फ़ंक्शन का ग्राफ़ y 2x। फ़ंक्शन ग्राफ़. निर्देशांक तल पर बिंदु आलेखित करना

आइए हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनें और भुज अक्ष पर तर्क के मानों को आलेखित करें एक्स, और कोर्डिनेट पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ(एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनके भुज फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।

दूसरे शब्दों में, फलन y = f (x) का ग्राफ समतल के सभी बिंदुओं, निर्देशांकों का समुच्चय है एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स).

चित्र में. 45 और 46 फ़ंक्शंस के ग्राफ़ दिखाते हैं y = 2x + 1और y = x 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का केवल अधिक या कम सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ़ नहीं, बल्कि केवल उसका भाग जो समतल के अंतिम भागों में स्थित है)। हालाँकि, आगे हम आम तौर पर "ग्राफ़ स्केच" के बजाय "ग्राफ़" कहेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बात एक्स = एफ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है वाई = एफ(एक्स), फिर संख्या ज्ञात करने के लिए एफ(ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) तुम्हें यह करना चाहिए। यह भुज बिंदु के माध्यम से आवश्यक है एक्स = एकोटि अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा खींचिए; यह रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ(एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी एफ(ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स) = एक्स 2 - 2एक्सग्राफ़ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फ़ंक्शन ग्राफ़ किसी फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन y = x 2 - 2xकब सकारात्मक मान लेता है एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए एफ(एक्स)आपको समतल के सभी बिंदु, निर्देशांक खोजने होंगे एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करता है वाई = एफ(एक्स). अधिकांश मामलों में, ऐसा करना असंभव है, क्योंकि ऐसे बिंदुओं की संख्या अनंत है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि सबसे सरल है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1, x 2, x 3,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें चयनित फ़ंक्शन मान शामिल हों।

तालिका इस प्रकार दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करके, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ(एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ(एक्स).

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु आलेखन विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, इच्छित बिंदुओं के बीच ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर उसका व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने के लिए वाई = एफ(एक्स)किसी ने तर्क और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पाँच बिंदु चित्र में दिखाए गए हैं। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है (बिंदीदार रेखा द्वारा चित्र 48 में दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे कथन को पुष्ट करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

.

गणना से पता चलता है कि बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान उपरोक्त तालिका द्वारा सटीक रूप से वर्णित हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक अन्य उदाहरण फ़ंक्शन होगा y = x + l + synπx;इसके अर्थ भी उपरोक्त तालिका में वर्णित हैं।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि अपने "शुद्ध" रूप में कई बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ़ बनाने की विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आमतौर पर निम्नानुसार आगे बढ़ना होता है। सबसे पहले, हम इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन करते हैं, जिसकी सहायता से हम ग्राफ़ का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिनकी पसंद फ़ंक्शन के स्थापित गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन के कुछ (सबसे सरल और सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले) गुणों को देखेंगे, लेकिन अब हम ग्राफ़ बनाने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों को देखेंगे।

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = |f(x)|

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = |एफ(एक्स)|, कहाँ एफ(एक्स) -दिया गया कार्य. आइए हम आपको याद दिलाएं कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या का निरपेक्ष मान परिभाषित करके हम लिख सकते हैं

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =|f(x)|ग्राफ़, फ़ंक्शन से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स)इस प्रकार: फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर सभी बिंदु वाई = एफ(एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-नकारात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ(एक्स)नकारात्मक निर्देशांक होने पर, आपको फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए y = -f(x)(अर्थात् फ़ंक्शन के ग्राफ़ का भाग
वाई = एफ(एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के चारों ओर सममित रूप से प्रतिबिंबित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2.फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x|

आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ लें वाई = एक्स(चित्र 50, ए) और इस ग्राफ का भाग एक्स< 0 (धुरी के नीचे लेटा हुआ एक्स) अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. परिणामस्वरूप, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ मिलता है y = |x|(चित्र 50, बी)।

उदाहरण 3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |x 2 - 2x|

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें y = x 2 - 2x.इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदु 0 और 2 पर काटता है। अंतराल में (0; 2) फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है y = |x 2 -2x|, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आधार पर y = x 2 - 2x

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = f(x) + g(x)

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने की समस्या पर विचार करें y = f(x) + g(x).यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ दिए गए हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र y = |f(x) + g(x)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, यानी परिभाषा का यह डोमेन परिभाषा के डोमेन, फ़ंक्शन f(x) का प्रतिच्छेदन है और जी(एक्स).

चलो अंक (x 0 , y 1) और (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शंस के ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स), यानी y 1 = एफ(एक्स 0), वाई 2 = जी(एक्स 0)।फिर बिंदु (x0;. y1 + y2) फ़ंक्शन के ग्राफ़ से संबंधित है वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)(के लिए एफ(एक्स 0) + जी(एक्स 0) = य 1 +y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कोई भी बिंदु वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है. इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स) + जी(एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ(एक्स). और वाई = जी(एक्स)प्रत्येक बिंदु को प्रतिस्थापित करना ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़िक्स वाई = एफ(एक्स)डॉट (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ आप 2 = जी(एक्स एन), यानी प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = एफ(एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 = जी(एक्स एन). इस मामले में, केवल ऐसे बिंदुओं पर विचार किया जाता है एक्स n जिसके लिए दोनों फ़ंक्शन परिभाषित हैं वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स).

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने की यह विधि y = f(x) + g(x) को फ़ंक्शंस के ग्राफ़ का जोड़ कहा जाता है वाई = एफ(एक्स)और वाई = जी(एक्स)

उदाहरण 4. चित्र में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि का उपयोग करके फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया गया था
y = x + synx.

किसी फ़ंक्शन की योजना बनाते समय y = x + synxहमने ऐसा सोचा एफ(एक्स) = एक्स,ए जी(एक्स) = सिनएक्स.फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम भुज -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। एफ(एक्स) = एक्स, जी(एक्स) = सिनएक्स, वाई = एक्स + सिनएक्सआइए चयनित बिंदुओं पर गणना करें और परिणामों को तालिका में रखें।

कभी-कभी कार्यों में बिल्कुल सामान्य फ़ंक्शन नहीं होते हैं, जहां फ़ंक्शन सूत्र में केवल "y" या केवल "x" होता है।

सवाल उठता है: " ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे बनाएं?».

याद करना!

"y = 7" और "x = 2" (फ़ंक्शन जहां केवल "y" या केवल "x" है) फॉर्म के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जो समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर है।

फ़ंक्शन "y = 7" का ग्राफ़ कैसे बनाएं

आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं. फ़ंक्शन "y = 7" पर विचार करें।

फ़ंक्शन सूत्र "y = 7" में केवल "y" है। इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "y = 7" के ग्राफ़ पर सभी बिंदुओं का "y" अक्ष के साथ एक निर्देशांक (ऑर्डिनेट) "7" के बराबर है।

फ़ंक्शन "x" का तर्क फ़ंक्शन "y = 7" के सूत्र में स्पष्ट रूप से अनुपस्थित है, लेकिन फिर भी "x", यद्यपि "अदृश्य रूप से", फ़ंक्शन में है और किसी भी संख्यात्मक मान को लेता है।

ऐसा कहने के साथ, आइए कुछ बिंदु खोजें ललित कलाएं
फ़ंक्शन "y = 7". आइए "x" के लिए तीन मनमाने संख्यात्मक मान चुनें। उदाहरण के लिए, संख्याएँ "1", "2" और "3"।

यदि हम फ़ंक्शन "y = 7" के ग्राफ़ के प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा मिलेगी जो "ऑक्स" अक्ष के समानांतर है।

फ़ंक्शन "x = 2" का ग्राफ़ कैसे बनाएं

फ़ंक्शंस जहां केवल "x" है, उन फ़ंक्शंस के समान सिद्धांत पर बनाए गए हैं जहां केवल "y" है, एकमात्र अंतर यह है कि अब हम "ऑक्स" अक्ष के साथ काम करते हैं।

आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं. फ़ंक्शन "x = 2" पर विचार करें।

फ़ंक्शन "x = 2" के सूत्र में केवल "x" है।

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन "x = 2" के ग्राफ़ पर सभी बिंदुओं का "x" अक्ष (एब्सिस्सा) के साथ समन्वय "2" के बराबर है।

फ़ंक्शन "y" का मान फ़ंक्शन "x = 2" में स्पष्ट रूप से अनुपस्थित है, लेकिन फिर भी "y" फ़ंक्शन में "अदृश्य रूप से" है और किसी भी संख्यात्मक मान को लेता है।

इतना कहने के साथ, आइए ग्राफ़ पर कुछ बिंदु खोजें
फ़ंक्शन "x = 2"।

आइए "y" के लिए तीन मनमाने संख्यात्मक मान चुनें। उदाहरण के लिए, संख्याएँ "1", "2" और "3"।

आइए समन्वय प्रणाली पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें।

यदि हम फ़ंक्शन "x = 2" के ग्राफ़ के प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा मिलेगी जो "ओय" अक्ष के समानांतर है।

"y = 7" और "x = 2" फॉर्म के कार्यों को प्लॉट करने के नियमों को कैसे याद रखें

"y = 7" और "x = 2" फॉर्म के फ़ंक्शन को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित नियम को याद रखें।

मॉड्यूल वाले फ़ंक्शंस के ग्राफ़ का निर्माण आमतौर पर स्कूली बच्चों के लिए काफी कठिनाइयों का कारण बनता है। हालाँकि, सब कुछ इतना बुरा नहीं है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कुछ एल्गोरिदम को याद रखना पर्याप्त है, और आप आसानी से सबसे जटिल फ़ंक्शन का ग्राफ़ भी बना सकते हैं। आइए जानें कि ये किस प्रकार के एल्गोरिदम हैं।

1. फ़ंक्शन y = |f(x)| का ग्राफ़ प्लॉट करना

ध्यान दें कि फ़ंक्शन मानों का सेट y = |f(x)| : y ≥ 0. इस प्रकार, ऐसे कार्यों के ग्राफ़ हमेशा पूरी तरह से ऊपरी आधे तल में स्थित होते हैं।

फ़ंक्शन y = |f(x)| का ग्राफ प्लॉट करना इसमें निम्नलिखित सरल चार चरण शामिल हैं।

1) सावधानीपूर्वक और सावधानी से फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ बनाएं।

2) ग्राफ़ पर 0x अक्ष के ऊपर या उस पर स्थित सभी बिंदुओं को अपरिवर्तित छोड़ दें।

3) ग्राफ़ के उस भाग को प्रदर्शित करें जो 0x अक्ष के नीचे स्थित है, 0x अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से।

उदाहरण 1. फलन y = |x 2 – 4x + 3| का एक ग्राफ बनाएं

1) हम फ़ंक्शन y = x 2 – 4x + 3 का एक ग्राफ़ बनाते हैं। जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। आइए निर्देशांक अक्षों और परवलय के शीर्ष के निर्देशांक के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के सभी बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें।

एक्स 2 – 4एक्स + 3 = 0.

एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 1.

इसलिए, परवलय 0x अक्ष को बिंदुओं (3, 0) और (1, 0) पर काटता है।

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

इसलिए, परवलय 0y अक्ष को बिंदु (0, 3) पर काटता है।

परवलय शीर्ष निर्देशांक:

x में = -(-4/2) = 2, y में = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

इसलिए, बिंदु (2, -1) इस परवलय का शीर्ष है।

प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके एक परवलय बनाएं (चित्र .1)

2) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ का भाग 0x अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

3) हमें मूल फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ मिलता है ( चावल। 2, बिंदीदार रेखा में दिखाया गया है)।

2. फ़ंक्शन प्लॉट करना y = f(|x|)

ध्यान दें कि फॉर्म y = f(|x|) के फ़ंक्शन सम हैं:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). इसका मतलब यह है कि ऐसे फ़ंक्शन के ग्राफ़ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं।

फ़ंक्शन y = f(|x|) का ग्राफ़ प्लॉट करने में क्रियाओं की निम्नलिखित सरल श्रृंखला शामिल होती है।

1) फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ़ बनाएं।

2) ग्राफ़ के उस भाग को छोड़ दें जिसके लिए x ≥ 0 है, अर्थात ग्राफ़ का वह भाग जो दाहिने आधे तल में स्थित है।

3) बिंदु (2) में निर्दिष्ट ग्राफ़ के भाग को 0y अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करें।

4) अंतिम ग्राफ़ के रूप में, बिंदु (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन का चयन करें।

उदाहरण 2. फ़ंक्शन y = x 2 – 4 · |x| का एक ग्राफ बनाएं +3

चूँकि x 2 = |x| 2, तो मूल फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है: y = |x| 2 – 4 · |x| +3. अब हम ऊपर प्रस्तावित एल्गोरिदम लागू कर सकते हैं।

1) हम सावधानीपूर्वक और सावधानीपूर्वक फ़ंक्शन y = x 2 – 4 x + 3 का ग्राफ़ बनाते हैं (यह भी देखें चावल। 1).

2) हम ग्राफ़ के उस भाग को छोड़ देते हैं जिसके लिए x ≥ 0 है, अर्थात ग्राफ़ का वह भाग जो दाहिने आधे तल में स्थित है।

3) ग्राफ़ के दाईं ओर को 0y अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करें।

(चित्र 3).

उदाहरण 3. फ़ंक्शन y = log 2 |x| का एक ग्राफ बनाएं

हम ऊपर दी गई योजना लागू करते हैं।

1) फ़ंक्शन y = log 2 x का एक ग्राफ़ बनाएं (चित्र 4).

3. फ़ंक्शन y = |f(|x|)| को प्लॉट करना

ध्यान दें कि फॉर्म y = |f(|x|)| के फ़ंक्शन सम भी हैं. दरअसल, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), और इसलिए, उनके ग्राफ़ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं। ऐसे कार्यों के मूल्यों का सेट: y ≥ 0. इसका मतलब यह है कि ऐसे फ़ंक्शंस के ग्राफ़ पूरी तरह से ऊपरी आधे तल में स्थित हैं।

फ़ंक्शन y = |f(|x|)| को प्लॉट करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) फ़ंक्शन y = f(|x|) का सावधानीपूर्वक ग्राफ़ बनाएं।

2) ग्राफ़ के उस भाग को अपरिवर्तित छोड़ दें जो 0x अक्ष के ऊपर या पर है।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ के भाग को 0x अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित करें।

4) अंतिम ग्राफ़ के रूप में, बिंदु (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन का चयन करें।

उदाहरण 4. फ़ंक्शन y = |-x 2 + 2|x| का एक ग्राफ बनाएं – 1|.

1) ध्यान दें कि x 2 = |x| 2. इसका मतलब है कि मूल फ़ंक्शन के बजाय y = -x 2 + 2|x| - 1

आप फ़ंक्शन y = -|x| का उपयोग कर सकते हैं 2 + 2|x| – 1, चूँकि उनके ग्राफ़ मेल खाते हैं।

हम एक ग्राफ y = -|x| बनाते हैं 2 + 2|x| – 1. इसके लिए हम एल्गोरिथम 2 का उपयोग करते हैं।

ए) फ़ंक्शन y = -x 2 + 2x - 1 का ग्राफ़ बनाएं (चित्र 6).

बी) हम ग्राफ़ के उस हिस्से को छोड़ देते हैं जो दाहिने आधे तल में स्थित है।

ग) हम ग्राफ़ के परिणामी भाग को 0y अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करते हैं।

घ) परिणामी ग्राफ चित्र में बिंदीदार रेखा में दिखाया गया है (चित्र 7).

2) 0x अक्ष के ऊपर कोई बिंदु नहीं है; हम 0x अक्ष पर बिंदुओं को अपरिवर्तित छोड़ते हैं।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ का भाग 0x के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

4) परिणामी ग्राफ़ को एक बिंदीदार रेखा के साथ चित्र में दिखाया गया है (चित्र 8).

उदाहरण 5. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) सबसे पहले आपको फ़ंक्शन y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) प्लॉट करना होगा। ऐसा करने के लिए, हम एल्गोरिथम 2 पर लौटते हैं।

a) फ़ंक्शन y = (2x – 4) / (x + 3) को सावधानीपूर्वक प्लॉट करें (चित्र 9).

ध्यान दें कि यह फलन भिन्नात्मक रैखिक है और इसका ग्राफ एक अतिपरवलय है। किसी वक्र को आलेखित करने के लिए, आपको सबसे पहले ग्राफ़ की अनंतस्पर्शी रेखाएँ ढूँढ़नी होंगी। क्षैतिज - y = 2/1 (अंश के अंश और हर में x के गुणांक का अनुपात), ऊर्ध्वाधर - x = -3।

2) हम ग्राफ़ के उस हिस्से को अपरिवर्तित छोड़ देंगे जो 0x अक्ष के ऊपर या उस पर है।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ का भाग 0x के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाएगा।

4) अंतिम ग्राफ चित्र में दिखाया गया है (चित्र 11).

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एक फ़ंक्शन ग्राफ़ एक समन्वय तल पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। ग्राफ़ आपको किसी फ़ंक्शन के विभिन्न पहलुओं को समझने में मदद करते हैं जिन्हें फ़ंक्शन से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। आप कई फ़ंक्शनों के ग्राफ़ बना सकते हैं, और उनमें से प्रत्येक को एक विशिष्ट सूत्र दिया जाएगा। किसी भी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक विशिष्ट एल्गोरिदम का उपयोग करके बनाया गया है (यदि आप किसी विशिष्ट फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने की सटीक प्रक्रिया भूल गए हैं)।

कदम

एक रेखीय फलन का रेखांकन

निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन रैखिक है।रैखिक फलन प्रपत्र के एक सूत्र द्वारा दिया जाता है F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)या y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(उदाहरण के लिए, ), और इसका ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। इस प्रकार, सूत्र में एक चर और एक अचर (स्थिर) बिना किसी घातांक, मूल चिह्न या उसके समान शामिल होता है। यदि समान प्रकार का कोई फ़ंक्शन दिया गया है, तो ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना काफी सरल है। यहां रैखिक कार्यों के अन्य उदाहरण दिए गए हैं:

Y अक्ष पर एक बिंदु को चिह्नित करने के लिए एक स्थिरांक का उपयोग करें।स्थिरांक (बी) उस बिंदु का "y" निर्देशांक है जहां ग्राफ़ Y अक्ष को काटता है, अर्थात, यह एक बिंदु है जिसका "x" निर्देशांक 0 के बराबर है। इस प्रकार, यदि x = 0 को सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है। , फिर y = b (स्थिर)। हमारे उदाहरण में y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)स्थिरांक 5 के बराबर है, अर्थात, Y अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0.5) हैं। इस बिंदु को निर्देशांक तल पर आलेखित करें।

रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए।यह चर के गुणक के बराबर है। हमारे उदाहरण में y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)चर "x" के साथ 2 का गुणनखंड है; इस प्रकार, ढलान गुणांक 2 के बराबर है। ढलान गुणांक एक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को निर्धारित करता है, यानी ढलान गुणांक जितना अधिक होगा, फ़ंक्शन उतनी ही तेजी से बढ़ता या घटता है।

ढलान को भिन्न के रूप में लिखें.कोणीय गुणांक झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, अर्थात, ऊर्ध्वाधर दूरी (एक सीधी रेखा पर दो बिंदुओं के बीच) और क्षैतिज दूरी (समान बिंदुओं के बीच) का अनुपात। हमारे उदाहरण में, ढलान 2 है, इसलिए हम बता सकते हैं कि ऊर्ध्वाधर दूरी 2 है और क्षैतिज दूरी 1 है। इसे भिन्न के रूप में लिखें: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• यदि ढलान ऋणात्मक है, तो फलन कम हो रहा है।

1. उस बिंदु से जहां सीधी रेखा Y अक्ष को काटती है, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दूरी का उपयोग करके एक दूसरा बिंदु प्लॉट करें। एक रैखिक फलन को दो बिंदुओं का उपयोग करके रेखांकन किया जा सकता है। हमारे उदाहरण में, Y अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0.5) हैं; इस बिंदु से, 2 स्थान ऊपर और फिर 1 स्थान दाईं ओर ले जाएँ। एक बिंदु चिह्नित करें; इसमें निर्देशांक (1,7) होंगे। अब आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं.

   रूलर का उपयोग करके, दो बिंदुओं से होकर एक सीधी रेखा खींचें।गलतियों से बचने के लिए, तीसरा बिंदु खोजें, लेकिन ज्यादातर मामलों में ग्राफ़ दो बिंदुओं का उपयोग करके बनाया जा सकता है। इस प्रकार, आपने एक रैखिक फलन आलेखित किया है।

   निर्देशांक तल पर बिंदु आलेखित करना

   1. किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करें.फ़ंक्शन को f(x) के रूप में दर्शाया गया है। वेरिएबल "y" के सभी संभावित मानों को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है, और वेरिएबल "x" के सभी संभावित मानों को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x+2, अर्थात् f(x) = x+2 पर विचार करें।

      दो प्रतिच्छेदी लम्ब रेखाएँ खींचिए।क्षैतिज रेखा X अक्ष है। ऊर्ध्वाधर रेखा Y अक्ष है।

      निर्देशांक अक्षों को लेबल करें।प्रत्येक अक्ष को समान खंडों में विभाजित करें और उन्हें क्रमांकित करें। अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु 0 है। एक्स अक्ष के लिए: सकारात्मक संख्याओं को दाईं ओर (0 से) और नकारात्मक संख्याओं को बाईं ओर प्लॉट किया जाता है। Y अक्ष के लिए: धनात्मक संख्याएँ शीर्ष पर (0 से) अंकित की जाती हैं, और ऋणात्मक संख्याएँ नीचे अंकित की जाती हैं।

      "x" के मान से "y" का मान ज्ञात कीजिये।हमारे उदाहरण में, f(x) = x+2. संबंधित y मानों की गणना करने के लिए इस सूत्र में विशिष्ट x मानों को प्रतिस्थापित करें। यदि कोई जटिल फलन दिया गया है, तो समीकरण के एक तरफ "y" को अलग करके इसे सरल बनाएं।

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. निर्देशांक तल पर बिंदुओं को आलेखित करें।निर्देशांक की प्रत्येक जोड़ी के लिए, निम्नलिखित कार्य करें: एक्स अक्ष पर संबंधित मान ढूंढें और एक लंबवत रेखा (बिंदीदार) खींचें; Y अक्ष पर संगत मान ज्ञात करें और एक क्षैतिज रेखा (धराशायी रेखा) खींचें। दो बिंदीदार रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें; इस प्रकार, आपने ग्राफ़ पर एक बिंदु अंकित कर लिया है।

      बिंदीदार रेखाएँ मिटाएँ.समन्वय तल पर ग्राफ़ के सभी बिंदुओं को आलेखित करने के बाद ऐसा करें। ध्यान दें: फ़ंक्शन f(x) = x का ग्राफ़ निर्देशांक केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है [निर्देशांक (0,0) वाला बिंदु]; ग्राफ़ f(x) = x + 2, रेखा f(x) = x के समानांतर एक रेखा है, लेकिन दो इकाइयों द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित हो गई है और इसलिए निर्देशांक (0,2) वाले बिंदु से गुजर रही है (क्योंकि स्थिरांक 2 है) .

   एक जटिल फ़ंक्शन का रेखांकन

   फ़ंक्शन के शून्य ज्ञात कीजिए.किसी फ़ंक्शन के शून्य x वेरिएबल के मान हैं जहां y = 0, अर्थात, ये वे बिंदु हैं जहां ग्राफ़ X-अक्ष को काटता है। ध्यान रखें कि सभी फ़ंक्शन में शून्य नहीं होते हैं, लेकिन वे पहले होते हैं किसी भी फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने की प्रक्रिया में चरण। किसी फ़ंक्शन का शून्य ज्ञात करने के लिए, इसे शून्य के बराबर करें। उदाहरण के लिए:

   क्षैतिज अनंतस्पर्शी खोजें और चिह्नित करें।एक अनंतस्पर्शी रेखा वह रेखा होती है जिस पर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ पहुंचता है लेकिन कभी प्रतिच्छेद नहीं करता है (अर्थात, इस क्षेत्र में फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है, उदाहरण के लिए, 0 से विभाजित करते समय)। अनंतस्पर्शी को बिंदीदार रेखा से चिह्नित करें। यदि चर "x" भिन्न के हर में है (उदाहरण के लिए, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), हर को शून्य पर सेट करें और "x" ढूंढें। वेरिएबल "x" के प्राप्त मानों में फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है (हमारे उदाहरण में, x = 2 और x = -2 के माध्यम से बिंदीदार रेखाएँ खींचें), क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते। लेकिन अनंतस्पर्शी न केवल उन मामलों में मौजूद होते हैं जहां फ़ंक्शन में भिन्नात्मक अभिव्यक्ति होती है। इसलिए, सामान्य ज्ञान का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है: