपयोग के साथ-साथ अनिश्चित इंटीग्रल के गुण 4 और 5 के उपयोग पर आधारित है (यानी, स्थिर कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना और/या इंटीग्रैंड को कार्यों के योग के रूप में प्रस्तुत करना - अपघटन) इंटीग्रैंड के शब्दों में)।

उदाहरण 1।उदाहरण के लिए, (dx/x 4) को खोजने के लिए आप सीधे x n dx के लिए तालिका इंटीग्रल का उपयोग कर सकते हैं। वास्तव में,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

उदाहरण 2.इसे खोजने के लिए, हम उसी अभिन्न अंग का उपयोग करते हैं:

उदाहरण 3.इसे खोजने के लिए आपको लेने की जरूरत है

उदाहरण 4.खोजने के लिए, हम फॉर्म में इंटीग्रैंड फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं और घातीय फ़ंक्शन के लिए तालिका अभिन्न का उपयोग करें:

आइए एक स्थिर कारक कोष्ठक के उपयोग पर विचार करें।

उदाहरण 5.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . उस पर विचार करने पर हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 6.हम इसे ढूंढ लेंगे. क्योंकि आइए तालिका अभिन्न का उपयोग करें हम पाते हैं

निम्नलिखित दो उदाहरणों में, आप ब्रैकेटिंग और टेबल इंटीग्रल्स का भी उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 7.

(हम और का उपयोग करते हैं );

उदाहरण 8.

(हम उपयोग करते हैं और ).

आइए अधिक जटिल उदाहरण देखें जो योग अभिन्न का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 9.उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. अंश में विस्तार विधि लागू करने के लिए, हम योग घन सूत्र  का उपयोग करते हैं, और फिर परिणामी बहुपद को हर से, पद दर पद विभाजित करते हैं।

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समाधान के अंत में एक सामान्य स्थिरांक C लिखा जाता है (और प्रत्येक पद को एकीकृत करते समय अलग-अलग नहीं)। भविष्य में, समाधान प्रक्रिया में व्यक्तिगत शब्दों के एकीकरण से स्थिरांक को हटाने का भी प्रस्ताव है जब तक कि अभिव्यक्ति में कम से कम एक अनिश्चित अभिन्न अंग शामिल हो (हम समाधान के अंत में एक स्थिरांक लिखेंगे)।

उदाहरण 10.हम ढूंढ लेंगे . इस समस्या को हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें (इसके बाद हम हर को कम कर सकते हैं)।

उदाहरण 11.हम इसे ढूंढ लेंगे. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग यहां किया जा सकता है।

कभी-कभी, किसी अभिव्यक्ति को शब्दों में विघटित करने के लिए, आपको अधिक जटिल तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है।

उदाहरण 12.हम ढूंढ लेंगे . इंटीग्रैंड में हम भिन्न के पूरे भाग का चयन करते हैं . तब

उदाहरण 13.हम ढूंढ लेंगे

2. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि (प्रतिस्थापन विधि)

विधि निम्नलिखित सूत्र पर आधारित है: f(x)dx=f((t))`(t)dt, जहां x =(t) विचाराधीन अंतराल पर अवकलनीय एक फ़ंक्शन है।

सबूत। आइए सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्षों से चर t के संबंध में व्युत्पन्न खोजें।

ध्यान दें कि बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन है जिसका मध्यवर्ती तर्क x = (t) है। इसलिए, इसे t के संबंध में अलग करने के लिए, हम पहले x के संबंध में अभिन्न को अलग करते हैं, और फिर t के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न लेते हैं।

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

दाईं ओर से व्युत्पन्न:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

चूँकि ये व्युत्पन्न समान हैं, लैग्रेंज के प्रमेय के परिणाम के अनुसार, सिद्ध किए जा रहे सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्ष एक निश्चित स्थिरांक से भिन्न होते हैं। चूंकि अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग स्वयं एक अनिश्चित स्थिर पद तक परिभाषित होते हैं, इसलिए इस स्थिरांक को अंतिम संकेतन से छोड़ा जा सकता है। सिद्ध किया हुआ।

चर का एक सफल परिवर्तन आपको मूल अभिन्न अंग को सरल बनाने की अनुमति देता है, और सबसे सरल मामलों में, इसे एक सारणीबद्ध रूप में कम कर देता है। इस पद्धति के अनुप्रयोग में, रैखिक और अरेखीय प्रतिस्थापन विधियों के बीच अंतर किया जाता है।

ए) रैखिक प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।
. मान लीजिए t= 1 – 2x, तो

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए वेरिएबल को स्पष्ट रूप से लिखने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे मामलों में, वे किसी फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत बदलने या अंतर चिह्न के तहत स्थिरांक और चर पेश करने के बारे में बात करते हैं, यानी। हे अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन.

उदाहरण 2.उदाहरण के लिए, आइए cos(3x + 2)dx खोजें। अंतर के गुणों द्वारा dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), फिरcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

विचार किए गए दोनों उदाहरणों में, अभिन्नों को खोजने के लिए रैखिक प्रतिस्थापन t=kx+b(k0) का उपयोग किया गया था।

सामान्य स्थिति में, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

रैखिक प्रतिस्थापन प्रमेय. मान लीजिए F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है। फिरf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, जहां k और b कुछ स्थिरांक हैं,k0.

सबूत।

अभिन्न अंग की परिभाषा के अनुसार f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. आइए स्थिर कारक k को अभिन्न चिह्न से बाहर निकालें: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. अब हम समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं और स्थिर पद के पदनाम तक सिद्ध होने वाला कथन प्राप्त कर सकते हैं।

यह प्रमेय बताता है कि यदि अभिन्न f(x)dx= F(x) + C की परिभाषा में तर्क x के बजाय हम अभिव्यक्ति (kx+b) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो इससे एक अतिरिक्त की उपस्थिति होगी प्रतिअवकलन के सामने कारक 1/k.

सिद्ध प्रमेय का उपयोग करके, हम निम्नलिखित उदाहरणों को हल करते हैं।

उदाहरण 3.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= 3 –x, यानी k= -1,b= 3. फिर

उदाहरण 4.

हम इसे ढूंढ लेंगे. यहाँkx+b= 4x+ 3, यानी k= 4,b= 3. फिर

उदाहरण 5.

हम ढूंढ लेंगे . यहाँ kx+b= -2x+ 7, यानी k= -2,b= 7. फिर

.

उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे
. यहां kx+b= 2x+ 0, यानी k= 2,b= 0.

.

आइए प्राप्त परिणाम की तुलना उदाहरण 8 से करें, जिसे अपघटन विधि द्वारा हल किया गया था। एक ही समस्या को भिन्न विधि से हल करने पर हमें उत्तर मिल गया
. आइए परिणामों की तुलना करें: इस प्रकार, ये अभिव्यक्तियाँ एक दूसरे से एक स्थिर पद से भिन्न होती हैं , अर्थात। प्राप्त उत्तर एक-दूसरे का खंडन नहीं करते।

उदाहरण 7.हम ढूंढ लेंगे
. आइए हर में एक पूर्ण वर्ग चुनें।

कुछ मामलों में, एक वेरिएबल को बदलने से इंटीग्रल को सीधे सारणीबद्ध रूप में कम नहीं किया जा सकता है, बल्कि समाधान को सरल बनाया जा सकता है, जिससे अगले चरण में विस्तार विधि का उपयोग करना संभव हो जाता है।

उदाहरण 8.उदाहरण के लिए, आइए खोजें . t=x+ 2 को प्रतिस्थापित करें, फिर dt=d(x+ 2) =dx। तब

,

जहाँ C = C 1 – 6 (पहले दो पदों के स्थान पर व्यंजक (x+ 2) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ½x 2 -2x– 6 प्राप्त होता है)।

उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे
. माना t= 2x+ 1, फिर dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

आइए अभिव्यक्ति (2x+ 1) को t के स्थान पर रखें, कोष्ठक खोलें और समान कोष्ठक दें।

ध्यान दें कि परिवर्तनों की प्रक्रिया में हम एक और स्थिर पद पर चले गए, क्योंकि परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान स्थिर पदों के समूह को छोड़ा जा सकता है।

बी) अरेखीय प्रतिस्थापन विधिआइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1।
. लेट = -x 2. इसके बाद, कोई x को t के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है, फिर dx के लिए एक अभिव्यक्ति ढूंढ सकता है और वांछित अभिन्न अंग में चर के परिवर्तन को लागू कर सकता है। लेकिन इस मामले में चीजों को अलग तरीके से करना आसान है। आइए खोजेंdt=d(-x 2) = -2xdx. ध्यान दें कि अभिव्यक्ति xdx वांछित अभिन्न के समाकलन का एक कारक है। आइए हम इसे परिणामी समानताxdx= - ½dt से व्यक्त करें। तब

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+सी

आइए कुछ और उदाहरण देखें.

उदाहरण 2.हम ढूंढ लेंगे . मान लीजिए t= 1 -x 2 . तब

उदाहरण 3.हम ढूंढ लेंगे . लेट=. तब

;

उदाहरण 4.अरेखीय प्रतिस्थापन के मामले में, अंतर्निहित परिवर्तनीय प्रतिस्थापन का उपयोग करना भी सुविधाजनक है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें
. आइए xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) लिखें (स्पष्ट रूप से वेरिएबल t= 3 - 2x 2 द्वारा प्रतिस्थापित)। तब

उदाहरण 5.हम ढूंढ लेंगे . यहां हम विभेदक चिह्न के अंतर्गत एक चर का भी परिचय देते हैं: (अंतर्निहित प्रतिस्थापन = 3 + 5x 3)। तब

उदाहरण 6.हम ढूंढ लेंगे . क्योंकि ,

उदाहरण 7.हम इसे ढूंढ लेंगे. के बाद से

आइए कुछ उदाहरण देखें जिनमें विभिन्न प्रतिस्थापनों को संयोजित करना आवश्यक हो जाता है।

उदाहरण 8.हम ढूंढ लेंगे
. मान लीजिए = 2x+ 1, फिरx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

उदाहरण 9.हम ढूंढ लेंगे
. मान लीजिए कि =x- 2, तोx=t+ 2;dx=dt.

प्रतिअवकलन फलन और अनिश्चित समाकलन

तथ्य 1. एकीकरण विभेदीकरण की विपरीत क्रिया है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन को पुनर्स्थापित करना। इस प्रकार कार्य बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है antiderivativeसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, यदि सभी मानों के लिए एक्सइस अंतराल से समानता कायम रहती है एफ "(एक्स)=एफ(एक्स), यानी, यह फ़ंक्शन एफ(एक्स) प्रतिअवकलन फलन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) = पाप एक्स फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स संपूर्ण संख्या रेखा पर, चूँकि x के किसी भी मान के लिए (पाप एक्स)" = (क्योंकि एक्स) .

परिभाषा 2. किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग एफ(एक्स) इसके सभी प्रतिअवकलजों का समुच्चय है. इस मामले में, संकेतन का उपयोग किया जाता है

∫

एफ(एक्स)डीएक्स

,

संकेत कहाँ है ∫ अभिन्न चिन्ह, फलन कहा जाता है एफ(एक्स) - इंटीग्रैंड फ़ंक्शन, और एफ(एक्स)डीएक्स – एकात्म अभिव्यक्ति.

इस प्रकार, यदि एफ(एक्स) - के लिए कुछ प्रतिव्युत्पन्न एफ(एक्स) , वह

∫

एफ(एक्स)डीएक्स = एफ(एक्स) +सी

कहाँ सी - मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।

किसी फलन के प्रतिअवकलजों के समुच्चय को अनिश्चित समाकलन के रूप में समझने के लिए निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। चलो एक दरवाजा (पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा) हो। इसका कार्य "दरवाजा बनना" है। दरवाजा किससे बना है? लकड़ी का बना हुआ। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "टू बी ए डोर" के इंटीग्रैंड के एंटीडेरिवेटिव्स का सेट, यानी, इसका अनिश्चित अभिन्न अंग, फ़ंक्शन "टू बी ए ट्री + सी" है, जहां सी एक स्थिरांक है, जो इस संदर्भ में हो सकता है उदाहरण के लिए, पेड़ के प्रकार को निरूपित करें। जिस प्रकार एक दरवाजा कुछ उपकरणों का उपयोग करके लकड़ी से बनाया जाता है, उसी प्रकार एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का उपयोग करके "बनाया" जाता है व्युत्पन्न का अध्ययन करते समय हमने जो सूत्र सीखे .

फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संगत प्रतिअवकलजों के कार्यों की तालिका ("एक दरवाजा होना" - "एक पेड़ होना", "एक चम्मच होना" - "धातु होना", आदि) मूल की तालिका के समान है अनिश्चितकालीन समाकलन, जो नीचे दिया जाएगा। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका सामान्य कार्यों को उन प्रतिअवकलजों के संकेत के साथ सूचीबद्ध करती है जिनसे ये कार्य "बने" होते हैं। अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की समस्याओं के एक भाग में, ऐसे समाकलन दिए गए हैं जिन्हें बिना अधिक प्रयास के सीधे एकीकृत किया जा सकता है, अर्थात अनिश्चितकालीन समाकलन की तालिका का उपयोग करके। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले रूपांतरित किया जाना चाहिए ताकि टेबल इंटीग्रल्स का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2. किसी फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव के रूप में पुनर्स्थापित करते समय, हमें एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) को ध्यान में रखना चाहिए सी, और 1 से अनंत तक विभिन्न स्थिरांकों के साथ प्रतिअवकलजों की सूची न लिखने के लिए, आपको एक मनमाना स्थिरांक के साथ प्रतिअवकलजों का एक सेट लिखना होगा सी, उदाहरण के लिए, इस तरह: 5 एक्स³+सी. अतः, प्रतिअवकलन की अभिव्यक्ति में एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर) शामिल है, क्योंकि प्रतिअवकलन एक फलन हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स³+4 या 5 एक्स³+3 और जब विभेदित किया जाता है, 4 या 3, या कोई अन्य स्थिरांक शून्य हो जाता है।

आइए एकीकरण समस्या प्रस्तुत करें: इस फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) ऐसा फ़ंक्शन ढूंढें एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्नके बराबर एफ(एक्स).

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन के प्रतिअवकलन का समुच्चय ज्ञात कीजिए

समाधान। इस फ़ंक्शन के लिए, प्रतिअवकलन फ़ंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन कहा जाता है एफ(एक्स), यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है एफ(एक्स), या, जो एक ही चीज़ है, अंतर एफ(एक्स) बराबर है एफ(एक्स) डीएक्स, अर्थात।

(2)

इसलिए, फलन, फलन का प्रतिअवकलन है। हालाँकि, यह इसका एकमात्र प्रतिव्युत्पन्न नहीं है। वे कार्य भी करते हैं

कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक. इसे विभेदन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी फलन के लिए एक प्रतिअवकलन है, तो उसके लिए अनंत संख्या में प्रतिअवकलन होते हैं जो एक स्थिर पद से भिन्न होते हैं। किसी फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव उपरोक्त फॉर्म में लिखे गए हैं। यह निम्नलिखित प्रमेय से अनुसरण करता है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक विवरण)।अगर एफ(एक्स) - फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन एफ(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, फिर इसके लिए कोई अन्य प्रतिअवकलन एफ(एक्स) उसी अंतराल पर फॉर्म में दर्शाया जा सकता है एफ(एक्स) + सी, कहाँ साथ- मनमाना स्थिरांक.

अगले उदाहरण में, हम अभिन्नों की तालिका की ओर मुड़ते हैं, जो अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुणों के बाद पैराग्राफ 3 में दी जाएगी। ऐसा हम पूरी तालिका को पढ़ने से पहले करते हैं ताकि उपरोक्त का सार स्पष्ट हो जाए। और तालिका और गुणों के बाद, हम एकीकरण के दौरान उनका संपूर्ण उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2.प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय खोजें:

समाधान। हम प्रतिअवकलन फलनों के समुच्चय पाते हैं जिनसे ये फलन "बनते" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए बस यह स्वीकार करें कि वहाँ ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चित अभिन्नों की पूरी तालिका का थोड़ा और अध्ययन करेंगे।

1) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (7) को लागू करना एन= 3, हमें प्राप्त होता है

2) इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना एन= 1/3, हमारे पास है

3) चूंकि

फिर सूत्र (7) के अनुसार एन= -1/4 हम पाते हैं

यह फ़ंक्शन स्वयं नहीं है जो अभिन्न चिह्न के नीचे लिखा गया है एफ, और अंतर द्वारा इसका उत्पाद डीएक्स. यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर द्वारा प्रतिअवकलन की मांग की जाती है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहां दोनों मामलों में इंटीग्रैंड बराबर है, लेकिन विचार किए गए मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग-अलग हो जाते हैं। पहले मामले में, इस फ़ंक्शन को वेरिएबल का एक फ़ंक्शन माना जाता है एक्स, और दूसरे में - के एक कार्य के रूप में जेड .

किसी फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को उस फ़ंक्शन को एकीकृत करना कहा जाता है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

मान लीजिए हमें एक वक्र ढूंढ़ना है y=F(x)और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा एक दिया हुआ फलन है एफ(एक्स)इस बिंदु का भुज.

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र के किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा y=F(x)व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर एफ"(x). इसलिए हमें ऐसा कोई फ़ंक्शन ढूंढने की आवश्यकता है एफ(एक्स), जिसके लिए एफ"(एक्स)=एफ(एक्स). कार्य में आवश्यक फ़ंक्शन एफ(एक्स)का प्रतिव्युत्पन्न है एफ(एक्स). समस्या की स्थितियाँ एक वक्र से नहीं, बल्कि वक्रों के एक परिवार से संतुष्ट होती हैं। y=F(x)- इनमें से एक वक्र, और कोई अन्य वक्र अक्ष के अनुदिश समानांतर अनुवाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है ओए.

आइए के प्रतिअवकलन फलन के ग्राफ़ को कॉल करें एफ(एक्स)अभिन्न वक्र. अगर एफ"(एक्स)=एफ(एक्स), फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=F(x)एक अभिन्न वक्र है.

तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न को ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया जाता है , जैसा कि नीचे चित्र में है। निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एक मनमाना एकीकरण स्थिरांक द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

तथ्य 4. प्रमेय 1. अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है, और इसका अंतर समाकलन के बराबर है।

तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी फ़ंक्शन के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग एफ(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) एक स्थिर अवधि तक , अर्थात।

(3)

प्रमेय 1 और 2 दर्शाते हैं कि विभेदीकरण और एकीकरण परस्पर विपरीत संक्रियाएँ हैं।

तथ्य 6. प्रमेय 3. समाकलन में स्थिर कारक को अनिश्चितकालीन समाकलन के चिन्ह से निकाला जा सकता है , अर्थात।

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। अभिन्नों की तालिका. सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र.

प्रतिअवकलजों की तालिका ("अभिन्न")। सारणीबद्ध अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग। (एक पैरामीटर के साथ सबसे सरल इंटीग्रल और इंटीग्रल)।
पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।	पावर फ़ंक्शन का अभिन्न अंग।
एक इंटीग्रल जो पावर फ़ंक्शन के इंटीग्रल में कम हो जाता है यदि x को अंतर चिह्न के तहत संचालित किया जाता है।
	एक घातांक का अभिन्न अंग, जहां a एक स्थिर संख्या है।
एक जटिल घातांकीय फलन का अभिन्न अंग।	एक घातांकीय फलन का अभिन्न अंग.
प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग।	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
	अभिन्न: "लंबा लघुगणक"।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।	एक अभिन्न, जहां अंश में x को अंतर चिह्न के नीचे रखा जाता है (चिह्न के नीचे स्थिरांक को या तो जोड़ा या घटाया जा सकता है), अंततः प्राकृतिक लघुगणक के बराबर एक अभिन्न अंग के समान होता है।
अभिन्न: "उच्च लघुगणक"।
कोसाइन अभिन्न.	साइन इंटीग्रल.
स्पर्शरेखा के बराबर अभिन्न.	समाकलन कोटैंजेंट के बराबर।
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर अभिन्न
आर्कसाइन और आर्ककोसाइन दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।	आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट दोनों के बराबर एक अभिन्न अंग।
सहसंयोजक के बराबर समाकलन.	इंटीग्रल सेकेंट के बराबर।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कोसेसेंट के बराबर इंटीग्रल।
आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।	आर्कसेकेंट के बराबर अभिन्न।
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल।
हाइपरबोलिक साइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।	हाइपरबोलिक कोसाइन के बराबर इंटीग्रल, जहां अंग्रेजी संस्करण में cinx हाइपरबोलिक साइन है।
अतिपरवलयिक स्पर्शज्या के बराबर समाकलन.	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट के बराबर इंटीग्रल।
अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट के बराबर अभिन्न।	अतिपरवलयिक सहसंयोजक के बराबर समाकलन.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। एकीकरण नियम.

भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र। न्यूटन-लीबनिज सूत्र. एकीकरण के नियम.
किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) को एक स्थिरांक द्वारा एकीकृत करना:
कार्यों का योग एकीकृत करना:
अनिश्चितकालीन अभिन्न:
भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र निश्चित अभिन्न:
न्यूटन-लीबनिज सूत्र निश्चित अभिन्न:	जहां F(a),F(b) क्रमशः बिंदु b और a पर प्रतिअवकलन के मान हैं।

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न। उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.

यदि x एक स्वतंत्र चर है, तो:

डेरिवेटिव की तालिका. सारणीबद्ध व्युत्पन्न।"तालिका व्युत्पन्न" - हाँ, दुर्भाग्य से, इंटरनेट पर उन्हें इसी प्रकार खोजा जाता है
	पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
	प्रतिपादक की व्युत्पत्ति
एक जटिल घातीय फलन का व्युत्पन्न	घातीय फलन का व्युत्पन्न
लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न	प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
	किसी फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
साइन का व्युत्पन्न	कोसाइन का व्युत्पन्न
सहसंयोजक का व्युत्पन्न	सेकेंट का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
आर्कसीन का व्युत्पन्न	आर्क कोसाइन का व्युत्पन्न
स्पर्शरेखा व्युत्पन्न	कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्कटेंजेंट का व्युत्पन्न	चाप कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
आर्सेकेंट का व्युत्पन्न	आर्कोसेक्टेंट का व्युत्पन्न
हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक साइन का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न अंग्रेजी संस्करण में हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्पन्न
अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या का व्युत्पन्न	हाइपरबोलिक कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
हाइपरबोलिक सेकेंट का व्युत्पन्न	अतिपरवलयिक सहसंयोजक का व्युत्पन्न

विभेदीकरण के नियम. उत्पाद का व्युत्पन्न. भागफल का व्युत्पन्न. एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न.
किसी स्थिरांक द्वारा किसी उत्पाद (फ़ंक्शन) का व्युत्पन्न:
योग का व्युत्पन्न (कार्य):
उत्पाद का व्युत्पन्न (कार्य):
भागफल का व्युत्पन्न (कार्यों का):
एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:

लघुगणक के गुण. लघुगणक के लिए मूल सूत्र. दशमलव (एलजी) और प्राकृतिक लघुगणक (एलएन)।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान
आइए दिखाएँ कि a b के रूप के किसी भी फलन को घातांकीय कैसे बनाया जा सकता है। चूँकि e x के रूप का एक फलन घातांकीय कहलाता है
a b के रूप के किसी भी फ़ंक्शन को दस की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है

प्राकृतिक लघुगणक ln (आधार e का लघुगणक = 2.718281828459045...) ln(e)=1; लॉग(1)=0

टेलर श्रृंखला. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार।

इससे पता चलता है कि बहुमत व्यावहारिक रूप से सामना करना पड़ागणितीय कार्यों को किसी निश्चित बिंदु के आसपास किसी भी सटीकता के साथ बढ़ते क्रम में एक चर की शक्तियों वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, बिंदु x=1 के आसपास:

श्रृंखला का उपयोग करते समय कहा जाता है टेलर की पंक्तियाँबीजगणितीय, त्रिकोणमितीय और घातांकीय कार्यों वाले मिश्रित कार्यों को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। श्रृंखला का उपयोग करके, आप अक्सर जल्दी से भेदभाव और एकीकरण कर सकते हैं।

बिंदु a के पड़ोस में टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

1) , जहां f(x) एक फ़ंक्शन है जिसमें x = a पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं। आर एन - टेलर श्रृंखला में शेष पद अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है

2)

श्रृंखला का k-वें गुणांक (x k पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3) टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला मैकलॉरिन (=मैकलारेन) श्रृंखला है (विस्तार बिंदु a=0 के आसपास होता है)

a=0 पर

श्रृंखला के सदस्यों का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है

टेलर श्रृंखला का उपयोग करने की शर्तें।

1. फ़ंक्शन f(x) को अंतराल (-R;R) पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसके लिए टेलर (मैकलॉरिन (=मैकलारेन)) सूत्र में शेष पद फ़ंक्शन निर्दिष्ट अंतराल (-R;R) पर k →∞ के रूप में शून्य हो जाता है।

2. यह आवश्यक है कि जिस बिंदु के आसपास हम टेलर श्रृंखला का निर्माण करने जा रहे हैं, उस बिंदु पर किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हों।

टेलर श्रृंखला के गुण.

यदि f एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, तो इसकी टेलर श्रृंखला f की परिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर a के कुछ पड़ोस में f में परिवर्तित हो जाती है।

ऐसे अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न कार्य हैं जिनकी टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन साथ ही ए के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन से भिन्न होती है। उदाहरण के लिए:

टेलर श्रृंखला का उपयोग बहुपदों द्वारा किसी फ़ंक्शन के सन्निकटन में किया जाता है (अनुमान एक वैज्ञानिक विधि है जिसमें कुछ वस्तुओं को दूसरों के साथ प्रतिस्थापित करना शामिल है, एक अर्थ में या मूल के करीब, लेकिन सरल)। विशेष रूप से, रैखिककरण ((रैखिक से - रैखिक), बंद गैर-रेखीय प्रणालियों के अनुमानित प्रतिनिधित्व के तरीकों में से एक, जिसमें एक गैर-रेखीय प्रणाली के अध्ययन को एक रैखिक प्रणाली के विश्लेषण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ अर्थों में मूल के बराबर .) टेलर श्रृंखला में विस्तार करके और पहले क्रम से ऊपर के सभी पदों को काटकर समीकरण बनते हैं।

इस प्रकार, लगभग किसी भी फ़ंक्शन को दी गई सटीकता के साथ बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=मैकलारेन, टेलर बिंदु 0 के आसपास) और टेलर बिंदु 1 के आसपास। टेलर और मैकलारेन श्रृंखला में मुख्य कार्यों के विस्तार की पहली शर्तें।

मैकलॉरिन श्रृंखला में शक्ति कार्यों के कुछ सामान्य विस्तार के उदाहरण (=बिंदु 0 के आसपास मैकलेरन, टेलर)

बिंदु 1 के आसपास कुछ सामान्य टेलर श्रृंखला विस्तार के उदाहरण

प्रिंसिपल इंटीग्रल जो हर छात्र को पता होना चाहिए

सूचीबद्ध अभिन्न अंग आधार हैं, मूल सिद्धांतों का आधार हैं। इन सूत्रों को जरूर याद रखना चाहिए. अधिक जटिल समाकलनों की गणना करते समय, आपको उनका लगातार उपयोग करना होगा।

सूत्र (5), (7), (9), (12), (13), (17) और (19) पर विशेष ध्यान दें। एकीकृत करते समय अपने उत्तर में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें!

एक स्थिरांक का अभिन्न अंग

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी (1)

पावर फ़ंक्शन को एकीकृत करना

वास्तव में, स्वयं को केवल सूत्रों (5) और (7) तक सीमित रखना संभव था, लेकिन इस समूह के बाकी अभिन्न अंग इतनी बार आते हैं कि उन पर थोड़ा ध्यान देना उचित है।

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

घातांकीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों का समाकलन

बेशक, सूत्र (8) (शायद याद रखने के लिए सबसे सुविधाजनक) को सूत्र (9) का एक विशेष मामला माना जा सकता है। अतिपरवलयिक ज्या और अतिपरवलयिक कोज्या के समाकलों के लिए सूत्र (10) और (11) आसानी से सूत्र (8) से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन इन संबंधों को केवल याद रखना बेहतर है।

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ एस एच एक्स डी एक्स = सी एच एक्स + सी (10)
∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी (11)

त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी अभिन्न अंग

एक गलती जो छात्र अक्सर करते हैं वह यह है कि वे सूत्र (12) और (13) में संकेतों को भ्रमित कर देते हैं। यह याद रखते हुए कि साइन का व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर है, किसी कारण से कई लोग मानते हैं कि फ़ंक्शन साइन का अभिन्न अंग कॉस के बराबर है। यह सच नहीं है! साइन का इंटीग्रल "माइनस कोसाइन" के बराबर है, लेकिन कॉसएक्स का इंटीग्रल "जस्ट साइन" के बराबर है:

∫ पाप x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = पाप x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 पाप 2 x d x = - c t g x + C (15)

समाकलन जो व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को कम करते हैं

सूत्र (16), जो चापस्पर्शज्या की ओर ले जाता है, स्वाभाविक रूप से a=1 के लिए सूत्र (17) का एक विशेष मामला है। इसी प्रकार, (18) (19) का एक विशेष मामला है।

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C (18)
∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0) (19)

अधिक जटिल अभिन्न अंग

इन सूत्रों को याद रखने की भी सलाह दी जाती है। इनका उपयोग भी अक्सर किया जाता है और इनका आउटपुट काफी थकाऊ होता है।

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0) (24)

एकीकरण के सामान्य नियम

1) दो फलनों के योग का समाकलन संगत समाकलनों के योग के बराबर होता है: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) दो कार्यों के अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के अंतर के बराबर है: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) स्थिरांक को पूर्णांक चिन्ह से निकाला जा सकता है: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

यह देखना आसान है कि गुण (26) केवल गुण (25) और (27) का संयोजन है।

4) एक जटिल फ़ंक्शन का अभिन्न अंग यदि आंतरिक फ़ंक्शन रैखिक है: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

यहां F(x) फ़ंक्शन f(x) के लिए एक प्रतिअवकलन है। कृपया ध्यान दें: यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब आंतरिक कार्य Ax + B हो।

महत्वपूर्ण: दो कार्यों के उत्पाद के अभिन्न अंग के साथ-साथ भिन्न के अभिन्न अंग के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (तीस)

बेशक, इसका मतलब यह नहीं है कि किसी अंश या उत्पाद को एकीकृत नहीं किया जा सकता है। बात बस इतनी है कि हर बार जब आप (30) जैसा कोई अभिन्न अंग देखते हैं, तो आपको उससे "लड़ने" का एक तरीका ईजाद करना होगा। कुछ मामलों में, भागों द्वारा एकीकरण आपकी मदद करेगा, अन्य में आपको चर में बदलाव करना होगा, और कभी-कभी "स्कूल" बीजगणित या त्रिकोणमिति सूत्र भी मदद कर सकते हैं।

अनिश्चितकालीन समाकलन की गणना का एक सरल उदाहरण

उदाहरण 1. अभिन्न खोजें: ∫ (3 x 2 + 2 पाप x - 7 e x + 12) d x

आइए हम सूत्र (25) और (26) का उपयोग करें (कार्यों के योग या अंतर का अभिन्न अंग संबंधित अभिन्नों के योग या अंतर के बराबर है। हम प्राप्त करते हैं: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 पाप x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 डी एक्स

आइए याद रखें कि स्थिरांक को अभिन्न चिह्न (सूत्र (27)) से बाहर निकाला जा सकता है। अभिव्यक्ति रूप में परिवर्तित हो जाती है

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ पाप x d x - 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

आइए अब बुनियादी अभिन्नों की तालिका का उपयोग करें। हमें सूत्र (3), (12), (8) और (1) लागू करने की आवश्यकता होगी। आइए पावर फ़ंक्शन, साइन, एक्सपोनेंशियल और स्थिरांक 1 को एकीकृत करें। अंत में एक मनमाना स्थिरांक C जोड़ना न भूलें:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

प्रारंभिक परिवर्तनों के बाद हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

एक्स 3 - 2 कॉस एक्स - 7 ई एक्स + 12 एक्स + सी

विभेदीकरण द्वारा स्वयं का परीक्षण करें: परिणामी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें और सुनिश्चित करें कि यह मूल इंटीग्रैंड के बराबर है।

अभिन्नों की सारांश तालिका

∫ ए डी एक्स = ए एक्स + सी

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | एक्स | +सी

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ ई एक्स डी एक्स = ई एक्स + सी

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ सी एच एक्स डी एक्स = एस एच एक्स + सी

∫ पाप x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = पाप x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 पाप 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 - x 2 d x = आर्क्सिन x + C = - आर्ककोस x + C

∫ 1 ए 2 - एक्स 2 डी एक्स = आर्क्सिन एक्स ए + सी = - आर्ककोस एक्स ए + सी (ए > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | +सी

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | +सी

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 आर्क्सिन x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 + ए 2 | + सी (ए > 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | एक्स + एक्स 2 − ए 2 | + सी (ए > 0)

इस लिंक से इंटीग्रल्स की तालिका (भाग II) डाउनलोड करें

यदि आप किसी विश्वविद्यालय में पढ़ रहे हैं, यदि आपको उच्च गणित (गणितीय विश्लेषण, रैखिक बीजगणित, संभाव्यता सिद्धांत, सांख्यिकी) में कठिनाई होती है, यदि आपको एक योग्य शिक्षक की सेवाओं की आवश्यकता है, तो एक उच्च गणित शिक्षक के पृष्ठ पर जाएँ। हम आपकी समस्याओं को मिलकर हल करेंगे!

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