Teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema. Teorema del cambio de energía cinética Teorema del cambio de energía

Un ejemplo de resolución de un problema utilizando el teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema con cuerpos rígidos, bloques, poleas y resorte.

Contenido

La tarea

El sistema mecánico consta de pesas 1 y 2, una polea escalonada 3 con radios escalonados R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m y radio de giro con respecto al eje de rotación ρ 3 = 0,2m, bloque 4 radio R 4 = 0,2m y el bloque móvil 5. El bloque 5 se considera un cilindro sólido homogéneo. Coeficiente de fricción de la carga 2 en el plano f = 0,1 . Los cuerpos del sistema están conectados entre sí mediante hilos arrojados sobre bloques y enrollados en la polea 3. Las secciones de los hilos son paralelas a los planos correspondientes. Un resorte con coeficiente de rigidez c = está unido al bloque móvil 5 280 N/m.

Bajo la influencia de la fuerza F = f (s) = 80(6 + 7 s) norte, dependiendo del desplazamiento s del punto de su aplicación, el sistema comienza a moverse desde un estado de reposo. La deformación del resorte en el momento de iniciar el movimiento es nula. Cuando se mueve, la polea 3 se ve afectada por un momento constante M = 1,6 Nm Fuerzas de resistencia (por fricción en los rodamientos). Masas corporales: m 1 = 0 , metro 2 = 5 kilos, metro 3 = 6 kilogramos, metro 4 = 0 , metro 5 = 4 kilogramos.

Determinar el valor del centro de masa del cuerpo 5 V C. 5 en el momento en que el desplazamiento s de la carga 1 se vuelve igual a s 1 = 0,2 metros.

Nota. Al resolver un problema, utilice teorema del cambio de energía cinética.

La solución del problema

Dado: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2m, r. 4 = 0,2m, f = 0,1 , s = 280 N/m, metro 1 = 0 , metro 2 = 5 kilos, metro 3 = 6 kilogramos, metro 4 = 0 , metro 5 = 4 kilogramos, F = f (s) = 80(6 + 7 s) norte, s 1 = 0,2 metros.

Encontrar: VC 5 .

Designaciones variables

R 3 , r 3- radios de los pasos de polea 3;
ρ 3 - radio de inercia de la polea 3 con respecto al eje de rotación;
R 5 - radio de bloque 5;
V 1 , V. 2 - velocidades de los cuerpos 1 y 2;
ω 3 - velocidad angular de rotación de la polea 3;
VC 5 - velocidad del centro de masa C 5 bloque 5;
ω 5 - velocidad angular de rotación del bloque 5;
s 1 , s 2 - movimiento de los cuerpos 1 y 2;
φ 3 - ángulo de rotación de la polea 3;
s C 5 - movimiento del centro de masa C 5 bloque 5;
s A, s B - puntos móviles A y B.

Estableciendo relaciones cinemáticas.

Establezcamos relaciones cinemáticas. Dado que las cargas 1 y 2 están conectadas por un hilo, sus velocidades son iguales:
V 2 = V 1.
Dado que el hilo que conecta las cargas 1 y 2 está enrollado en la etapa exterior de la polea 3, los puntos de la etapa exterior de la polea 3 se mueven con velocidad V 2 = V 1. Entonces la velocidad angular de rotación de la polea es:
.
Velocidad del centro de masa V C 5 el bloque 5 es igual a la velocidad de los puntos de la etapa interna de la polea 3:
.
La velocidad del punto K es cero. Por tanto, es el centro de velocidad instantánea del bloque 5. Velocidad angular de rotación del bloque 5:
.
La velocidad del punto B, el extremo libre del resorte, es igual a la velocidad del punto A:
.

Expresemos las velocidades en términos de V C. 5 .
;
;
.

Ahora instalemos Conexiones entre los movimientos del cuerpo y los ángulos de rotación. polea y bloque. Dado que las velocidades y las velocidades angulares son derivadas en el tiempo de los desplazamientos y los ángulos de rotación.
,
entonces las mismas conexiones serán entre desplazamientos y ángulos de rotación:
s 2 = s 1;
;
;
.

Determinación de la energía cinética del sistema.

Encontremos la energía cinética del sistema. La carga 2 realiza un movimiento de traslación con velocidad V 2 . La polea 3 realiza un movimiento de rotación con velocidad de rotación angular ω 3 . El bloque 5 realiza un movimiento plano paralelo. Gira con velocidad angular ω 5 y su centro de masa se mueve con rapidez V C 5 . Energía cinética del sistema:
.

Dado que se da el radio de inercia de la polea con respecto al eje de rotación, el momento de inercia de la polea con respecto al eje de rotación está determinado por la fórmula:
j 3 = metro 3 ρ 2 3.
Dado que el bloque 5 es un cilindro sólido y homogéneo, su momento de inercia con respecto al centro de masa es igual a
.

Usando relaciones cinemáticas, expresamos todas las velocidades a través de V C 5 y sustituir expresiones por momentos de inercia en la fórmula de la energía cinética.
,
donde ingresamos la constante
kg.

Entonces, hemos encontrado la dependencia de la energía cinética del sistema de la velocidad del centro de masa V C 5 bloque móvil:
, donde metro = 75 kg.

Determinación de la cantidad de trabajo de fuerzas externas.

Considere las fuerzas externas, actuando sobre el sistema.
Al mismo tiempo, no consideramos las fuerzas de tensión de los hilos, ya que los hilos son inextensibles y, por tanto, no producen trabajo. Por este motivo no consideramos las tensiones internas que actúan en los cuerpos, ya que son absolutamente sólidos.
El cuerpo 1 (con masa cero) es sometido a una fuerza dada F.
La gravedad P actúa sobre la carga 2 2 = metro 2 gramos 2 y fuerza de fricción F T .
La gravedad P actúa sobre la polea 3. 3 = metro 3 gramos, Fuerza de presión del eje N 3 y el momento de las fuerzas de fricción M.
La polea 4 (con masa cero) se ve afectada por la fuerza de presión del eje N 4 .
El bloque móvil 5 es influenciado por la gravedad P. 5 = metro 5 gramos, la fuerza elástica F y del resorte y la fuerza de tensión del hilo T K en el punto K.

El trabajo que realiza una fuerza al mover el punto de su aplicación en un pequeño desplazamiento es igual al producto escalar de vectores, es decir, el producto de los valores absolutos de los vectores F y ds por el coseno del ángulo entre a ellos. Una fuerza dada aplicada al cuerpo 1 es paralela al movimiento del cuerpo 1. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza cuando el cuerpo 1 se mueve una distancia s 1 es igual a:


J.

Considere la carga 2. Sobre ella actúa la fuerza de gravedad P 2 , fuerza de presión superficial N 2 , fuerza de tensión del hilo T 23 , t 24 y fuerza de fricción F T . Como la carga no se mueve en dirección vertical, la proyección de su aceleración sobre el eje vertical es cero. Por tanto, la suma de las proyecciones de fuerzas sobre el eje vertical es igual a cero:
norte 2 - P 2 = 0;
norte 2 = P 2 = metro 2 g.
Fuerza de fricción:
FT = f norte 2 = f m 2 g.
Fuerzas P 2 y N 2 perpendicular al desplazamiento s 2 , por lo que no producen trabajo.
Trabajo de la fuerza de fricción:
J.

Si consideramos la carga 2 como un sistema aislado, entonces debemos tener en cuenta el trabajo producido por las fuerzas de tensión de los hilos T 23 y T 24 . Sin embargo, nos interesa el sistema completo que consta de los cuerpos 1, 2, 3, 4 y 5. Para tal sistema, las fuerzas de tensión de los hilos son fuerzas internas. Y como los hilos son inextensibles, la suma de su trabajo es cero. En el caso de la carga 2, también es necesario tener en cuenta las fuerzas de tensión de los hilos que actúan sobre la polea 3 y el bloque 4. Son iguales en magnitud y de dirección opuesta a las fuerzas T. 23 y T 24 . Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas de tensión de los hilos 23 y 24 sobre la carga 2 es igual en magnitud y de signo opuesto al trabajo realizado por las fuerzas de tensión de estos hilos sobre la polea 3 y el bloque 4. Como resultado, la cantidad de El trabajo producido por las fuerzas de tensión de los hilos es cero.

Considere la polea 3. Como su centro de masa no se mueve, el trabajo realizado por la gravedad P 3 igual a cero.
Porque el eje C 3 está inmóvil, entonces la fuerza de presión del eje N 3 no produce trabajo.
El trabajo realizado por el par se calcula de manera similar al trabajo realizado por la fuerza:
.
En nuestro caso, los vectores del momento de las fuerzas de fricción y el ángulo de rotación de la polea se dirigen a lo largo del eje de rotación de la polea, pero en dirección opuesta. Por tanto, el trabajo del momento de las fuerzas de fricción:
J.

Veamos el bloque 5.
Como la rapidez del punto K es cero, la fuerza T K no produce trabajo.
Centro de masa del bloque C 5 se movió una distancia s C 5 arriba. Por tanto, el trabajo realizado por la gravedad del bloque es:
J.
El trabajo realizado por la fuerza elástica del resorte es igual al cambio en la energía potencial del resorte con signo menos. Como el resorte no se deforma al principio, entonces
J.

La suma del trabajo de todas las fuerzas:

J.

Aplicación del teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema

Apliquemos el teorema sobre el cambio de energía cinética del sistema en forma integral.
.
Como el sistema estaba en reposo al principio, su energía cinética al comienzo de su movimiento es
t 0 = 0 .
Entonces
.
De aquí
EM.

Conferencia 5. Teorema sobre el cambio de energía cinética.

5. 1. Trabajo de fuerza

Que la fuerza – la resultante de todas las fuerzas del sistema, aplicadas al punto P, y ( dx, dy, dz) – movimiento elemental del punto P a lo largo de su trayectoria P 1 P 2 (Fig. 5.1). Trabajo elemental dA Las fuerzas se llaman producto escalar.

El trabajo elemental es una cantidad escalar. Si es el ángulo entre la fuerza y ​​la dirección del desplazamiento, entonces la expresión (5.1) se puede representar como

¿Dónde está la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento elemental (o la dirección de la velocidad puntual)?

El signo del trabajo elemental depende del signo de la función. Si es un ángulo agudo, entonces, si es un ángulo obtuso, entonces, si, entonces.

deja el punto R realiza un movimiento final de una posición a otra, describiendo un arco. Dividamos el arco en norte secciones pequeñas arbitrarias, indicando la longitud de la sección con el número k a través de . Entonces el trabajo elemental de fuerza sobre k- la sección será igual a, y desde hasta - la cantidad de trabajo en secciones individuales

Obtenemos el valor exacto del trabajo desplazándonos al límite, siempre que el número de tramos norte aumenta indefinidamente y la longitud de cada sección disminuye:

.

Tal límite se llama integral curvilínea de primer tipo a lo largo de un arco y se escribe de la siguiente manera

. (5.3)

El resultado de la integración es el trabajo completo. A fortaleza F sobre el desplazamiento finito considerado a lo largo del camino.

5. 1. 1. Trabajo de gravedad

Dejar metro – masa puntual, gramo- aceleración de la gravedad. Entonces

Calculando el trabajo usando las fórmulas (5.1) y (5.3), tenemos

¿Dónde está la altura del descenso del punto?

Cuando el punto sube, por lo tanto,.

5. 1. 2. Trabajo de la fuerza elástica lineal.

Deja que el material apunte R se mueve a lo largo del eje Oh(Fig. 5.3) bajo la acción del resorte al que está unido. Estoy gordo , , entonces el resorte se deforma y para pequeñas desviaciones del punto podemos suponer que se le aplica una fuerza elástica desde el lado del resorte. Entonces el trabajo de la fuerza elástica sobre el desplazamiento. X 0 X 1 será igual

. (5.5)

El trabajo de la fuerza elástica es igual a la mitad del producto del coeficiente de rigidez y la diferencia entre los cuadrados del alargamiento (o compresión) inicial y final del resorte.

5. 1. 3. Trabajo elemental de fuerzas aplicadas a un cuerpo sólido.

Consideremos el movimiento de un cuerpo en un plano. Dejar ACERCA DE– un punto seleccionado arbitrariamente en un cuerpo sólido (Fig. 5.4). Llamémoslo poste. Entonces, el movimiento de un cuerpo en un plano se puede representar como la suma de los más simples: el movimiento de traslación junto con el polo y la rotación del cuerpo alrededor del polo. Entonces, la velocidad del punto con respecto al sistema de coordenadas fijo se determinará como la suma geométrica de dos velocidades.

donde es la velocidad del polo, es el vector de la velocidad angular del cuerpo rígido, es la velocidad de Euler, es decir, la velocidad del punto que gira alrededor del polo.

Representaremos un cuerpo sólido como un sistema mecánico formado por norte puntos individuales, cuya distancia mutua no cambia.

Calculemos el desplazamiento de un punto bajo la influencia de una fuerza:

Entonces .

El trabajo elemental, según (5.1), se escribirá de la siguiente manera

Usando las propiedades de un producto mixto de vectores. , reescribimos la última expresión en la forma

Sea la resultante de todas las fuerzas, externas e internas (figura 5.4), aplicadas en un punto del cuerpo, es decir.

.

Entonces (a) se escribirá así

Según (3.1 y 3.2), el vector principal y el momento principal de las fuerzas internas del sistema son iguales a cero, obtenemos

Aquí: – vector principal, – el momento principal de las fuerzas externas con respecto al punto ACERCA DE.

Casos especiales

A. Movimiento de traslación de un cuerpo rígido.. Todos los puntos del cuerpo tienen los mismos desplazamientos (Fig. 5.5, a) tanto en magnitud como en dirección, luego, de (5.6), obtenemos (aquí):

. (5.7)

B. Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.. deja que el eje z pasa por el polo ACERCA DE(Figura 5.5b). Entonces , ; de (5.6) obtenemos

. (5.8)

Ejemplo. masa de la bobina metro y radio R impulsado por una fuerza constante F, aplicado en el punto A(Figura 5.6). El carrete rueda hacia la derecha sin deslizarse sobre la superficie rugosa.

Calcule el trabajo de todas las fuerzas externas si el centro de la bobina se ha movido una distancia, - coeficiente de fricción de rodadura, - fuerza de fricción, r - radio del núcleo de la bobina al que se aplica la fuerza.

Solución. La bobina se mueve en un movimiento plano. Dado que el rodamiento se produce sin deslizamiento, el centro instantáneo de velocidad se encuentra en el punto de contacto de la bobina con el plano, es decir en el punto R(Figura 5.6). Dirijamos el eje S horizontalmente hacia la derecha. De acuerdo con el sentido del movimiento, tomaremos el sentido positivo del ángulo de rotación en sentido antihorario.

Deje que el centro de la bobina CON se trasladará a . En este caso, la bobina girará en ángulo. Entonces de donde

Habiendo aceptado el punto R para el eje de rotación instantáneo calculamos el trabajo elemental mediante la fórmula (5.8):

(A)

Aquí: líneas de acción de fuerzas y mg intersecta el eje de rotación, por lo tanto; más lejos, donde norte– fuerza de reacción normal.

Para determinar el trabajo requerido, queda tomar una integral definida de (a) en el rango de 0 a SA. Obtenemos

5. 2. Campo de fuerza. Función de potencia. Energía potencial

Supongamos que un punto se mueve en algún espacio y sobre él actúa una fuerza desde el espacio que depende de la posición del punto en este espacio, pero no depende de la velocidad del movimiento del punto. En este caso dicen que el espacio está dado. campo de fuerza, y también que el punto se mueve en un campo de fuerza. Los conceptos correspondientes a un sistema de puntos materiales son similares.

En mecánica se encuentran a menudo fuerzas que dependen de la posición de los puntos de su aplicación. Por ejemplo, una fuerza elástica aplicada a un punto material que se mueve a lo largo de una línea horizontal bajo la acción de un resorte. El ejemplo más importante de campo de fuerza en la naturaleza es el campo gravitacional: la acción del Sol sobre un planeta de una masa determinada está determinada en cada punto del espacio por la ley de la gravitación universal.

El campo de fuerza se llama potencial, si hay una función escalar Ud., dependiendo únicamente de las coordenadas , , punto - punto del sistema material (posiblemente también del tiempo), de modo que

La función se llama función de potencia.

Consideremos las propiedades de la función de fuerza.

El trabajo elemental (5.1) se relaciona con la función de fuerza de la siguiente manera

De este modo, El trabajo elemental de fuerza en un campo de fuerza potencial es igual al diferencial total de la función de fuerza. ii.

Trabajo total de fuerza en el área desde el punto. al punto (Figura 5.1)

aquellos. . (5.10)

De las expresiones obtenidas se deduce que

1. el trabajo realizado por una fuerza en un campo de fuerza potencial a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es cero;

2. el trabajo de fuerza en un campo de fuerza potencial depende sólo de la posición de las fuerzas final e inicial puntos, pero el camino del movimiento en sí no importa.

Energía potencial. Energía potencial PAG en el punto considerado del campo de fuerza R es el trabajo realizado por las fuerzas de campo que actúan sobre un punto material cuando se mueve desde un punto R al punto de partida 1, es decir

PAG= o PAG=

Conectemos la función de fuerza. Ud. con energía potencial. Tenemos

Ejemplos de cálculo de energía potencial

1. Campo de gravedad uniforme. Dejar metro– masa puntual; gramo - aceleración de la gravedad. Entonces (figura 5.2)

2. Campo de fuerza de resorte elástico. Deje que el punto material se mueva a lo largo del eje. Oh(Fig. 5.3) bajo la acción del resorte al que está unido. Si el resorte no está deformado, entonces, suponiendo la fórmula (5.5), obtenemos

.

5. 3. Energía cinética

5. 3. 1. Energía cinética del sistema. teorema de koenig

La energía cinética de un punto material es la mitad del producto de la masa del punto por el cuadrado de su velocidad, es decir . La energía cinética es una cantidad escalar positiva. En el sistema SI, la unidad de energía cinética es el julio: .

La energía cinética de un sistema mecánico es la suma de las energías cinéticas de todos los puntos incluidos en el sistema:

(5.11)

Las velocidades de los puntos del sistema (5.1) se determinan con respecto a un sistema de referencia fijo.

Alineemos el origen de coordenadas con el centro de masa del sistema. Supongamos que el sistema mecánico, junto con el sistema de coordenadas, se mueve traslacionalmente con respecto al sistema de coordenadas fijo (figura 5.7). Punto – punto del sistema.

Entonces, basándose en el teorema de la suma de velocidades, la velocidad absoluta del punto Rk. El sistema se escribirá como la suma vectorial de las velocidades portátiles y relativas:

, (A)

¿Dónde está la velocidad del origen del sistema de coordenadas en movimiento (velocidad transferible, es decir, la velocidad del centro de masa del sistema); – velocidad puntual Rk relativo al sistema de coordenadas en movimiento Ohhhz (velocidad relativa).

Sustituyendo (a) en la fórmula (5.11), obtenemos

(5.12)

Aquí está la masa de todo el sistema.

El radio vector del centro de masa del sistema en el sistema de coordenadas en movimiento se determina según (2.1), – , dónde , es decir. . desde el origen ACERCA DE es el centro de masa del sistema, entonces , entonces, es decir la segunda suma en la expresión (5.12) es igual a cero.

Por tanto, la energía cinética del sistema (5.12) tiene la forma

(5.13)

Esta igualdad determina El teorema de Koenig.

Teorema. La energía cinética de un sistema es igual a la suma de la energía cinética que tendría un punto material ubicado en el centro de masa del sistema y que tuviera una masa igual a la masa del sistema, y ​​la energía cinética de movimiento del sistema con respecto al centro de masa.

5. 3. 2. Energía cinética de un cuerpo sólido.

Un cuerpo rígido es un caso especial de un sistema mecánico y se considera como una masa distribuida continuamente, luego todas las sumas incluidas en la expresión de la energía cinética del sistema se convierten en integrales. Por tanto, para un cuerpo sólido, la fórmula (5.11) tomará la forma

. (5.14)

1. Energía cinética de un cuerpo rígido que avanza.

Con este tipo de movimiento, las velocidades de todos los puntos del cuerpo son las mismas (fig. 5.8). Quitando el signo integral en la fórmula (5.14), obtenemos

. (5.15)

La energía cinética de un cuerpo rígido que se mueve traslacionalmente es igual a la mitad del producto de la masa del cuerpo.METROpor el cuadrado de su velocidad.

2. Energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.

módulo de velocidad V de cualquier punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual a , donde es el módulo de la velocidad angular del cuerpo rígido, es la distancia desde el punto al eje de rotación z(Figura 5.9). Sustituyendo en la fórmula (5.14), obtenemos

Aquí – momento de inercia de un cuerpo sólido con respecto al eje z.

La energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es igual a la mitad del producto del momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y el cuadrado de la velocidad angular del cuerpo.

3. Energía cinética de un cuerpo rígido durante el movimiento plano paralelo.

En el movimiento plano-paralelo, la velocidad de cualquier punto del cuerpo consiste en la suma geométrica de la velocidad del polo y la velocidad del punto durante la rotación alrededor del polo. Deja que el cuerpo se mueva en un plano. oxi, Entonces

|| . Elegimos el centro de masa del cuerpo como polo, luego en la fórmula (5.13), la velocidad es la velocidad del punto k cuerpo durante su rotación con respecto al polo (centro de masa) y es igual a , ¿dónde está la distancia? k- Oh, señala el poste. Entonces (5.13) será reescrito

Teniendo en cuenta que – momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z pasando por el polo CON, la última expresión se puede reescribir como

, (5.17)

En el movimiento plano paralelo de un cuerpo, la energía cinética es la suma de la energía cinética del movimiento de traslación junto con el centro de masa y la energía cinética de la rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.

5. 4. Teorema sobre el cambio de energía cinética

5. 4. 1. Teorema sobre el cambio de energía cinética de un punto

Encontremos la conexión entre el trabajo y el cambio de velocidad. Sea un punto material con masa. metro se mueve a lo largo del eje Oh bajo la influencia de una fuerza, por ejemplo un resorte comprimido o descomprimido fijado en el origen de coordenadas - un punto ACERCA DE(Figura 5.10). La ecuación de movimiento de un punto tiene la forma.

Multipliquemos ambos lados de esta ecuación por y, teniendo en cuenta que , obtenemos

. (5.19)

En el lado derecho de esta igualdad reemplazamos Vx por y multiplicar por dt lados derecho e izquierdo. Entonces

. (5.20)

De esta forma, la igualdad tiene un significado muy claro: cuando el punto se desplaza por dx, la fuerza funciona, como resultado de lo cual la cantidad cambia energía cinética de un punto, que caracteriza el movimiento de un punto y, en particular, el módulo de su velocidad. Si un punto se mueve desde una posición a y su velocidad cambia de a , entonces, integrando (5.20), tenemos

. (5.21)

Teniendo en cuenta que , finalmente encontramos

. (5.22)

El cambio en la energía cinética de un punto material durante cualquier movimiento es igual al trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre el punto en el mismo movimiento.

Realizando todos los procedimientos anteriores obtenemos

,

aquí está el arco a lo largo del cual se mueve el punto (figura 5.11).

5. 4. 2. Teorema sobre el cambio de energía cinética del sistema.

Deje que los puntos del sistema de masas se muevan de modo que sus vectores de radio en el sistema de referencia inercial reciban un incremento. Encontremos cómo cambió la energía cinética. t sistemas.

Según (5.11), la energía cinética del sistema

.

Calculemos el diferencial de energía cinética del sistema y transformemos la expresión resultante.

Aquí

Teniendo en cuenta que , donde es la aceleración del punto a y son las fuerzas externas e internas resultantes aplicadas al punto, reescribimos la última igualdad en la forma

De este modo,

. (5.23)

La última igualdad expresa el teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema mecánico en forma diferencial: el diferencial de energía cinética del sistema es igual al trabajo elemental de todas las fuerzas del sistema.

Caso especial. Para un cuerpo absolutamente rígido, la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas internas del sistema es igual a cero:

.

En consecuencia, el teorema sobre el cambio de energía cinética (5.23) para un cuerpo rígido se puede escribir en la forma

El cambio en la energía cinética de un cuerpo sólido durante cualquier desplazamiento elemental es igual al trabajo elemental de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Si ambos lados de (5.24) se integran entre dos posiciones – inicial y final, en las cuales la energía cinética y son respectivamente, obtenemos

. (5.25)

Ejemplo 1. Masa del disco metro= 5 kilogramos y el radio se pone en movimiento mediante una fuerza constante aplicada en el punto A(Figura 5.6). El disco rueda sobre una superficie rugosa hacia la derecha sin deslizarse. Determinar la velocidad del centro de masa. CON bobina en el momento en que se mueve una distancia, coeficiente de fricción por deslizamiento, radio de giro del disco

Solución. El disco se mueve en un movimiento plano. Escribamos el teorema sobre el cambio de energía cinética de un cuerpo sólido.

Calculemos la energía cinética del disco. En el momento inicial, el disco estaba en reposo, es decir. . Energía cinética en la posición final del disco.

Si consideramos cualquier punto del sistema con masa , teniendo velocidad , entonces para este punto será

,

dónde y - Trabajo elemental de fuerzas externas e internas que actúan sobre un punto. Compilando tales ecuaciones para cada uno de los puntos del sistema y sumándolas término por término, obtenemos

,

. (2)

La igualdad expresa el teorema sobre el cambio en la energía cinética del sistema en forma diferencial.

Si la expresión resultante se relaciona con el período de tiempo elemental durante el cual ocurrió el movimiento en cuestión, podemos obtener una segunda formulación para la forma diferencial del teorema: la derivada temporal de la energía cinética del sistema mecánico es igual a la suma de los poderes de todas las fuerzas externas () e internas (), es decir,

Las formas diferenciales del teorema sobre el cambio de energía cinética se pueden utilizar para compilar ecuaciones diferenciales de movimiento, pero esto rara vez se hace, porque existen métodos más convenientes.

Habiendo integrado ambos lados de la igualdad (2) dentro de los límites correspondientes al movimiento del sistema desde alguna posición inicial, donde la energía cinética es igual a , hasta una posición donde el valor de la energía cinética se vuelve igual , tendrá

La ecuación resultante expresa el teorema sobre el cambio de energía cinética en su forma final: el cambio en la energía cinética del sistema durante algún movimiento es igual a la suma del trabajo realizado en este movimiento de todas las fuerzas externas e internas aplicadas al sistema.

A diferencia de los teoremas anteriores, las fuerzas internas no quedan excluidas de las ecuaciones. De hecho, si y son las fuerzas de interacción entre los puntos y el sistema (ver Fig. 51), entonces . Pero al mismo tiempo, el punto puede moverse hacia y el punto hacia. El trabajo realizado por cada fuerza será entonces positivo y la suma del trabajo no será cero. Un ejemplo es el fenómeno del retroceso. Las fuerzas internas (fuerzas de presión), que actúan tanto sobre el proyectil como sobre las partes rodantes, realizan aquí un trabajo positivo. La suma de estos trabajos, que no es igual a cero, cambia la energía cinética del sistema desde el valor al inicio del disparo al valor al final.

Otro ejemplo: dos puntos conectados por un resorte. Cuando la distancia entre puntos cambia, las fuerzas elásticas aplicadas a los puntos funcionarán. Pero si el sistema consta de cuerpos absolutamente rígidos y las conexiones entre ellos son inmutables, no elásticas e ideales, entonces el trabajo de las fuerzas internas será igual a cero y pueden ignorarse y no mostrarse en absoluto en el diagrama de diseño.

Consideremos dos casos especiales importantes.

1) sistema inmutable. Inmutable Llamaremos a un sistema en el que las distancias entre los puntos de aplicación de fuerzas internas no cambian cuando el sistema se mueve. En particular, un sistema de este tipo es un cuerpo absolutamente rígido o un hilo inextensible.

Fig.51

Sean dos puntos de un sistema inmutable (Fig. 51), que actúan entre sí con fuerzas y (), tienen velocidades y en el momento. Luego, durante un período de tiempo dt estos puntos harán movimientos elementales y , dirigido a lo largo de los vectores y . Pero dado que el segmento es inmutable, entonces, según el conocido teorema de la cinemática, la proyección de vectores y , y, por tanto, tanto los desplazamientos como la dirección del segmento serán iguales entre sí, es decir . Entonces el trabajo elemental de fuerzas será idéntico en magnitud y de signo opuesto y en total dará cero. Este resultado es válido para todas las fuerzas internas para cualquier movimiento del sistema.

De aquí concluimos que Para un sistema inmutable, la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas internas es cero. y las ecuaciones toman la forma

2) Sistema con conexiones ideales. Consideremos un sistema al que se imponen conexiones que no cambian con el tiempo. Dividamos todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre puntos del sistema en activo Y reacciones de conexión. Entonces

,

¿Dónde está actuando el trabajo elemental? k- El punto del sistema de fuerzas activas externas e internas, a es el trabajo elemental de reacciones impuestas en un mismo punto por conexiones externas e internas.

Como vemos, el cambio en la energía cinética del sistema depende del trabajo y de las fuerzas activas y reacciones de los enlaces. Sin embargo, es posible introducir el concepto de sistemas mecánicos "ideales" en los que la presencia de conexiones no afecta el cambio en la energía cinética del sistema durante su movimiento. Para tales conexiones, obviamente se debe cumplir la siguiente condición:

Si para las conexiones que no cambian con el tiempo, la suma del trabajo realizado por todas las reacciones durante un desplazamiento elemental del sistema es igual a cero, entonces dichas conexiones se llaman ideal. Para un sistema mecánico al que sólo se le imponen conexiones ideales que no cambian con el tiempo, obviamente tendremos

Así, el cambio en la energía cinética de un sistema con conexiones ideales que no cambian con el tiempo durante cualquier movimiento del mismo es igual a la suma del trabajo sobre este movimiento aplicado al sistema externo e interno. fuerzas activas.

El sistema mecánico se llama conservador(su energía se conserva, por así decirlo, y no cambia), si para él existe una integral de energía

o (3)

Es Ley de conservación de la energía mecánica: cuando un sistema se mueve en un campo potencial, su energía mecánica (la suma de la potencial y la cinética) permanece inalterada y constante todo el tiempo.

Un sistema mecánico será conservador si las fuerzas que actúan sobre él son potenciales, por ejemplo la gravedad, las fuerzas elásticas. En sistemas mecánicos conservadores, la integral de energía se puede utilizar para comprobar la exactitud de las ecuaciones diferenciales de movimiento. Si el sistema es conservador y no se cumple la condición (3), entonces se cometió un error al compilar las ecuaciones de movimiento.

La integral de energía se puede utilizar para comprobar la exactitud de las ecuaciones de otra forma, sin calcular la derivada. Para ello, tras realizar la integración numérica de las ecuaciones de movimiento, se calcula el valor de la energía mecánica total para dos momentos de tiempo diferentes, por ejemplo, inicial y final. Si la diferencia de valores resulta ser comparable a los errores de cálculo, esto indicará la exactitud de las ecuaciones utilizadas.

Todos los teoremas anteriores permitieron excluir las fuerzas internas de las ecuaciones de movimiento, pero todas las fuerzas externas, incluidas las reacciones de conexiones externas previamente desconocidas, se mantuvieron en las ecuaciones. El valor práctico del teorema sobre el cambio de energía cinética es que, dadas las conexiones ideales que no cambian con el tiempo, permitirá excluir de las ecuaciones de movimiento. Todo reacciones de conexiones previamente desconocidas.

sistema mecánico

Energía cinética de un sistema mecánico. se llama suma aritmética de las energías cinéticas de todos sus puntos materiales

Calcular la energía cinética de un sólido.

1. Movimiento hacia adelante

Como se sabe, en el caso del movimiento de traslación, las velocidades de todos los puntos del cuerpo en el mismo momento son iguales, entonces (83) se puede representar como

. (84)

En el movimiento de traslación de un cuerpo, su energía cinética es igual a la mitad del producto de la masa por el cuadrado de la velocidad del centro de masa.

2. Movimiento de rotación de un cuerpo rígido.

PAG Durante el movimiento de rotación, la velocidad de cada punto del cuerpo.

. (85)

Sustituyamos (85) en (83):

.

Teniendo en cuenta (59), obtenemos

. (86)

Durante el movimiento de rotación, la energía cinética es igual a la mitad del producto del momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación por el cuadrado de la velocidad angular.

3 . movimiento plano

El movimiento plano se puede representar como una rotación alrededor del polo (por ejemplo, el centro de masa) y un movimiento a lo largo del polo, luego

. (87)

La energía cinética de un cuerpo en movimiento plano es igual a la suma de las energías cinéticas del movimiento de traslación junto con el centro de masa y el movimiento de rotación con respecto al centro de masa.

Teorema: El cambio en la energía cinética de un sistema mecánico en un cierto desplazamiento es igual a la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas internas y externas del sistema en el mismo desplazamiento.

. (88)

Notas:

1. El valor introducido de la energía cinética del sistema, a diferencia del impulso del sistema y el momento cinético, es una cantidad escalar. Donde:

q=0 para movimiento de rotación y reposo;

k oh=0 durante el movimiento de traslación o en reposo;

t

Así, a diferencia del teorema sobre el cambio de momento y momento angular, este teorema es adecuado para estudiar cualquier tipo de movimiento, ya que t=0 sólo para un sistema estacionario.

2. A diferencia de los teoremas mencionados, este teorema tiene en cuenta la acción de las fuerzas internas del sistema.

Algunos casos de cálculo del trabajo.

1. Trabajo del momento de fuerza.METRO z con respecto al eje es igual al producto del momento por el ángulo de rotación  cuerpo con respecto al eje

. (89)

2. Suma de trabajo de fuerzas internas. de un cuerpo absolutamente rígido (indeformable) es siempre cero.

3. Trabajo de par de fricción de rodadura
.

,

Dónde  - coeficiente de fricción de rodadura;

R– radio del cilindro;

s– longitud del arco igual al segmento de la trayectoria recorrida por el centro de masa C a lo largo de la superficie;


- ángulo de rotación de los ejes del cilindro durante el movimiento;

norte– reacción superficial normal;

PAG- gravedad;

F tr– fuerza de fricción por deslizamiento.

Ecuaciones diferenciales de movimiento traslacional, rotacional y plano de un cuerpo rígido.

1. Movimiento hacia adelante

Durante el movimiento de traslación, todos los puntos del cuerpo se mueven a lo largo de las mismas trayectorias y en el mismo momento tienen las mismas aceleraciones. Luego, para describir el movimiento, podemos usar el teorema sobre el movimiento del centro de masa (67). Proyectamos esta ecuación sobre los ejes de coordenadas.

El sistema (90) representa ecuaciones diferenciales de movimiento de traslación de un cuerpo rígido.

2. movimiento rotacional

PAG Un cuerpo rígido gira alrededor de un eje bajo la influencia de fuerzas. La característica dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido es el momento cinético. k z, y la característica de la acción rotacional de la fuerza es el momento de la fuerza con respecto al eje. Por lo tanto, para describir el movimiento de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo, utilizamos el teorema del cambio en el momento angular (81).

. (91)

Durante el movimiento rotacional
, Entonces

,

teniendo en cuenta que I z=constante, al final obtenemos

. (92)

La ecuación (92) es una ecuación diferencial para el movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

ángulo encontrado  determinará la posición de un cuerpo giratorio en un momento dado.

3. movimiento plano

La posición de un cuerpo que realiza un movimiento plano en cualquier momento está determinada por la posición del polo y el ángulo de rotación del cuerpo con respecto al polo. Si tomamos el centro de masa de un cuerpo como polo, entonces la ecuación de su movimiento se puede encontrar usando el teorema sobre el movimiento del centro de masa (67), y el movimiento de rotación con respecto al centro estará determinado por ecuación (92), que también es válida para el movimiento del sistema con respecto al eje que pasa por el centro de masa. Entonces las ecuaciones diferenciales del movimiento plano de un cuerpo rígido tienen la forma

La energía cinética de un sistema mecánico está formada por las energías cinéticas de todos sus puntos:

Derivando cada parte de esta igualdad con respecto al tiempo, obtenemos

Usando la ley básica de la dinámica para Aésimo punto del sistema mk2ik= Fj., llegamos a la igualdad

El producto escalar de la fuerza F y la velocidad v en el punto de su aplicación se llama fuerza poder y denotar R:

Usando esta nueva notación, representamos (11.6) de la siguiente forma:

La igualdad resultante expresa la forma diferencial del teorema sobre el cambio de energía cinética: la tasa de cambio de la energía cinética de un sistema mecánico es igual a la suma j de las potencias de todos los cm que actúan sobre el sistema.

Presentando la derivada F en (8.5) en forma de fracción - y realizando

luego separando las variables obtenemos:

Dónde dT- diferencial de energía cinética, es decir su cambio en un período de tiempo infinitesimal dr, dr k = k dt - movimiento elemental A-ésimos puntos del sistema, es decir movimiento en el tiempo dt.

Producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento elemental dr. sus puntos de aplicación se llaman trabajo basico fuerzas y denotar da:

Usando las propiedades del producto escalar, podemos representar el trabajo elemental de fuerza también en la forma

Aquí ds = dr - longitud del arco de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza, correspondiente a su desplazamiento elemental s/g; A - el ángulo entre las direcciones del vector fuerza F y el vector de desplazamiento elemental c/r; F′ F y , F,- proyecciones del vector de fuerza F sobre los ejes cartesianos; dx, dy, dz - proyecciones sobre los ejes cartesianos del vector de desplazamiento elemental s/g.

Teniendo en cuenta la notación (11.9), la igualdad (11.8) se puede representar de la siguiente forma:

aquellos. el diferencial de energía cinética del sistema es igual a la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Esta igualdad, como (11.7), expresa la forma diferencial del teorema sobre el cambio de energía cinética, pero se diferencia de (11.7) en que no utiliza derivadas, sino incrementos infinitesimales: diferenciales.

Al realizar la integración término por término de la igualdad (11.12), obtenemos

donde se utilizan los siguientes como límites de integración: 7 0 - ¿energía cinética del sistema en un momento dado? 0; 7) - energía cinética del sistema en el momento del tiempo. tx.

Integrales definidas en el tiempo o A(F):

Nota 1. Para calcular el trabajo, a veces es más conveniente utilizar una parametrización de la trayectoria sin arco. EM), y coordinar M(x(t), y(/), z(f)). En este caso, para un trabajo elemental es natural tomar la representación (11.11) y representar la integral curvilínea en la forma:

Teniendo en cuenta la notación (11.14) del trabajo sobre un desplazamiento finito, la igualdad (11.13) toma la forma

y representa la forma final del teorema sobre el cambio de energía cinética de un sistema mecánico.

Teorema 3. El cambio en la energía cinética de un sistema mecánico cuando se mueve desde la posición inicial a la posición final es igual a la suma del trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre los puntos del sistema durante este movimiento.

Comentario 2. El lado derecho de la igualdad (11.16) tiene en cuenta el trabajo. con todas nuestras fuerzas, actuando sobre el sistema, tanto externo como interno. Sin embargo, existen sistemas mecánicos en los que el trabajo total realizado por todas las fuerzas internas es cero. Los egos así llamados sistemas inmutables, en el que las distancias entre puntos materiales que interactúan no cambian. Por ejemplo, un sistema de cuerpos sólidos conectados mediante bisagras sin fricción o hilos flexibles e inextensibles. Para tales sistemas, en igualdad (11.16), es suficiente tener en cuenta solo el trabajo de fuerzas externas, es decir El teorema (11.16) toma la forma: