Решението на проблема:

252 = 242 + 72, което означава, че триъгълникът е правоъгълен и неговата площ е равна на половината от произведението на неговите катети, т.е. S = hс * с: 2, където с е хипотенузата, hс ​​е височината, изтеглена към хипотенузата, тогава hс = = = 6,72 (cm)

Отговор: 6,72 см.

Предназначение на етапа:

Слайд номер 4

“4” - 1 грешен отговор

“3” - отговорите са неверни.

Предлагам да направите:

Слайд номер 5

Предназначение на етапа:

В края на урока:

Следните фрази са написани на дъската:

Урокът е полезен, всичко е ясно.

Все още трябва да работите усилено.

Да, все още е трудно да се учи!

Вижте съдържанието на документа
„Проект за урок по математика „Теорема, обратна на Питагоровата теорема““

Урочен проект „Теорема, обратна на Питагоровата теорема“

Урок по „откриване” на нови знания

Цели на урока:

дейност: развиване на способността на учениците самостоятелно да конструират нови методи на действие въз основа на метода на рефлексивната самоорганизация;

образователен: разширяване на концептуалната база чрез включване на нови елементи в нея.

Етап на мотивация на учебните дейности (5 минути)

Взаимен поздрав на учителя и учениците, проверка на готовността за урока, организиране на вниманието и вътрешната готовност, бързо интегриране на учениците в бизнес ритъма чрез решаване на проблеми с помощта на готови чертежи:

Намерете BC, ако ABCD е ромб.

ABCD е правоъгълник. AB:AD = 3:4. Намерете AD.

Намерете AD.

Намерете AB.

Намерете слънцето.

Отговори на задачи по готови чертежи:

1.BC = 3; 2.BP = 4cm; 3.AB = 3√2cm.

Етап на „откриване“ на нови знания и методи на действие (15 минути)

Предназначение на етапа:формулиране на темата и целите на урока с помощта на въвеждащ диалог (техниката „проблемна ситуация“).

Формулирайте твърдения, противоречащи на данните, и разберете дали са верни:слайд номер 1

В последния случай учениците могат да формулират твърдение, което е противоположно на даденото.

Инструкции за работа по двойки за изучаване на доказателството на теоремата, обратна на Питагоровата теорема.

Инструктирам учениците за начина на дейност, за местоположението на материала.

Задание за двойки: слайд номер 2

Самостоятелна работа по двойки за изучаване на доказателството на теоремата, обратна на Питагоровата теорема. Публична защита на доказателствата.

Една от двойките започва своето представяне с формулиране на теоремата. Провежда се активно обсъждане на доказателството, по време на което един или друг вариант се обосновава с помощта на въпроси от учителя и учениците.

Сравняване на доказателството на теоремата с доказателството на учителя

Учителят работи на дъската, обръщайки се към учениците, които работят в тетрадките си.

дадени: ABC – триъгълник, AB 2 = AC 2 + BC 2

Разберете дали ABC е правоъгълник. Доказателство:

Да разгледаме A 1 B 1 C 1 така, че ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. Тогава, според Питагоровата теорема, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

Тъй като A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, тогава: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, следователно AB 2 = A 1 B 1 2 и AB = A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC от трите страни, откъдето ˂C = ˂C 1 = 90 0, т.е. ABC е правоъгълен. Така че, ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Това твърдение се нарича теорема, обратна на Питагоровата теорема.

Публично изказване на един от учениците за Питагоровите триъгълници (подготвена информация).

Слайд номер 3

След информацията задавам няколко въпроса на учениците.

Питагорови триъгълници ли са следните триъгълници?

с хипотенуза 25 и катет 15;

с крака 5 и 4?

Етап на първична консолидация с произношение във външна реч (10 минути)

Предназначение на етапа:демонстрират приложението на обратната теорема към теоремата на Питагор в процеса на решаване на задачи.

Предлагам да се реши задача No 499 а) от учебника. Един от учениците е поканен на дъската, решава проблема с помощта на учителя и учениците, като произнася решението във външна реч. По време на презентацията на гостуващия студент задавам няколко въпроса:

Как да проверите дали триъгълникът е прав?

Към коя страна ще бъде начертана по-късата надморска височина на триъгълника?

Какъв метод за изчисляване на височината на триъгълник често се използва в геометрията?

Използвайки формулата за изчисляване на площта на триъгълник, намерете желаната височина.

Решението на проблема:

25 2 = 24 2 + 7 2, което означава, че триъгълникът е правоъгълен и неговата площ е равна на половината от произведението на неговите катети, т.е. S = h с * с: 2, където с е хипотенузата, h с е височината, изтеглена към хипотенузата, тогава h с = = = 6,72 (cm)

Отговор: 6,72 см.

Етап на самостоятелна работа със самопроверка по стандарт (10 мин.)

Предназначение на етапа:подобрете независимата дейност в класната стая чрез извършване на самопроверки, научете се да оценявате дейностите, да анализирате и да правите заключения.

Предлага се самостоятелна работа с предложение за адекватна оценка на вашата работа и даване на подходяща оценка.

Слайд номер 4

Критерии за оценка: „5” – всички отговори са верни

“4” - 1 грешен отговор

“3” - отговорите са неверни.

Етапът на информиране на учениците за домашното, инструкции как да го изпълнят (3 минути).

Информирам учениците за домашната им работа, обяснявам как се изпълнява и проверявам разбирането на съдържанието на работата.

Предлагам да направите:

Слайд номер 5

Етап на рефлексия на образователните дейности в урока (2 минути)

Предназначение на етапа:научете учениците да оценяват готовността си да откриват невежеството, да откриват причините за трудностите и да определят резултата от своите дейности.

На този етап каня всеки ученик да избере само едно от момчетата, на които бих искал да благодаря за сътрудничеството и да обясня как точно се прояви това сътрудничество.

Благодарствената дума на учителя е последна. В същото време избирам тези, които са получили най-малко комплименти.

В края на урока:

Следните фрази са написани на дъската:

Урокът е полезен, всичко е ясно.

Има само едно нещо, което е малко неясно.

Все още трябва да работите усилено.

Да, все още е трудно да се учи!

Децата идват и поставят знак (отметка) до думите, които им подхождат най-добре в края на урока.

Според Ван дер Ваерден е много вероятно съотношението в обща форма да е било известно във Вавилон около 18 век пр.н.е. д.

Около 400 г. пр.н.е. пр.н.е., според Прокъл, Платон е дал метод за намиране на питагорейските тройки, съчетавайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема се появява в Елементи на Евклид.

Формулировки

Основната формулировка съдържа алгебрични операции - в правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са равни a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b), а дължината на хипотенузата е c (\displaystyle c), е изпълнено следното отношение:

.

Възможна е и еквивалентна геометрична формулировка, прибягвайки до концепцията за площ на фигура: в правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите, построени върху крака. Теоремата е формулирана в тази форма в Елементите на Евклид.

Обратна теорема на Питагор- твърдение за правоъгълността на всеки триъгълник, чиито дължини на страните са свързани с отношението a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Като следствие, за всяка тройка положителни числа a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c), така че a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), има правоъгълен триъгълник с катети a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c).

Доказателство

В научната литература има записани най-малко 400 доказателства на Питагоровата теорема, което се обяснява както с фундаменталното й значение за геометрията, така и с елементарния характер на резултата. Основните направления на доказателствата са: алгебрично използване на отношенията между елементите на триъгълник (например популярният метод на подобие), методът на площите, има и различни екзотични доказателства (например използване на диференциални уравнения).

Чрез подобни триъгълници

Класическото доказателство на Евклид е насочено към установяване на равенството на площите между правоъгълници, образувани чрез разрязване на квадрата над хипотенузата с височината на правия ъгъл с квадратите над катетите.

Използваната конструкция за доказателството е следната: за правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C (\displaystyle C), квадрати върху катетите и и квадрати върху хипотенузата A B I K (\displaystyle ABIK)височина се изгражда CHи лъча, който го продължава s (\displaystyle s), разделяне на квадрата над хипотенузата на два правоъгълника и . Доказателството има за цел да установи равенството на лицата на правоъгълника A H J K (\displaystyle AHJK)с каре над крака A C (\displaystyle AC); по подобен начин се установява равенството на площите на втория правоъгълник, съставляващ квадрата над хипотенузата, и правоъгълника над другия катет.

Равенство на площите на правоъгълник A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)се установява чрез съответствието на триъгълниците △ A C K ​​​​(\displaystyle \триъгълник ACK)И △ A B D (\displaystyle \триъгълник ABD), площта на всеки от които е равна на половината от площта на квадратите A H J K (\displaystyle AHJK)И A C E D (\displaystyle ACED)съответно във връзка със следното свойство: площта на триъгълник е равна на половината от площта на правоъгълник, ако фигурите имат обща страна, а височината на триъгълника към общата страна е другата страна на правоъгълника. Конгруентността на триъгълниците следва от равенството на двете страни (страни на квадрати) и ъгъла между тях (съставен от прав ъгъл и ъгъл при A (\displaystyle A).

По този начин доказателството установява, че площта на квадрат над хипотенузата, съставен от правоъгълници A H J K (\displaystyle AHJK)И B H J I (\displaystyle BHJI), е равна на сумата от площите на квадратите върху катетите.

Доказателство за Леонардо да Винчи

Методът на площта включва и доказателство, намерено от Леонардо да Винчи. Нека е даден правоъгълен триъгълник △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)с прав ъгъл C (\displaystyle C)и квадрати A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)И A B H J (\displaystyle ABHJ)(виж снимката). В това доказателство отстрани HJ (\displaystyle HJ)на последния от външната страна е построен триъгълник, равен △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC), освен това, отразени както спрямо хипотенузата, така и спрямо височината към нея (т.е. J I = B C (\displaystyle JI=BC)И H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Направо C I (\displaystyle CI)разделя квадрата, построен върху хипотенузата, на две равни части, тъй като триъгълници △ A B C (\displaystyle \триъгълник ABC)И △ J H I (\displaystyle \триъгълник JHI)равни по конструкция. Доказателството установява съответствието на четириъгълниците C A J I (\displaystyle CAJI)И D A B G (\displaystyle DABG), площта на всеки от които се оказва, от една страна, равна на сумата от половината от площите на квадратите на краката и площта на оригиналния триъгълник, от друга страна, половината от площта на квадрата върху хипотенузата плюс площта на първоначалния триъгълник. Общо половината от сумата на площите на квадратите над краката е равна на половината от площта на квадрата над хипотенузата, което е еквивалентно на геометричната формулировка на Питагоровата теорема.

Доказателство по метода на безкрайно малките

Има няколко доказателства, използващи техниката на диференциалните уравнения. По-специално, на Харди се приписва доказателство, използващо безкрайно малки увеличения на краката a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c), и запазване на сходството с оригиналния правоъгълник, тоест осигуряване на изпълнението на следните диференциални отношения:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Използвайки метода за разделяне на променливи, от тях се извежда диференциално уравнение c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), чието интегриране дава отношението c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Приложение на началните условия a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)дефинира константата като 0, което води до твърдението на теоремата.

Квадратната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независими приноси от нарастването на различните крака.

Вариации и обобщения

Подобни геометрични фигури от три страни

Важно геометрично обобщение на Питагоровата теорема е дадено от Евклид в Елементите, преминавайки от площите на квадратите отстрани към площите на произволни подобни геометрични фигури: сумата от площите на такива фигури, построени върху краката, ще бъде равна на площта на подобна фигура, построена върху хипотенузата.

Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)И C (\displaystyle C), построен на крака с дълж a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b)и хипотенуза c (\displaystyle c)Съответно важи следната връзка:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Тъй като според Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), след това готово.

Освен това, ако е възможно да се докаже, без да се използва Питагоровата теорема, че площите на три подобни геометрични фигури от страните на правоъгълен триъгълник удовлетворяват отношението A + B = C (\displaystyle A+B=C), тогава използвайки обратното доказателство на обобщението на Евклид, може да се изведе доказателство на Питагоровата теорема. Например, ако върху хипотенузата построим правоъгълен триъгълник, равен на началния с площ C (\displaystyle C), а отстрани - два подобни правоъгълни триъгълника с площи A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B), тогава се оказва, че триъгълниците от страните се образуват в резултат на разделянето на първоначалния триъгълник на неговата височина, тоест сумата от двете по-малки площи на триъгълниците е равна на площта на третата, по този начин A + B = C (\displaystyle A+B=C)и, прилагайки връзката за подобни фигури, се извежда Питагоровата теорема.

Косинусова теорема

Питагоровата теорема е специален случай на по-общата косинусова теорема, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

къде е ъгълът между страните a (\displaystyle a)И b (\displaystyle b). Ако ъгълът е 90°, тогава cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), а формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.

Свободен триъгълник

Съществува обобщение на Питагоровата теорема за произволен триъгълник, работещо единствено върху съотношението на дължините на страните, смята се, че е установено за първи път от сабийския астроном Табит ибн Кура. В него за произволен триъгълник със страни се вписва равнобедрен триъгълник с основа на страната c (\displaystyle c), като върхът съвпада с върха на оригиналния триъгълник, срещу страната c (\displaystyle c)и ъгли при основата, равни на ъгъла θ (\displaystyle \theta ), обратната страна c (\displaystyle c). В резултат на това се образуват два триъгълника, подобни на оригиналния: първият - със страни a (\displaystyle a), най-отдалечената от него страна на вписания равнобедрен триъгълник и r (\displaystyle r)- странични части c (\displaystyle c); вторият - симетрично на него отстрани b (\displaystyle b)със страната s (\displaystyle s)- съответната част от страната c (\displaystyle c). В резултат на това е изпълнена следната връзка:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

израждаща се в Питагоровата теорема при θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Връзката е следствие от сходството на образуваните триъгълници:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Теорема на Папус за площите

Неевклидова геометрия

Питагоровата теорема се извлича от аксиомите на евклидовата геометрия и не е валидна за неевклидовата геометрия - изпълнението на питагоровата теорема е еквивалентно на постулата на евклидовия паралелизъм.

В неевклидовата геометрия връзката между страните на правоъгълен триъгълник непременно ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник, които ограничават октанта на единичната сфера, имат дължина π / 2 (\displaystyle \pi /2), което противоречи на Питагоровата теорема.

Освен това Питагоровата теорема е валидна в хиперболичната и елиптичната геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието сборът от два ъгъла на триъгълника да е равен на третия.

Сферична геометрия

За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус R (\displaystyle R)(например, ако ъгълът в триъгълника е прав) със страни a , b , c (\displaystyle a,b,c)отношението между страните е:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Това равенство може да се изведе като частен случай на теоремата за сферичен косинус, която е валидна за всички сферични триъгълници:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Където ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- хиперболичен косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \име на оператор (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Където γ (\displaystyle \gamma )- ъгъл, чийто връх е противоположен на страната c (\displaystyle c).

Използване на серията на Тейлър за хиперболичния косинус ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\приблизително 1+x^(2)/2)) може да се покаже, че ако хиперболичен триъгълник намалява (тоест, когато a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)клонят към нула), тогава хиперболичните отношения в правоъгълен триъгълник се доближават до отношението на класическата Питагорова теорема.

Приложение

Разстояние в двумерни правоъгълни системи

Най-важното приложение на Питагоровата теорема е определянето на разстоянието между две точки в правоъгълна координатна система: разстояние s (\displaystyle s)между точки с координати (a, b) (\displaystyle (a,b))И (c, d) (\displaystyle (c,d))равно на:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

За комплексните числа Питагоровата теорема дава естествена формула за намиране на модула на комплексно число - за z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)тя е равна на дължината

Забележително е, че свойството, определено в Питагоровата теорема, е характерно свойство на правоъгълен триъгълник. Това следва от теоремата, обратна на Питагоровата теорема.

Теорема: Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Формулата на Херон

Нека изведем формула, изразяваща равнината на триъгълник чрез дължините на страните му. Тази формула се свързва с името на Херон от Александрия - древногръцки математик и механик, живял вероятно през 1 век сл. н. е. Heron обърна много внимание на практическите приложения на геометрията.

Теорема. Площта S на триъгълник, чиито страни са равни на a, b, c, се изчислява по формулата S=, където p е полупериметърът на триъгълника.

Доказателство.

Дадено е: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. Ъглите A и B са остри. CH - височина.

Докажи:

Доказателство:

Да разгледаме триъгълник ABC, в който AB=c, BC=a, AC=b. Всеки триъгълник има поне два остри ъгъла. Нека A и B са остри ъгли на триъгълник ABC. Тогава основата H на височина CH на триъгълника лежи на страната AB. Нека въведем следното обозначение: CH = h, AH=y, HB=x. по Питагоровата теорема a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, откъдето

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, или (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, и тъй като y + x = c, тогава y- x = (b2 - a2).

Събирайки последните две равенства, получаваме:

2y = +c, откъдето

y= и следователно h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Предмет: Теоремата е обратна на Питагоровата теорема.

Цели на урока: 1) разгледайте теоремата, обратна на теоремата на Питагор; приложението му в процеса на решаване на проблеми; консолидиране на Питагоровата теорема и подобряване на уменията за решаване на проблеми за нейното приложение;

2) развиват логическо мислене, творческо търсене, познавателен интерес;

3) да се култивира у учениците отговорно отношение към ученето и култура на математическата реч.

Тип урок. Урок за усвояване на нови знания.

По време на часовете

І. Организиране на времето

ІІ. Актуализация знания

Урок за менби сеискахзапочнете с четиристишие.

Да, пътят на знанието не е гладък

Но ние знаем от нашите ученически години,

Има повече мистерии, отколкото отговори,

И няма ограничение за търсене!

И така, в последния урок научихте Питагоровата теорема. Въпроси:

За коя фигура е вярна Питагоровата теорема?

Кой триъгълник се нарича правоъгълен?

Изложете Питагоровата теорема.

Как може да се напише Питагоровата теорема за всеки триъгълник?

Кои триъгълници се наричат ​​равни?

Формулирайте критериите за равенство на триъгълниците?

Сега нека направим малко самостоятелна работа:

Решаване на задачи с помощта на чертежи.

№1

(1 б.) Намерете: AB.

№2

(1 б.) Намерете: VS.

№3

( 2 б.)Намерете: AC

№4

(1 точка)Намерете: AC

№5 Дадено от: ABCдромб

(2 b.) AB = 13 cm

AC = 10 cm

Намери вд

Самотест No1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Изучаване нов материал.

Древните египтяни изграждали прави ъгли на земята по този начин: разделяли въжето на 12 равни части с възли, завързвали краищата му, след което въжето се опъвало на земята, така че да се образува триъгълник със страни 3, 4 и 5 дивизии. Ъгълът на триъгълника, който лежеше срещу страната с 5 деления, беше прав.

Можете ли да обясните правилността на тази преценка?

В резултат на търсенето на отговор на въпроса учениците трябва да разберат, че от математическа гледна точка се поставя въпросът: ще бъде ли триъгълникът правоъгълен?

Поставяме проблем: как да определим, без да правим измервания, дали триъгълник с дадени страни ще бъде правоъгълен. Решаването на този проблем е целта на урока.

Запишете темата на урока.

Теорема. Ако сумата от квадратите на двете страни на триъгълник е равна на квадрата на третата страна, тогава триъгълникът е правоъгълен.

Докажете теоремата самостоятелно (направете план за доказателство с помощта на учебника).

От тази теорема следва, че триъгълник със страни 3, 4, 5 е правоъгълен (египетски).

Като цяло, числа, за които равенството е в сила , се наричат ​​Питагорови тройки. А триъгълниците, чиито дължини на страните са изразени чрез питагорови тройки (6, 8, 10), са питагорови триъгълници.

Консолидация.

защото , тогава триъгълник със страни 12, 13, 5 не е правоъгълен.

защото , тогава триъгълник със страни 1, 5, 6 е правоъгълен.

№ 430 (a, b, c)

( - не е)

Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката

между страните на правоъгълен триъгълник.

Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстено.

Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.

Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:

В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,

построен на крака.

Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.

В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.

Тоест, означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника с ° С, и дължините на краката през аИ b:

И двете формулировки Питагорова теоремаса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така

изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и

чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.

Обратна теорема на Питагор.

Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава

правоъгълен триъгълник.

Или с други думи:

За всяка тройка положителни числа а, bИ ° С, така че

има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза ° С.

Питагорова теорема за равнобедрен триъгълник.

Питагорова теорема за равностранен триъгълник.

Доказателства на Питагоровата теорема.

В момента в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теорема

Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие

може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.

Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:

доказателство метод на площта, аксиоматиченИ екзотични доказателства(Например,

като се използва диференциални уравнения).

1. Доказателство на Питагоровата теорема с помощта на подобни триъгълници.

Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства

директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигура.

Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С. Нека начертаем височината от ° Си означават

нейната основа чрез з.

Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C в два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBHподобен ABC.

Чрез въвеждане на нотацията:

получаваме:

,

което съответства на -

Сгъната а 2 и b 2, получаваме:

или , което трябваше да се докаже.

2. Доказателство на Питагоровата теорема чрез метода на площта.

Доказателствата по-долу, въпреки привидната си простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях

използват свойства на площта, чиито доказателства са по-сложни от доказателството на самата Питагорова теорема.

• Доказателство чрез еквикомплементарност.

Нека подредим четири равни правоъгълника

триъгълник, както е показано на фигурата

на дясно.

Четириъгълник със страни ° С- квадрат,

тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и

ъгъл разгънат - 180°.

От една страна, площта на цялата фигура е равна на

площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и

Q.E.D.

3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.

​

Разглеждайки чертежа, показан на фигурата и

гледайки как се сменя странатаа, ние можем

напишете следната връзка за безкрайно

малък странични увеличениясИ а(използвайки прилика

триъгълници):

Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:

По-общ израз за промяната на хипотенузата в случай на увеличения от двете страни:

Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:

Така стигаме до желания отговор:

Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната

пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата

приноси от нарастването на различни крака.

Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение

(в този случай крака b). Тогава за константата на интегриране получаваме: