वृत्त क्या है? बच्चों के लिए ज्यामितीय आकृतियाँ। वृत्त आइए सीधे वृत्त की अवधारणा पर चलते हैं

वृत्त का आकार तंत्र-मंत्र, जादू और लोगों द्वारा इससे जुड़े प्राचीन अर्थों की दृष्टि से दिलचस्प है। हमारे आस-पास के सभी छोटे-छोटे घटकों - परमाणुओं और अणुओं - का आकार गोल है। सूर्य गोल है, चंद्रमा गोल है, हमारा ग्रह भी गोल है। पानी के अणु - सभी जीवित चीजों का आधार - का आकार भी गोल होता है। प्रकृति भी अपने जीवन को वृत्तों में निर्मित करती है। उदाहरण के लिए, आप एक पक्षी के घोंसले के बारे में याद कर सकते हैं - पक्षी भी इसे इसी रूप में बनाते हैं।

संस्कृतियों के प्राचीन विचारों में यह स्थान आता है

वृत्त एकता का प्रतीक है। यह विभिन्न संस्कृतियों में कई सूक्ष्म विवरणों में मौजूद है। हम इस स्वरूप को उतना महत्व भी नहीं देते जितना हमारे पूर्वज देते थे।

प्राचीन काल से ही वृत्त एक अंतहीन रेखा का प्रतीक रहा है, जो समय और अनंत काल का प्रतीक है। ईसाई-पूर्व काल में यह सूर्य के पहिये का प्राचीन चिन्ह था। सभी बिंदु समतुल्य हैं, वृत्त की रेखा का न तो आरंभ होता है और न ही अंत।

और वृत्त का केंद्र राजमिस्त्री के लिए स्थान और समय के अंतहीन घूर्णन का स्रोत था। फ्रीमेसन के अनुसार, वृत्त सभी आकृतियों का अंत है; यह अकारण नहीं है कि इसमें सृष्टि का रहस्य निहित था। घड़ी के डायल का आकार, जिसमें यह आकार भी है, प्रस्थान बिंदु पर अपरिहार्य वापसी को दर्शाता है।

इस आकृति में एक गहरी जादुई और रहस्यमय रचना है, जिसे विभिन्न संस्कृतियों के लोगों की कई पीढ़ियों ने संपन्न किया है। लेकिन ज्यामिति में एक आकृति के रूप में एक वृत्त क्या है?

वृत्त क्या है

वृत्त की अवधारणा को अक्सर वृत्त की अवधारणा के साथ भ्रमित किया जाता है। यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे आपस में बहुत घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं। यहां तक ​​कि उनके नाम भी एक जैसे हैं, जिससे स्कूली बच्चों के अपरिपक्व दिमाग में काफी भ्रम पैदा होता है। "कौन कौन है" का पता लगाने के लिए आइए इन प्रश्नों को अधिक विस्तार से देखें।

परिभाषा के अनुसार, वृत्त एक वक्र है जो बंद है, और जिसका प्रत्येक बिंदु एक बिंदु से समान दूरी पर है जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

आपको क्या जानने की आवश्यकता है और आप एक वृत्त बनाने के लिए किसका उपयोग कर सकते हैं

एक वृत्त का निर्माण करने के लिए, एक मनमाना बिंदु का चयन करना पर्याप्त है, जिसे O के रूप में नामित किया जा सकता है (अधिकांश स्रोतों में वृत्त के केंद्र को इसी तरह कहा जाता है, हम पारंपरिक संकेतन से विचलित नहीं होंगे)। अगला कदम कम्पास का उपयोग करना है - एक ड्राइंग टूल, जिसमें दो भाग होते हैं जिनमें से प्रत्येक में एक सुई या एक लेखन तत्व जुड़ा होता है।

ये दोनों भाग एक काज द्वारा एक दूसरे से जुड़े हुए हैं, जो आपको इन्हीं भागों की लंबाई से संबंधित कुछ सीमाओं के भीतर एक मनमाना त्रिज्या चुनने की अनुमति देता है। इस उपकरण की मदद से, कम्पास की नोक को एक मनमाना बिंदु O पर स्थापित किया जाता है, और एक वक्र पहले से ही एक पेंसिल के साथ रेखांकित किया जाता है, जो अंततः एक सर्कल में बदल जाता है।

वृत्त के आयाम क्या हैं?

यदि हम वृत्त के केंद्र और एक रूलर का उपयोग करके कम्पास के साथ काम करने के परिणामस्वरूप प्राप्त वक्र पर किसी भी मनमाने बिंदु को जोड़ते हैं, तो हमें ऐसे सभी खंड, जिन्हें त्रिज्या कहा जाता है, बराबर होंगे। यदि हम वृत्त और केंद्र पर दो बिंदुओं को एक रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, तो हमें इसका व्यास मिलता है।

एक वृत्त की पहचान उसकी लंबाई की गणना से भी की जाती है। इसे खोजने के लिए, आपको या तो वृत्त का व्यास या त्रिज्या जानना होगा और नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत सूत्र का उपयोग करना होगा।

इस सूत्र में, C परिधि है, r वृत्त की त्रिज्या है, d व्यास है, और Pi 3.14 के मान के साथ एक स्थिरांक है।

वैसे, स्थिरांक पाई की गणना वृत्त से ही की गई थी।

यह पता चला कि वृत्त का व्यास चाहे कुछ भी हो, परिधि और व्यास का अनुपात समान है, लगभग 3.14 के बराबर।

वृत्त और वृत्त के बीच मुख्य अंतर क्या है?

मूलतः, एक वृत्त एक रेखा है। यह कोई आकृति नहीं है, यह एक घुमावदार बंद रेखा है जिसका न तो अंत है और न ही शुरुआत। और उसके अंदर जो स्थान स्थित है वह शून्यता है। वृत्त का सबसे सरल उदाहरण एक घेरा या, दूसरे शब्दों में, एक हुला हूप है, जिसका उपयोग बच्चे शारीरिक शिक्षा कक्षाओं में करते हैं या वयस्क पतली कमर बनाने के लिए करते हैं।

अब हम इस अवधारणा पर आते हैं कि वृत्त क्या है। यह सबसे पहले एक आकृति है, अर्थात, एक रेखा से घिरे बिंदुओं का एक निश्चित समूह। एक वृत्त के मामले में, यह रेखा ऊपर चर्चा किया गया वृत्त है। इससे पता चलता है कि वृत्त एक ऐसा वृत्त है जिसके बीच में खालीपन नहीं है, बल्कि अंतरिक्ष में कई बिंदु हैं। यदि हम हुला हूप के ऊपर कपड़ा फैलाते हैं, तो हम उसे घुमा नहीं पाएंगे, क्योंकि यह अब एक वृत्त नहीं रहेगा - इसके खालीपन को कपड़े, जगह के एक टुकड़े से बदल दिया जाता है।

आइए सीधे वृत्त की अवधारणा पर चलते हैं

वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जो एक वृत्त से घिरे हुए समतल का भाग है। इसकी विशेषता त्रिज्या और व्यास जैसी अवधारणाएं भी हैं, जिनकी चर्चा एक वृत्त को परिभाषित करते समय ऊपर की गई है। और उनकी गणना बिल्कुल उसी तरीके से की जाती है। एक वृत्त की त्रिज्या और एक वृत्त की त्रिज्या आकार में समान होती है। तदनुसार, व्यास की लंबाई भी दोनों मामलों में समान है।

चूँकि वृत्त एक समतल का भाग है, इसलिए इसकी विशेषता क्षेत्रफल की उपस्थिति है। आप त्रिज्या और पाई का उपयोग करके इसकी दोबारा गणना कर सकते हैं। सूत्र इस तरह दिखता है (नीचे चित्र देखें)।

इस सूत्र में, S क्षेत्रफल है, r वृत्त की त्रिज्या है। पाई फिर से वही स्थिरांक है, 3.14 के बराबर।

वृत्त सूत्र, जिसकी गणना व्यास का उपयोग करके भी की जा सकती है, बदलता है और निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए रूप को लेता है।

एक-चौथाई इस तथ्य से आता है कि त्रिज्या 1/2 व्यास है। यदि त्रिज्या का वर्ग किया जाता है, तो यह पता चलता है कि संबंध इस रूप में बदल जाता है:

आर*आर = 1/2*डी*1/2*डी;

वृत्त एक आकृति है जिसमें अलग-अलग हिस्सों, उदाहरण के लिए एक सेक्टर, को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। यह एक वृत्त के भाग जैसा दिखता है, जो एक चाप खंड और केंद्र से खींची गई इसकी दो त्रिज्याओं द्वारा सीमित है।

वह सूत्र जो आपको किसी दिए गए सेक्टर के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है, नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है।

बहुभुज समस्याओं में आकृतियों का उपयोग करना

इसके अलावा, वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जिसका उपयोग अक्सर अन्य आकृतियों के साथ संयोजन में किया जाता है। उदाहरण के लिए, जैसे कि त्रिभुज, समलंब, वर्ग या समचतुर्भुज। अक्सर ऐसी समस्याएँ होती हैं जहाँ आपको एक अंकित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है या, इसके विपरीत, एक निश्चित आकृति के चारों ओर घिरा हुआ।

एक उत्कीर्ण वृत्त वह है जो बहुभुज के सभी पक्षों को छूता है। वृत्त का किसी भी बहुभुज की प्रत्येक भुजा से संपर्क बिंदु होना चाहिए।

एक निश्चित प्रकार के बहुभुज के लिए, अंकित वृत्त की त्रिज्या का निर्धारण अलग-अलग नियमों के अनुसार किया जाता है, जिन्हें ज्यामिति पाठ्यक्रम में स्पष्ट रूप से समझाया गया है।

हम उनमें से कुछ को उदाहरण के तौर पर उद्धृत कर सकते हैं। बहुभुजों में अंकित वृत्त के सूत्र की गणना निम्नानुसार की जा सकती है (नीचे फोटो में कई उदाहरण दिखाए गए हैं)।

वृत्त और वृत्त के बीच अंतर की आपकी समझ को सुदृढ़ करने के लिए वास्तविक जीवन के कुछ सरल उदाहरण

हमारे सामने यदि यह खुला है, तो हैच का लोहे का किनारा एक चक्र है। यदि यह बंद है तो ढक्कन एक गोले की तरह काम करता है।

वृत्त को कोई अंगूठी भी कहा जा सकता है - सोना, चाँदी या आभूषण। वह अंगूठी जिसमें चाबियों का गुच्छा होता है, वह भी एक चक्र है।

लेकिन रेफ्रिजरेटर पर एक गोल चुंबक, एक प्लेट या दादी द्वारा पकाए गए पैनकेक एक सर्कल हैं।

किसी बोतल या जार की गर्दन ऊपर से देखने पर एक वृत्त दिखाई देती है, लेकिन इस गर्दन को बंद करने वाला ढक्कन ऊपर से देखने पर एक वृत्त दिखाई देता है।

ऐसे कई उदाहरण हैं जो दिए जा सकते हैं, और ऐसी सामग्री को आत्मसात करने के लिए, उन्हें दिए जाने की आवश्यकता है ताकि बच्चे सिद्धांत और व्यवहार के बीच संबंध को बेहतर ढंग से समझ सकें।

क्या वास्तव में हमारे चारों ओर ऐसी कई वस्तुएं हैं जो ज्यामितीय आकृतियों की तरह दिखती हैं? हाँ, यह सच है! विशेष रूप से, उनमें से कई का आकार एक वृत्त जैसा है। उदाहरण के लिए, एक सर्कस का मैदान, एक पैन के नीचे, हम इसे आसानी से कपड़े या कार्डबोर्ड से काट सकते हैं।

आइए विचार करें कि वृत्त क्या है

एक आकृति जो एक वृत्त से घिरी हुई है। इसका एक केंद्र है, इसलिए केंद्र से वृत्त तक स्थित सभी बिंदु वृत्त के तल हैं। किसी वृत्त की त्रिज्या उसके केंद्र से परिधि तक की दूरी है।

बहुत से लोग वृत्त और वृत्त क्या हैं, इसके बीच अंतर नहीं करते हैं। यदि हम एक गिलास पर घेरा बनाते हैं तो हम एक वृत्त बना सकते हैं, और हम इसे धागे से भी बना सकते हैं। समतल के सभी बिंदु जो किसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं, एक आकृति बनाते हैं जिसे वृत्त कहा जाता है। यदि हम किसी वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ते हैं, तो हमें एक खंड मिलता है जिसे जीवा कहते हैं। यदि जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, तो हम इसे व्यास कहेंगे, जो दो त्रिज्याओं के बराबर है। वृत्त को दो त्रिज्याओं का उपयोग करके सेक्टरों में विभाजित किया जा सकता है। और एक राग एक वृत्त को खंडों में विभाजित करता है।

चारों ओर देखो! और आप अपने चारों ओर एक वृत्त और एक वृत्त देखेंगे! आपको बस थोड़ी सी कल्पना की जरूरत है।

आज हम चिकन बनाएंगे. चिकन किस रंग का है? यह सही है, पीला. सभी वृत्तों में से केवल पीले वृत्तों का चयन करें। फिर नीले वृत्तों और हरे वृत्तों को अलग-अलग रख दें।

सबसे पहले, हम बस चिकन को बिना गोंद के कागज पर बिछा देते हैं ताकि बच्चे को समझ में आ जाए कि हम क्या कर रहे हैं, इससे गोंद के साथ काम करते समय गलतियों से बचने में भी मदद मिलेगी।

बड़ा पीला घेरा मुर्गे का शरीर होगा। हम इसे कहां रखें? (हम बच्चे को स्वयं कागज के एक टुकड़े पर जगह चुनने के लिए आमंत्रित करते हैं)।

छोटा वृत्त सिर होगा. हमारे मुर्गे का सिर कहाँ होगा? (बच्चे को फिर से वह स्थान चुनने दें जिसमें मुर्गी देखेगी: ऊपर आकाश और सूरज की ओर या नीचे घास की ओर, हो सकता है कि वह अनाज को चोंच मारे। बच्चे को कल्पना करने में मदद करें, विकल्प प्रदान करें। आप छोटों को दे सकते हैं एक संकेत, सलाह, लेकिन जिद न करें, उसे अपनी पसंद खुद बनाने दें)

छोटा काला घेरा कहाँ है? यह आंख होगी. एक छोटा त्रिकोण चोंच है, दो समान त्रिकोण पंजे हैं। आकृतियों को उनके स्थान पर रखें।

हमारे मुर्गे में क्या कमी है? यह सही है, पंख! हमारे पास 2 और पीले घेरे हैं, हम एक को एक तरफ रख देंगे - यह सूरज होगा, और दूसरे से हम पंख बनाएंगे। आप एक वृत्त से दो पंख बनाने के बारे में क्या सोचते हैं? (तीन साल के बच्चे इसे संभाल सकते हैं। बच्चे को वृत्त को अपने हाथों में पकड़ने दें, उसे घुमाएं, कागज पर लगाएं, शायद वह उत्तर दे देगा)।

हम गोले को आधा काट देंगे। ऐसा करने के लिए, आइए वृत्त का केंद्र ज्ञात करें। वृत्त का केंद्र (मध्य) कहाँ है? (आप बच्चे को एक पेंसिल दे सकते हैं और शीट के पीछे (रंगीन नहीं!) किनारे पर केंद्र ढूंढने और चिह्नित करने की पेशकश कर सकते हैं। भले ही बिंदु केंद्र में नहीं है, लेकिन कहीं पास में है, यह ठीक है, बच्चे की प्रशंसा करें! यदि बच्चा छोटा है, तो प्रत्येक क्रिया को समझाते हुए, स्वयं ही सब कुछ करें)।

अब हम केंद्र से होकर एक सीधी रेखा खींचेंगे, जो वृत्त को आधे में विभाजित कर देगी। इस रेखा के साथ हम अपने वृत्त को दो भागों में काटेंगे। आपको दो पंख मिलते हैं (बच्चे द्वारा बताए गए बिंदु (केंद्र) को काटना सुनिश्चित करें, सबसे पहले, बच्चे को लगेगा कि उसकी राय आपके लिए महत्वपूर्ण है और आप उसकी बात सुनते हैं, और दूसरी बात, तालियाँ अधिक कलात्मक होंगी)

बड़े बच्चों के लिए एक पाठ के दौरान, आप समझा सकते हैं कि अर्धवृत्त क्या है (या इस आकृति को याद रखें)

हमें जो आकृतियाँ मिलीं उन्हें देखें। इस आकृति को अर्धवृत्त कहा जाता है। आधा वृत्त - अर्धवृत्त (कई बार दोहराएं और नाम दोहराने का सुझाव दें)
हमारे मुर्गे के पंख कहाँ होंगे?

चिकन को कागज पर बिछा दिया गया था, अब आप इसे गोंद कर सकते हैं।

चिकन तैयार है.

आइए बड़े हरे घेरे (या 1 घेरा) लें - यह हमारी घास होगी। आप एक गोले से घास बनाने के बारे में क्या सोचते हैं? यह सही है, फिर से आधा काटें (हम पंखों के साथ चरणों को दोहराते हैं: बच्चे को केंद्र को चिह्नित करने दें, काटें और नीचे चिपका दें)। घास को अधिक प्राकृतिक बनाने के लिए, आप गोलाकार किनारे पर छोटे-छोटे कट बना सकते हैं।

सूरज को आसमान से चिपका दो.

बादल विभिन्न तरीकों से बनाये जा सकते हैं:

1. एक बादल बनाते हुए, अतिव्यापी हलकों को गोंद दें। वृत्तों के विभिन्न आकार बादल के आकार को और अधिक प्राकृतिक बना देंगे।
2. गोलों को आधा काटें और उन्हें ओवरलैप भी करें।

हमने इसे अलग तरीके से किया: पोला सर्कल को आधे में मोड़ना चाहता था और सर्कल के केवल एक आधे हिस्से को गोंद करना चाहता था। हम पहले ही इस तरह से अन्य शिल्प बना चुके हैं और उन्हें यह विकल्प पसंद आया।

जब कागज पूरी तरह से सूख जाए, तो आप पेंसिल से घास पर सूरज की किरणें और फूल बनाना समाप्त कर सकते हैं। आप इसे प्लास्टिसिन से कर सकते हैं। बच्चे को अपने लिए चयन करने दें।

और घेरा- ज्यामितीय आकृतियाँ आपस में जुड़ी हुई। एक सीमा टूटी हुई रेखा (वक्र) है घेरा,

परिभाषा। वृत्त एक बंद वक्र है, जिसका प्रत्येक बिंदु वृत्त का केंद्र कहे जाने वाले बिंदु से समान दूरी पर होता है।

एक वृत्त बनाने के लिए, एक मनमाना बिंदु O का चयन किया जाता है, जिसे वृत्त के केंद्र के रूप में लिया जाता है, और एक कम्पास का उपयोग करके एक बंद रेखा खींची जाती है।

यदि वृत्त के केंद्र का बिंदु O वृत्त पर मनमाने बिंदुओं से जुड़ा है, तो सभी परिणामी खंड एक दूसरे के बराबर होंगे, और ऐसे खंडों को रेडी कहा जाता है, जिसे लैटिन छोटे या बड़े अक्षर "एर" द्वारा संक्षिप्त किया जाता है। आरया आर). आप एक वृत्त में उतनी ही त्रिज्याएँ खींच सकते हैं जितने वृत्त की लंबाई में बिंदु हैं।

वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला और उसके केंद्र से गुजरने वाला खंड व्यास कहलाता है। व्यासदो से मिलकर बनता है त्रिज्या, एक ही सीधी रेखा पर लेटा हुआ। व्यास को लैटिन छोटे या बड़े अक्षर "डी" द्वारा दर्शाया गया है ( डीया डी).

नियम। व्यासएक वृत्त उसके दो के बराबर होता है त्रिज्या.

डी = 2आर
डी=2आर

वृत्त की परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है और यह वृत्त की त्रिज्या (व्यास) पर निर्भर करती है। सूत्र में संख्या ¶ शामिल है, जो दर्शाती है कि परिधि उसके व्यास से कितनी गुना अधिक है। संख्या ¶ में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है। गणना के लिए ¶ = 3.14 लिया गया।

एक वृत्त की परिधि को लैटिन के बड़े अक्षर "tse" ( सी). वृत्त की परिधि उसके व्यास के समानुपाती होती है। किसी वृत्त की त्रिज्या और व्यास के आधार पर उसकी परिधि की गणना करने के सूत्र:

सी = ¶डी
सी = 2¶r

• उदाहरण
• दिया गया है: d = 100 सेमी.
• परिधि: C=3.14*100cm=314cm
• दिया गया: d = 25 मिमी।
• परिधि: सी = 2 * 3.14 * 25 = 157 मिमी

वृत्ताकार छेदक और वृत्ताकार चाप

प्रत्येक छेदक (सीधी रेखा) एक वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है और इसे दो चापों में विभाजित करती है। एक वृत्त के चाप का आकार केंद्र और छेदक के बीच की दूरी पर निर्भर करता है और इसे वृत्त के साथ छेदक के प्रतिच्छेदन के पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक एक बंद वक्र के साथ मापा जाता है।

आर्क्सवृत्त विभाजित हैं काटनेवालायदि छेदक व्यास के साथ मेल नहीं खाता है, तो एक बड़े और एक छोटे चाप में, और यदि छेदक वृत्त के व्यास के साथ गुजरता है, तो दो समान चाप में।

यदि कोई छेदक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है, तो वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच स्थित उसका खंड वृत्त का व्यास, या वृत्त की सबसे बड़ी जीवा है।

छेदक वृत्त के केंद्र से जितना दूर स्थित होता है, वृत्त के छोटे चाप की डिग्री माप उतनी ही कम होती है और वृत्त का बड़ा चाप उतना ही बड़ा होता है, और छेदक का खंड, जिसे कहा जाता है तार, जैसे-जैसे छेदक वृत्त के केंद्र से दूर जाता है, घटता जाता है।

परिभाषा। वृत्त वृत्त के अंदर स्थित समतल का एक भाग है।

किसी वृत्त का केंद्र, त्रिज्या और व्यास एक साथ संबंधित वृत्त का केंद्र, त्रिज्या और व्यास होते हैं।

चूँकि वृत्त एक समतल का हिस्सा है, इसका एक पैरामीटर क्षेत्रफल है।

नियम। एक वृत्त का क्षेत्रफल ( एस) त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल के बराबर है ( र 2) संख्या ¶ तक.

• उदाहरण
• दिया गया है: r = 100 सेमी
• एक वृत्त का क्षेत्रफल:
• एस = 3.14 * 100 सेमी * 100 सेमी = 31,400 सेमी 2 ≈ 3 मीटर 2
• दिया गया: d = 50 मिमी
• एक वृत्त का क्षेत्रफल:
• एस = ¼ * 3.14 * 50 मिमी * 50 मिमी = 1,963 मिमी 2 ≈ 20 सेमी 2

यदि आप एक वृत्त में दो त्रिज्याएँ वृत्त के विभिन्न बिंदुओं पर खींचते हैं, तो वृत्त के दो भाग बनते हैं, जिन्हें कहा जाता है क्षेत्रों. यदि आप किसी वृत्त में एक जीवा खींचते हैं, तो चाप और जीवा के बीच के समतल भाग को कहा जाता है वृत्त खंड.

घेरा एक सपाट बंद रेखा है, जिसके सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (बिंदु O) से समान दूरी पर हैं, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है।
(वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से निश्चित दूरी पर स्थित सभी बिंदु शामिल होते हैं।)

घेरा एक वृत्त द्वारा सीमित समतल का एक भाग है बिंदु O को वृत्त का केंद्र भी कहा जाता है।

वृत्त के एक बिंदु से उसके केंद्र की दूरी, साथ ही वृत्त के केंद्र को उसके बिंदु से जोड़ने वाले खंड को त्रिज्या कहा जाता है वृत्त/वृत्त.
देखें कि वृत्त और परिधि का उपयोग हमारे जीवन, कला, डिज़ाइन में कैसे किया जाता है।

कॉर्ड - ग्रीक - एक डोरी जो किसी चीज को एक साथ बांधती है
व्यास - "के माध्यम से माप"

गोल आकार

कोण लगातार बढ़ती मात्रा में हो सकते हैं और, तदनुसार, एक बढ़ती हुई मोड़ प्राप्त कर सकते हैं - जब तक कि वे पूरी तरह से गायब न हो जाएं और विमान एक वृत्त न बन जाए।यह एक बहुत ही सरल और साथ ही बहुत जटिल मामला है, जिसके बारे में मैं विस्तार से बात करना चाहूंगा। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सरलता और जटिलता दोनों ही कोणों की अनुपस्थिति के कारण हैं। वृत्त सरल है क्योंकि आयताकार आकृतियों की तुलना में इसकी सीमाओं का दबाव समतल है - यहाँ अंतर इतना बड़ा नहीं है। यह जटिल है क्योंकि शीर्ष अदृश्य रूप से बाएँ और दाएँ में प्रवाहित होता है, और बाएँ और दाएँ नीचे में।

वी. कैंडिंस्की

प्राचीन ग्रीस में, वृत्त और परिधि को पूर्णता का मुकुट माना जाता था। दरअसल, प्रत्येक बिंदु पर वृत्त को उसी तरह से व्यवस्थित किया जाता है, जो उसे अपने आप चलने की अनुमति देता है। वृत्त की इस संपत्ति ने पहिये को संभव बनाया, क्योंकि पहिये का धुरा और हब हर समय संपर्क में रहना चाहिए।

स्कूल में वृत्त के कई उपयोगी गुणों का अध्ययन किया जाता है। सबसे सुंदर प्रमेयों में से एक निम्नलिखित है: आइए हम एक दिए गए बिंदु से होकर एक रेखा खींचते हैं जो दिए गए वृत्त को काटती है, फिर इस बिंदु से लेकर इस बिंदु तक की दूरी का गुणनफल एक सीधी रेखा वाले वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु इस बात पर निर्भर नहीं करते कि सीधी रेखा कैसे खींची गई थी। यह प्रमेय लगभग दो हजार वर्ष पुराना है।

चित्र में. चित्र 2 में दो वृत्त और वृत्तों की एक श्रृंखला दिखाई गई है, जिनमें से प्रत्येक इन दो वृत्तों और श्रृंखला में दो पड़ोसियों को छूता है। स्विस जियोमीटर जैकब स्टीनर ने लगभग 150 साल पहले निम्नलिखित कथन को सिद्ध किया था: यदि श्रृंखला तीसरे सर्कल की एक निश्चित पसंद के लिए बंद है, तो यह तीसरे सर्कल की किसी अन्य पसंद के लिए बंद हो जाएगी। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि श्रृंखला को एक बार बंद नहीं किया गया तो यह तीसरे चक्र के किसी भी विकल्प के लिए बंद नहीं होगी। चित्रकारी करने वाले कलाकार कोचित्रित श्रृंखला, किसी को इसे कार्यान्वित करने के लिए कड़ी मेहनत करनी होगी, या पहले दो वृत्तों के स्थान की गणना करने के लिए किसी गणितज्ञ की ओर रुख करना होगा, जिस पर श्रृंखला बंद है।

हमने सबसे पहले पहिए का जिक्र किया, लेकिन पहिए से पहले भी लोग गोल लट्ठों का इस्तेमाल करते थे- भारी भार के परिवहन के लिए रोलर्स।

क्या गोल के अलावा किसी अन्य आकार के रोलर्स का उपयोग करना संभव है? जर्मनइंजीनियर फ्रांज रेलो ने पाया कि रोलर्स, जिसका आकार चित्र में दिखाया गया है, में समान गुण होते हैं। 3. यह आकृति एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर केंद्र वाले वृत्तों के चाप खींचकर, दो अन्य शीर्षों को जोड़कर प्राप्त की जाती है। यदि हम इस आकृति पर दो समांतर स्पर्शरेखाएँ खींचते हैं, तो उनके बीच की दूरी होती हैवे मूल समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई के बराबर होंगे, इसलिए ऐसे रोलर्स गोल रोलर्स से भी बदतर नहीं हैं। बाद में, अन्य आकृतियों का आविष्कार किया गया जो रोलर्स के रूप में काम कर सकती थीं।

एंज. "मैं दुनिया का अन्वेषण करता हूँ। गणित", 2006

प्रत्येक त्रिभुज में, और इसके अलावा, केवल एक ही है, नौ बिंदु वृत्त. यहएक वृत्त निम्नलिखित तीन त्रिक बिंदुओं से होकर गुजरता है, जिनकी स्थिति त्रिभुज के लिए निर्धारित की जाती है: इसकी ऊंचाईयों के आधार D1 D2 और D3, इसकी माध्यिकाओं के आधार D4, D5 और D6सीधे खंडों के D7, D8 और D9 के मध्यबिंदु इसकी ऊंचाई H के प्रतिच्छेदन बिंदु से इसके शीर्ष तक।

यह वृत्त, 18वीं शताब्दी में पाया गया। महान वैज्ञानिक एल. यूलर द्वारा (यही कारण है कि इसे अक्सर यूलर सर्कल भी कहा जाता है), अगली शताब्दी में जर्मनी में एक प्रांतीय व्यायामशाला के एक शिक्षक द्वारा फिर से खोजा गया था। इस शिक्षक का नाम कार्ल फ्यूरबैक था (वे प्रसिद्ध दार्शनिक लुडविग फ्यूरबैक के भाई थे)।इसके अतिरिक्त, के. फ़्यूरबैक ने पाया कि नौ बिंदुओं वाले एक वृत्त में चार और बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए त्रिभुज की ज्यामिति से निकटता से संबंधित होते हैं। ये एक विशेष प्रकार के चार वृत्तों से इसके संपर्क के बिंदु हैं। इनमें से एक वृत्त अंकित है, अन्य तीन बाह्य वृत्त हैं। वे त्रिभुज के कोनों में अंकित हैं और बाह्य रूप से इसके किनारों को छूते हैं। नौ बिंदु D10, D11, D12 और D13 वाले वृत्त वाले इन वृत्तों के स्पर्श बिंदु को फ्यूरबैक बिंदु कहा जाता है। इस प्रकार, नौ बिंदुओं का वृत्त वास्तव में तेरह बिंदुओं का वृत्त है।

यदि आप इसके दो गुणों को जानते हैं तो इस वृत्त का निर्माण करना बहुत आसान है। सबसे पहले, नौ बिंदुओं के वृत्त का केंद्र त्रिभुज के परिचालित वृत्त के केंद्र को बिंदु H - इसके लंबकेंद्र (इसकी ऊंचाई के प्रतिच्छेदन बिंदु) से जोड़ने वाले खंड के मध्य में स्थित है। दूसरे, किसी दिए गए त्रिभुज की त्रिज्या उसके चारों ओर घिरे वृत्त की त्रिज्या के आधे के बराबर होती है।

एंज. युवा गणितज्ञों के लिए संदर्भ पुस्तक, 1989