Tabla de funciones matemáticas antiderivadas. Función antiderivada e integral indefinida. Funciones logarítmicas y = log a x

Integración directa mediante la tabla de antiderivadas (tabla de integrales indefinidas)

Tabla de antiderivadas

Podemos encontrar la primitiva a partir de un diferencial conocido de una función si usamos las propiedades de la integral indefinida. De la tabla de funciones elementales básicas, usando las igualdades ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C y ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x podemos hacer una tabla de antiderivadas.

Escribamos la tabla de derivadas en forma de diferenciales.

Constante y = C "C" = 0 Función de potencia y = x p. (x p) " = p x p - 1	Constante y = C re(C) = 0 rex Función de potencia y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Función exponencial y = a x. d (a x) = a x ln α d x En particular, para a = e tenemos y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Funciones logarítmicas y = log a x . d (log a x) = d x x ln a En particular, para a = e tenemos y = ln x d (lnx) = dxx
Funciones trigonométricas. sen x " = cos x (cos x) " = - sen x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sen 2 x	Funciones trigonométricas. d sen x = cos x · d x d (cos x) = - sen x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sen 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Funciones trigonométricas inversas. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ilustremos lo anterior con un ejemplo. Encontremos la integral indefinida de la función potencia f (x) = x p.

Según la tabla de diferenciales d(x p) = p · x p - 1 · d x. Por las propiedades de la integral indefinida tenemos ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Por lo tanto, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. La segunda versión de la entrada es la siguiente: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Tómelo igual a - 1 y encontremos el conjunto de primitivas de la función potencia f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Ahora necesitamos una tabla de diferenciales para el logaritmo natural d (ln x) = d x x, x > 0, por lo tanto ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Por lo tanto ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabla de antiderivadas (integrales indefinidas)

La columna de la izquierda de la tabla contiene fórmulas que se denominan antiderivadas básicas. Las fórmulas de la columna de la derecha no son básicas, pero pueden usarse para encontrar integrales indefinidas. Se pueden comprobar por diferenciación.

Integración directa

Para realizar la integración directa usaremos tablas de antiderivadas, reglas de integración ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, así como propiedades de integrales indefinidas ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

La tabla de integrales básicas y propiedades de las integrales sólo se puede utilizar después de una fácil transformación del integrando.

Ejemplo 1

Encontremos la integral ∫ 3 sen x 2 + cos x 2 2 d x

Solución

Eliminamos el coeficiente 3 de debajo del signo integral:

∫ 3 sen x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sen x 2 + cos x 2 2 d x

Usando fórmulas de trigonometría, transformamos la función integrando:

3 ∫ sen x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sen x 2 2 + 2 sen x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sen x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + pecado x d x

Dado que la integral de la suma es igual a la suma de las integrales, entonces
3 ∫ 1 + sen x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sen x d x

Usamos los datos de la tabla de antiderivadas: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = vacío 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Respuesta:∫ 3 pecado x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Ejemplo 2

Es necesario encontrar el conjunto de primitivas de la función f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Solución

Usamos la tabla de antiderivadas para la función exponencial: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Esto significa que ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Usamos la regla de integración ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Obtenemos ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Respuesta: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Usando la tabla de primitivas, propiedades y la regla de integración, podemos encontrar muchas integrales indefinidas. Esto es posible en los casos en los que es posible transformar el integrando.

Para encontrar la integral de la función logaritmo, funciones tangentes y cotangentes, y muchas otras, se utilizan métodos especiales, que consideraremos en la sección "Métodos básicos de integración".

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Enumeremos las integrales de funciones elementales, que a veces se denominan tabulares:

Cualquiera de las fórmulas anteriores se puede probar tomando la derivada del lado derecho (el resultado será el integrando).

Métodos de integración

Veamos algunos métodos de integración básicos. Éstas incluyen:

1. Método de descomposición(integración directa).

Este método se basa en el uso directo de integrales tabulares, así como en el uso de las propiedades 4 y 5 de la integral indefinida (es decir, quitar el factor constante entre paréntesis y/o representar el integrando como una suma de funciones - descomposición del integrando en términos).

Ejemplo 1. Por ejemplo, para encontrar(dx/x 4) puedes usar directamente la integral de tabla parax n dx. De hecho,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Ejemplo 2. Para encontrarlo usamos la misma integral:

Ejemplo 3. Para encontrarlo necesitas tomar

Ejemplo 4. Para encontrar, representamos la función integrando en la forma y use la integral de tabla para la función exponencial:

Consideremos el uso de corchetes como un factor constante.

Ejemplo 5.Encontremos, por ejemplo . Considerando eso, obtenemos

Ejemplo 6. Lo encontraremos. Porque el , usemos la integral de tabla Obtenemos

En los dos ejemplos siguientes, también puede utilizar corchetes e integrales de tabla:

Ejemplo 7.

(usamos y );

Ejemplo 8.

(usamos Y ).

Veamos ejemplos más complejos que usan la suma integral.

Ejemplo 9. Por ejemplo, busquemos
. Para aplicar el método de expansión en el numerador, usamos la fórmula de suma cúbica , y luego dividimos el polinomio resultante por el denominador, término por término.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Cabe señalar que al final de la solución se escribe una constante común C (y no separadas al integrar cada término). En el futuro, también se propone omitir las constantes de la integración de términos individuales en el proceso de solución siempre que la expresión contenga al menos una integral indefinida (escribiremos una constante al final de la solución).

Ejemplo 10. Lo encontraremos . Para resolver este problema, factoricemos el numerador (después de esto podemos reducir el denominador).

Ejemplo 11. Lo encontraremos. Aquí se pueden utilizar identidades trigonométricas.

A veces, para descomponer una expresión en términos, es necesario utilizar técnicas más complejas.

Ejemplo 12. Lo encontraremos . En el integrando seleccionamos la parte entera de la fracción. . Entonces

Ejemplo 13. Lo encontraremos

2. Método de reemplazo de variables (método de sustitución)

El método se basa en la siguiente fórmula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, donde x =(t) es una función derivable en el intervalo considerado.

Prueba. Encontremos las derivadas con respecto a la variable t de los lados izquierdo y derecho de la fórmula.

Observa que en el lado izquierdo hay una función compleja cuyo argumento intermedio es x = (t). Por lo tanto, para derivarla con respecto a t, primero derivamos la integral con respecto a x, y luego tomamos la derivada del argumento intermedio con respecto a t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivada del lado derecho:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Dado que estas derivadas son iguales, como corolario del teorema de Lagrange, los lados izquierdo y derecho de la fórmula que se está demostrando difieren en una cierta constante. Dado que las integrales indefinidas se definen hasta un término constante indefinido, esta constante se puede omitir en la notación final. Probado.

Un cambio de variable exitoso le permite simplificar la integral original y, en los casos más simples, reducirla a una tabular. En la aplicación de este método se distingue entre métodos de sustitución lineales y no lineales.

a) Método de sustitución lineal Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.
. Sea t= 1 – 2x, entonces

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Cabe señalar que no es necesario escribir explícitamente la nueva variable. En tales casos, se habla de transformar una función bajo el signo diferencial o de introducir constantes y variables bajo el signo diferencial, es decir oh reemplazo implícito de variables.

Ejemplo 2. Por ejemplo, encontremoscos(3x + 2)dx. Por las propiedades del diferencial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), entoncescos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sen(3x + 2) +C.

En ambos ejemplos considerados, se utilizó la sustitución lineal t=kx+b(k0) para encontrar las integrales.

En el caso general, el siguiente teorema es válido.

Teorema de sustitución lineal. Sea F(x) alguna primitiva de la función f(x). Entoncesf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, donde k y b son algunas constantes,k0.

Prueba.

Por definición de la integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Saquemos el factor constante k del signo integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Ahora podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la igualdad en dos y obtener el enunciado a demostrar hasta la designación del término constante.

Este teorema establece que si en la definición de la integral f(x)dx= F(x) + C en lugar del argumento x sustituimos la expresión (kx+b), esto conducirá a la aparición de un adicional factor 1/k delante de la antiderivada.

Usando el teorema probado, resolvemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 3.

Lo encontraremos . Aquí kx+b= 3 –x, es decir k= -1,b= 3. Entonces

Ejemplo 4.

Lo encontraremos. Aquíkx+b= 4x+ 3, es decir k= 4,b= 3. Entonces

Ejemplo 5.

Lo encontraremos . Aquí kx+b= -2x+ 7, es decir k= -2,b= 7. Entonces

.

Ejemplo 6. Lo encontraremos
. Aquí kx+b= 2x+ 0, es decir k= 2,b= 0.

.

Comparemos el resultado obtenido con el ejemplo 8, que se resolvió mediante el método de descomposición. Resolviendo el mismo problema usando un método diferente, obtuvimos la respuesta.
. Comparemos los resultados: Por tanto, estas expresiones se diferencian entre sí por un término constante , es decir. Las respuestas recibidas no se contradicen.

Ejemplo 7. Lo encontraremos
. Seleccionemos un cuadrado perfecto en el denominador.

En algunos casos, cambiar una variable no reduce la integral directamente a una tabular, pero puede simplificar la solución, haciendo posible utilizar el método de expansión en un paso posterior.

Ejemplo 8. Por ejemplo, busquemos . Reemplace t=x+ 2, luego dt=d(x+ 2) =dx. Entonces

,

donde C = C 1 – 6 (al sustituir la expresión (x+ 2) en lugar de los dos primeros términos obtenemos ½x 2 -2x– 6).

Ejemplo 9. Lo encontraremos
. Sea t= 2x+ 1, entonces dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Sustituyamos la expresión (2x+ 1) por t, abramos los corchetes y demos otros similares.

Tenga en cuenta que en el proceso de transformaciones pasamos a otro término constante, porque el grupo de términos constantes podría omitirse durante el proceso de transformación.

b) Método de sustitución no lineal Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1.
. Sea = -x 2. A continuación, se podría expresar x en términos de t, luego encontrar una expresión para dx e implementar un cambio de variable en la integral deseada. Pero en este caso es más fácil hacer las cosas de otra manera. Encontremosdt=d(-x 2) = -2xdx. Tenga en cuenta que la expresión xdx es un factor del integrando de la integral deseada. Expresémoslo a partir de la igualdad resultantexdx= - ½dt. Entonces

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 2. Lo encontraremos . Sea t= 1 -x 2 . Entonces

Ejemplo 3. Lo encontraremos . Vamos =. Entonces

;

Ejemplo 4. En el caso de sustitución no lineal, también es conveniente utilizar sustitución de variables implícitas.

Por ejemplo, busquemos
. Escribamos xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (implícitamente reemplazada por la variable t= 3 - 2x 2). Entonces

Ejemplo 5. Lo encontraremos . Aquí también introducimos una variable bajo el signo diferencial: (reemplazo implícito = 3 + 5x 3). Entonces

Ejemplo 6. Lo encontraremos . Porque el ,

Ejemplo 7. Lo encontraremos. Desde entonces

Veamos algunos ejemplos en los que es necesario combinar varias sustituciones.

Ejemplo 8. Lo encontraremos
. Seat= 2x+ 1, entoncesx= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Ejemplo 9. Lo encontraremos
. Seat=x- 2, entoncesx=t+ 2;dx=dt.

Función antiderivada e integral indefinida

Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(X) se llama antiderivada para función F(X).

Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .

Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es una antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .

Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación

∫

F(X)dx

,

donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(X) – función integrando, y F(X)dx – expresión integrando.

Así, si F(X) – alguna antiderivada para F(X) , Eso

∫

F(X)dx = F(X) +C

Dónde C - constante arbitraria (constante).

Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (puerta tradicional de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .

Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.

Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, por ejemplo, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.

Planteemos el problema de integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado igual a F(X).

Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.

Solución. Para esta función, la antiderivada es la función

Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X), si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, diferencial F(X) es igual F(X) dx, es decir.

(2)

Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones

Dónde CON- Constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.

Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.

Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) – antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(X) + C, Dónde CON- Constante arbitraria.

En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.

Ejemplo 2. Encuentre conjuntos de funciones antiderivadas:

Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.

1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos

2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos

3) Desde

luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos

No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,

, ;

aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable X, y en el segundo - en función de z .

El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.

Significado geométrico de la integral indefinida.

Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.

Según el significado geométrico de la derivada, la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.

Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.

Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. C.

Propiedades de la integral indefinida

Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.

Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(X) es igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.

(3)

Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.

Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.

Tabla de antiderivadas ("integrales"). Tabla de integrales. Integrales indefinidas tabulares. (Las integrales más simples y las integrales con parámetro). Fórmulas de integración por partes. Fórmula de Newton-Leibniz.

Tabla de antiderivadas ("integrales"). Integrales indefinidas tabulares. (Las integrales más simples y las integrales con parámetro).
Integral de una función de potencia.	Integral de una función de potencia.
Una integral que se reduce a la integral de una función de potencia si x se maneja bajo el signo diferencial.
	Integral de una exponencial, donde a es un número constante.
Integral de una función exponencial compleja.	Integral de una función exponencial.
Una integral igual al logaritmo natural.	Integral: "Logaritmo largo".
	Integral: "Logaritmo largo".
Integral: "Logaritmo alto".	Una integral, donde x en el numerador se coloca debajo del signo diferencial (la constante debajo del signo se puede sumar o restar), es en última instancia similar a una integral igual al logaritmo natural.
Integral: "Logaritmo alto".
Integral del coseno.	Integral seno.
Integral igual a tangente.	Integral igual a cotangente.
Integral igual a arcoseno y arcocoseno
Una integral igual tanto al arcoseno como al arcocoseno.	Una integral igual tanto al arcotangente como al arcocotangente.
Integral igual a cosecante.	Integral igual a secante.
Integral igual a arcosecante.	Integral igual a arcocosecante.
Integral igual a arcosecante.	Integral igual a arcosecante.
Integral igual al seno hiperbólico.	Integral igual al coseno hiperbólico.
Integral igual al seno hiperbólico, donde sinhx es el seno hiperbólico en la versión inglesa.	Integral igual al coseno hiperbólico, donde sinhx es el seno hiperbólico en la versión inglesa.
Integral igual a la tangente hiperbólica.	Integral igual a la cotangente hiperbólica.
Integral igual a la secante hiperbólica.	Integral igual a la cosecante hiperbólica.

Fórmulas de integración por partes. Reglas de integración.

Fórmulas de integración por partes. Fórmula de Newton-Leibniz. Reglas de integración.
Integrando un producto (función) por una constante:
Integrando la suma de funciones:
Integrales indefinidas:
Fórmula de integración por partes. integrales definidas:
Fórmula de Newton-Leibniz integrales definidas:	Donde F(a),F(b) son los valores de las antiderivadas en los puntos b y a, respectivamente.

Tabla de derivadas. Derivadas tabulares. Derivado del producto. Derivada del cociente. Derivada de una función compleja.

Si x es una variable independiente, entonces:

Tabla de derivadas. Derivadas tabulares."derivada de tabla": sí, desafortunadamente, así es exactamente como se buscan en Internet
	Derivada de una función de potencia
	Derivada del exponente
Derivada de una función exponencial compleja	Derivada de función exponencial
Derivada de una función logarítmica	Derivada del logaritmo natural
	Derivada del logaritmo natural de una función
Derivada del seno	Derivada del coseno
Derivada de cosecante	Derivada de una secante
Derivada del arcoseno	Derivada del arco coseno
Derivada del arcoseno	Derivada del arco coseno
Derivada tangente	Derivada de cotangente
Derivada de arcotangente	Derivada del arco cotangente
Derivada de arcotangente	Derivada del arco cotangente
Derivada de arcosecante	Derivada de arcocosecante
Derivada de arcosecante	Derivada de arcocosecante
Derivada del seno hiperbólico Derivada del seno hiperbólico en la versión inglesa	Derivada del coseno hiperbólico Derivada del coseno hiperbólico en versión inglesa.
Derivada de la tangente hiperbólica	Derivada de cotangente hiperbólica
Derivada de la secante hiperbólica	Derivada de la cosecante hiperbólica

Reglas de diferenciación. Derivado del producto. Derivada del cociente. Derivada de una función compleja.
Derivada de un producto (función) por una constante:
Derivada de suma (funciones):
Derivada del producto (funciones):
Derivada del cociente (de funciones):
Derivada de una función compleja:

Propiedades de los logaritmos. Fórmulas básicas para logaritmos. Logaritmos decimales (lg) y naturales (ln).

Identidad logarítmica básica
Demostremos cómo cualquier función de la forma a b puede hacerse exponencial. Dado que una función de la forma e x se llama exponencial, entonces
Cualquier función de la forma a b se puede representar como una potencia de diez.

Logaritmo natural ln (logaritmo en base e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; en(1)=0

Serie Taylor. Expansión en serie de Taylor de una función.

Resulta que la mayoría prácticamente encontrado Las funciones matemáticas se pueden representar con cierta precisión en las proximidades de un determinado punto en forma de series de potencias que contienen potencias de una variable en orden creciente. Por ejemplo, en las proximidades del punto x=1:

Cuando se utilizan series llamadas Las filas de Taylor, Las funciones mixtas que contienen, digamos, funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales se pueden expresar como funciones puramente algebraicas. Al utilizar series, a menudo es posible realizar rápidamente una diferenciación e integración.

La serie de Taylor en la vecindad del punto a tiene la forma:

1) , donde f(x) es una función que tiene derivadas de todos los órdenes en x = a. R n: el término restante de la serie de Taylor está determinado por la expresión

2)

El k-ésimo coeficiente (en x k) de la serie está determinado por la fórmula

3) Un caso especial de la serie Taylor es la serie Maclaurin (=McLaren) (la expansión ocurre alrededor del punto a=0)

en a=0

Los miembros de la serie están determinados por la fórmula.

Condiciones para utilizar la serie de Taylor.

1. Para que la función f(x) se expanda a una serie de Taylor en el intervalo (-R;R), es necesario y suficiente que el término restante en la fórmula de Taylor (Maclaurin (=McLaren)) para esta la función tiende a cero cuando k →∞ en el intervalo especificado (-R;R).

2. Es necesario que existan derivadas para una función dada en el punto en cuya proximidad vamos a construir la serie de Taylor.

Propiedades de la serie de Taylor.

Si f es una función analítica, entonces su serie de Taylor en cualquier punto a en el dominio de definición de f converge a f en alguna vecindad de a.

Hay funciones infinitamente diferenciables cuya serie de Taylor converge, pero al mismo tiempo difiere de la función en cualquier vecindad de a. Por ejemplo:

Las series de Taylor se utilizan en la aproximación (la aproximación es un método científico que consiste en sustituir unos objetos por otros, en un sentido u otro cercanos a los originales, pero más sencillos) de una función por polinomios. En particular, la linealización ((de linearis - lineal), uno de los métodos de representación aproximada de sistemas no lineales cerrados, en el que el estudio de un sistema no lineal se reemplaza por el análisis de un sistema lineal, en algún sentido equivalente al original. .) las ecuaciones se producen al expandirse en una serie de Taylor y cortar todos los términos por encima del primer orden.

Por tanto, casi cualquier función se puede representar como un polinomio con una precisión determinada.

Ejemplos de algunas expansiones comunes de funciones de potencia en series de Maclaurin (=McLaren, Taylor en las proximidades del punto 0) y Taylor en las proximidades del punto 1. Los primeros términos de expansiones de las funciones principales en las series de Taylor y McLaren.

Ejemplos de algunas expansiones comunes de funciones de potencia en series de Maclaurin (=McLaren, Taylor en las proximidades del punto 0)

Ejemplos de algunas expansiones comunes de la serie de Taylor en las proximidades del punto 1

Integrales principales que todo estudiante debe conocer

Las integrales enumeradas son la base, la base de los fundamentos. Definitivamente debes recordar estas fórmulas. Al calcular integrales más complejas, tendrás que utilizarlas constantemente.

Preste especial atención a las fórmulas (5), (7), (9), (12), (13), (17) y (19). ¡No olvides agregar una constante C arbitraria a tu respuesta al integrar!

Integral de una constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integración de una función de potencia

De hecho, fue posible limitarnos solo a las fórmulas (5) y (7), pero el resto de integrales de este grupo ocurren con tanta frecuencia que vale la pena prestarles un poco de atención.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1xdx = 2x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrales de funciones exponenciales y funciones hiperbólicas.

Por supuesto, la fórmula (8) (quizás la más conveniente para la memorización) puede considerarse como un caso especial de la fórmula (9). Las fórmulas (10) y (11) para las integrales del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se derivan fácilmente de la fórmula (8), pero es mejor simplemente recordar estas relaciones.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrales básicas de funciones trigonométricas.

Un error que suelen cometer los estudiantes es confundir los signos de las fórmulas (12) y (13). Recordando que la derivada del seno es igual al coseno, por alguna razón mucha gente cree que la integral de la función sinx es igual a cosx. ¡Esto no es verdad! La integral de seno es igual a “menos coseno”, pero la integral de cosx es igual a “solo seno”:

∫ sen x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sen x + C (13)
∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sen 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrales que se reducen a funciones trigonométricas inversas.

La fórmula (16), que conduce al arcotangente, es naturalmente un caso especial de la fórmula (17) para a=1. De manera similar, (18) es un caso especial de (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrales más complejas

También es recomendable recordar estas fórmulas. También se utilizan con bastante frecuencia y su resultado es bastante tedioso.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0) (24)

Reglas generales de integración

1) La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) La integral de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La constante se puede sacar del signo integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es fácil ver que la propiedad (26) es simplemente una combinación de las propiedades (25) y (27).

4) Integral de una función compleja si la función interna es lineal: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aquí F(x) es una antiderivada de la función f(x). Tenga en cuenta: esta fórmula solo funciona cuando la función interna es Ax + B.

Importante: no existe una fórmula universal para la integral del producto de dos funciones, así como para la integral de una fracción:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treinta)

Esto no significa, por supuesto, que una fracción o producto no pueda integrarse. Lo que pasa es que cada vez que veas una integral como (30), tendrás que inventar una manera de “combatirla”. En algunos casos la integración por partes te ayudará, en otros tendrás que hacer un cambio de variable, y en ocasiones incluso las fórmulas “escolares” de álgebra o trigonometría pueden ayudar.

Un ejemplo sencillo de cálculo de la integral indefinida.

Ejemplo 1. Encuentra la integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Usemos las fórmulas (25) y (26) (la integral de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales correspondientes. Obtenemos: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12dx

Recordemos que la constante se puede sacar del signo integral (fórmula (27)). La expresión se convierte a la forma.

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sen x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ahora usemos la tabla de integrales básicas. Tendremos que aplicar las fórmulas (3), (12), (8) y (1). Integramos la función de potencia, seno, exponencial y constante 1. No olvides agregar una constante arbitraria C al final:

3 x 3 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C

Después de transformaciones elementales obtenemos la respuesta final:

X 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C

Ponte a prueba por derivación: toma la derivada de la función resultante y asegúrate de que sea igual al integrando original.

Tabla resumen de integrales

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1xdx = 2x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C ( norte ≠ − 1 )

∫ mi x re x = mi x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sen x d x = − cos x + C

∫ porque x d x = sen x + C

∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C

∫ 1 pecado 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0)

∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0)

Descarga la tabla de integrales (parte II) desde este enlace

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