Системи диференциални уравнения, методи на интегриране. Как да решим система от диференциални уравнения с помощта на операционния метод? Частни решения на система от диференциални уравнения

Много системи от диференциални уравнения, както хомогенни, така и нехомогенни, могат да бъдат сведени до едно уравнение за една неизвестна функция. Нека демонстрираме метода с примери.

Пример 3.1.Решете системата

Решение. 1) Разграничаване по Tпърво уравнение и използване на второто и третото уравнение за заместване И , намираме

Ние диференцираме полученото уравнение по отношение на отново

1) Ние създаваме система

От първите две уравнения на системата изразяваме променливите И през
:

Нека заместим намерените изрази за И в третото уравнение на системата

И така, за да намерим функцията
получава диференциално уравнение от трети ред с постоянни коефициенти

.

2) Интегрираме последното уравнение по стандартния метод: съставяме характеристичното уравнение
, намерете корените му
и конструирайте общо решение под формата на линейна комбинация от експоненциали, като вземете предвид кратността на един от корените:.

3) След това намерете двете останали функции
И
, диференцираме получената функция два пъти

Използвайки връзки (3.1) между функциите на системата, възстановяваме останалите неизвестни

.

Отговор. ,
,.

Може да се окаже, че всички известни функции с изключение на една са изключени от системата от трети ред дори с едно диференциране. В този случай редът на диференциалното уравнение за намирането му ще бъде по-малък от броя на неизвестните функции в оригиналната система.

Пример 3.2.Интегрирайте системата

(3.2)

Решение. 1) Разграничаване по първото уравнение, намираме

Изключване на променливи И от уравнения

ще имаме уравнение от втори ред по отношение на

(3.3)

2) От първото уравнение на системата (3.2) имаме

(3.4)

Замествайки в третото уравнение на системата (3.2) намерените изрази (3.3) и (3.4) за И , получаваме диференциално уравнение от първи ред за определяне на функцията

Интегрирайки това нехомогенно уравнение с постоянни коефициенти от първи ред, намираме
Използвайки (3.4), намираме функцията

Отговор.
,,
.

Задача 3.1. Решете хомогенни системи, като ги сведете до едно диференциално уравнение.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Решаване на системи от линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти чрез намиране на фундаментална система от решения

Общото решение на система от линейни хомогенни диференциални уравнения може да се намери като линейна комбинация от фундаменталните решения на системата. В случай на системи с постоянни коефициенти, методите на линейната алгебра могат да се използват за намиране на фундаментални решения.

Пример 3.3.Решете системата

(3.5)

Решение. 1) Нека пренапишем системата в матрична форма

. (3.6)

2) Ще търсим фундаментално решение на системата под формата на вектор
. Заместващи функции
в (3.6) и намаляване с , получаваме

, (3.7)

това е числото трябва да бъде собствена стойност на матрицата
, и векторът съответния собствен вектор.

3) От курса на линейната алгебра е известно, че системата (3.7) има нетривиално решение, ако нейният детерминант е равен на нула

,

това е . От тук намираме собствените стойности
.

4) Намерете съответните собствени вектори. Заместване на първата стойност в (3.7)
, получаваме система за намиране на първия собствен вектор

От тук получаваме връзката между неизвестните
. Достатъчно е да изберем едно нетривиално решение. Вярвайки
, Тогава
, тоест векторът е собствена стойност на собствената стойност
, и вектора на функцията
фундаментално решение на дадена система от диференциални уравнения (3.5). По същия начин, когато замествате втория корен
в (3.7) имаме матрично уравнение за втория собствен вектор
. Откъде намираме връзката между неговите компоненти?
. Така имаме второто фундаментално решение

.

5) Общото решение на система (3.5) се конструира като линейна комбинация от двете получени фундаментални решения

или в координатна форма

.

Отговор.

.

Задача 3.2. Решавайте системи чрез намиране на основната система от решения.

Система от този тип се нарича нормална система от диференциални уравнения (SNDU). За нормална система от диференциални уравнения можем да формулираме теорема за съществуване и уникалност, същата като за диференциално уравнение.

Теорема. Ако функциите са дефинирани и непрекъснати върху отворено множество и съответните частни производни също са непрекъснати върху, тогава системата (1) ще има решение (2)

и при наличие на начални условия (3)

това решение ще бъде единственото.

Тази система може да бъде представена като:

Системи линейни диференциални уравнения

Определение. Системата от диференциални уравнения се нарича линеен , ако е линеен по отношение на всички неизвестни функции и техните производни.

(5)

Общ вид на системата от диференциални уравнения

Ако е дадено началното условие: , (7)

тогава решението ще бъде уникално, при условие че векторната функция е непрекъсната и коефициентите на матрицата също са непрекъснати функции.

Нека въведем линеен оператор, тогава (6) може да бъде пренаписано като:

ако тогава се извиква операторното уравнение (8). хомогенен и има формата:

Тъй като операторът е линеен, за него са изпълнени следните свойства:

решаване на уравнение (9).

Последица.Линейна комбинация, решение (9).

Ако са дадени решения (9) и те са линейно независими, тогава всички линейни комбинации от вида: (10) само при условие, че всички. Това означава, че детерминантата, съставена от решения (10):

. Тази детерминанта се нарича Определителят на Вронски за система от вектори.

Теорема 1. Ако детерминантата на Вронски за линейна хомогенна система (9) с коефициенти, непрекъснати на интервал, е равна на нула поне в една точка, тогава решенията са линейно зависими от този интервал и следователно детерминантата на Вронски е равна на нула на целия интервал.

Доказателство: Тъй като са непрекъснати, системата (9) удовлетворява условието Теореми за съществуване и уникалност, следователно началното условие определя единственото решение на система (9). Детерминантата на Вронски в точка е равна на нула, следователно има нетривиална система, за която е валидно следното: Съответната линейна комбинация за друга точка ще има формата и удовлетворява хомогенни начални условия, следователно съвпада с тривиалното решение, тоест линейно зависима и детерминантата на Вронски е равна на нула.

Определение. Множеството от решения на система (9) се нарича фундаментална система от решения ако детерминантът на Вронски не изчезва в нито една точка.

Определение. Ако за хомогенна система (9) началните условия са дефинирани по следния начин - тогава системата от решения се нарича нормален фундаментален система за вземане на решения .

Коментирайте.Ако е фундаментална система или нормална фундаментална система, тогава линейната комбинация е общото решение (9).

Теорема 2. Линейна комбинация от линейно независими решения на хомогенна система (9) с коефициенти, непрекъснати на интервал, ще бъде общо решение (9) на същия интервал.

Доказателство: Тъй като коефициентите са непрекъснати, системата удовлетворява условията на теоремата за съществуване и уникалност. Следователно, за да се докаже теоремата, е достатъчно да се покаже, че чрез избиране на константи е възможно да се удовлетвори някакво произволно избрано начално условие (7). Тези. може да бъде удовлетворено от векторното уравнение:. Тъй като е общо решение на (9), системата е относително разрешима, тъй като и всички са линейно независими. Ние го дефинираме еднозначно и тъй като сме линейно независими, тогава.

Теорема 3. Ако това е решение на система (8), решение на система (9), тогава + ще има и решение на (8).

Доказателство: Според свойствата на линейния оператор: 

Теорема 4. Общото решение (8) на интервал с коефициенти и десни части, непрекъснати на този интервал, е равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система (9) и частното решение на нехомогенната система (8 ).

Доказателство: Тъй като условията на теоремата за съществуване и уникалност са изпълнени, следователно остава да се докаже, че тя ще удовлетворява произволно дадена начална стойност (7), т.е. . (11)

За система (11) винаги е възможно да се определят стойностите на . Това може да се направи като основна система за вземане на решения.

Задача на Коши за диференциално уравнение от първи ред

Формулиране на проблема.Спомнете си, че решението на обикновено диференциално уравнение от първи ред

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

се нарича диференцируема функция y(t), която, когато се замести в уравнение (5.1), го превръща в идентичност. Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива. Процесът на намиране на решения на диференциално уравнение обикновено се нарича интегриране на това уравнение.

Въз основа на геометричния смисъл на производната y", отбелязваме, че уравнение (5.1) определя във всяка точка (t, y) в равнината на променливите t, y стойността f(t, y) на тангенса на ъгъла на наклон (към ос 0t) на графиката на решението, минаваща през тази точка, ще се нарича ъглов коефициент (фиг. 5.1). (t,y) задаваме посоката на допирателната, определена от стойността f(t,y), използвайки определен вектор ), тогава получаваме така нареченото поле на посоката (фиг. 5.2, а). геометрично, задачата за интегриране на диференциални уравнения е да се намерят интегрални криви, които във всяка точка имат дадена допирателна посока (фиг. 5.2, б), за да изберете едно конкретно решение от семейството на решенията на диференциалното уравнение (5.1), задайте начално състояние

y(t 0)=y 0 (5.2)

Тук t 0 е някаква фиксирана стойност на аргумента t, а 0 има стойност, наречена начална стойност. Геометричната интерпретация на използването на началното условие е да се избере от семейство интегрални криви кривата, която минава през фиксирана точка (t 0, y 0).

Проблемът за намиране за t>t 0 на решение y(t) на диференциалното уравнение (5.1), удовлетворяващо началното условие (5.2), ще се нарича проблем на Коши. В някои случаи поведението на решението за всички t>t 0 представлява интерес. По-често обаче те се ограничават до определяне на решението на краен сегмент.

Интегриране на нормални системи

Един от основните методи за интегриране на нормална DE система е методът за редуциране на системата до един DE от по-висок порядък. (Обратният проблем - преходът от дистанционното управление към системата - беше разгледан по-горе с помощта на пример.) Техниката на този метод се основава на следните съображения.

Нека е дадена нормална система (6.1). Нека диференцираме всяко уравнение, например първото, по отношение на x:

Замествайки в това равенство стойностите на производните от система (6.1), получаваме

или накратко,

Отново диференциране на полученото равенство и замяна на стойностите на производните от система (6.1), получаваме

Продължавайки този процес (диференциране - заместване - получаване), намираме:

Нека съберем получените уравнения в система:

От първите (n-1) уравнения на системата (6.3) изразяваме функциите y 2, y 3, ..., y n чрез x, функцията y 1 и нейните производни y" 1, y" 1,. .., y 1 (n -1) . Получаваме:

Заместваме намерените стойности на y 2, y 3,..., y n в последното уравнение на системата (6.3). Нека получим DE от n-ти ред по отношение на желаната функция. Нека нейното общо решение е

Диференцирайте го (n-1) пъти и заменете стойностите на производните в уравненията на системата (6.4), намираме функциите y 2, y 3,..., y n.

Пример 6.1. Решете система от уравнения

Решение: Нека диференцираме първото уравнение: y"=4y"-3z". Заместете z"=2y-3z в полученото равенство: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z. Нека създадем система от уравнения:

От първото уравнение на системата изразяваме z чрез y и y":

Заместваме стойността z във второто уравнение на последната система:

т.е. y""-y"-6y=0. Получихме един LOD от втори ред. Решете го: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 и - общо решение

уравнения Намерете функцията z. Заместваме стойностите на y и в израза z чрез y и y" (формула (6.5)). Получаваме:

По този начин общото решение на тази система от уравнения има формата

Коментирайте. Системата от уравнения (6.1) може да се реши по метода на интегрируемите комбинации. Същността на метода е, че чрез аритметични операции от уравненията на дадена система се образуват така наречените интегрируеми комбинации, т.е. лесно интегрируеми уравнения по отношение на нова неизвестна функция.

Нека илюстрираме техниката на този метод със следния пример.

Пример 6.2. Решете системата от уравнения:

Решение: Нека съберем дадените уравнения член по член: x"+y"=x+y+2, или (x+y)"=(x+y)+2. Нека обозначим x+y=z. Тогава имаме z"=z+2 . Решаваме полученото уравнение:

Получихме т.нар първи интеграл на системата. От него можете да изразите една от търсените функции чрез друга, като по този начин намалите броя на търсените функции с една. Например, Тогава първото уравнение на системата ще приеме формата

След като намерим x от него (например, използвайки заместването x=uv), ще намерим и y.

Коментирайте.Тази система „позволява“ да се образува друга интегрируема комбинация: Поставяйки x - y = p, имаме:, или Имайки два първи интеграла на системата, т.е. И лесно се намира (чрез добавяне и изваждане на първите интеграли), че

Линеен оператор, свойства. Линейна зависимост и независимост на векторите. Детерминанта на Вронски за системата LDE.

Линеен диференциален оператор и неговите свойства.Наборът от функции, имащи на интервала ( а , b ) не по-малко н производни, образува линейно пространство. Помислете за оператора Л н (г ), който показва функцията г (х ), имащи производни, във функция, имаща к - н производни:

Използване на оператор Л н (г ) нехомогенно уравнение (20) може да се запише, както следва:

Л н (г ) = f (х );

хомогенното уравнение (21) приема формата

Л н (г ) = 0);

Теорема 14.5.2. Диференциален оператор Л н (г ) е линеен оператор. Документследва пряко от свойствата на производните: 1. Ако ° С = const, тогава 2. Нашите по-нататъшни действия: първо проучете как работи общото решение на линейното хомогенно уравнение (25), след това нехомогенното уравнение (24) и след това научете как да решавате тези уравнения. Нека започнем с концепциите за линейна зависимост и независимост на функциите от интервал и да дефинираме най-важния обект в теорията на линейните уравнения и системи - детерминантата на Вронски.

Определителят на Вронски. Линейна зависимост и независимост на система от функции.Деф. 14.5.3.1.Функционална система г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) е наречен линейно зависимина интервала ( а , b ), ако има набор от постоянни коефициенти, които не са равни на нула по едно и също време, така че линейната комбинация от тези функции е идентично равна на нула на ( а , b ): за. Ако равенството за е възможно само ако системата от функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) е наречен линейно независимина интервала ( а , b ). С други думи, функциите г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) линейно зависимина интервала ( а , b ), ако има равно на нула на ( а , b ) тяхната нетривиална линейна комбинация. Функции г 1 (х ),г 2 (х ), …, г н (х ) линейно независимина интервала ( а , b ), ако само тяхната тривиална линейна комбинация е идентично равна на нула на ( а , b ). Примери: 1. Функции 1, х , х 2 , х 3 са линейно независими на всеки интервал ( а , b ). Тяхната линейна комбинация - полином на степен - не може да има върху ( а , b ) повече от три корена, така че равенството = 0 за е възможно само когато Пример 1 лесно се обобщава към функционална система 1, х , х 2 , х 3 , …, х н . Тяхната линейна комбинация - полином от степен - не може да има върху ( а , b ) Повече ▼ н корени. 3. Функциите са линейно независими на всеки интервал ( а , b ), Ако . Наистина, ако, например, тогава равенството се извършва в една точка .4. Функционална система също е линейно независим, ако числата к аз (аз = 1, 2, …, н ) са различни по двойки, но прякото доказателство за този факт е доста тромаво. Както показват горните примери, в някои случаи линейната зависимост или независимост на функциите се доказва просто, в други случаи това доказателство е по-сложно. Следователно е необходим прост универсален инструмент, който ще отговори на въпроса за линейната зависимост на функциите. Такъв инструмент - Определителят на Вронски.

Деф. 14.5.3.2. Детерминанта на Вронски (Wronskian)системи н - 1 диференцируеми функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) се нарича детерминанта

.

14.5.3.3 Теорема за Вронскиан на линейно зависима система от функции. Ако системата от функции г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) линейно зависимина интервала ( а , b ), тогава Wronskian на тази система е идентично равен на нула на този интервал. Документ. Ако функциите г 1 (х ), г 2 (х ), …, г н (х ) са линейно зависими от интервала ( а , b ), тогава има числа , поне едно от които е различно от нула, така че

Да разграничим по х равенство (27) н - 1 път и създайте система от уравнения Ще разглеждаме тази система като хомогенна линейна система от алгебрични уравнения по отношение на. Детерминантата на тази система е детерминантата на Wronski (26). Тази система има нетривиално решение, следователно във всяка точка нейният детерминант е равен на нула. Така, У (х ) = 0 при , т.е. при ( а , b ).

Матрично представяне на система от обикновени диференциални уравнения (SODE) с постоянни коефициенти

Линеен хомогенен SODE с постоянни коефициенти $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right $,

където $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\наляво(x\надясно),\; \lточки,\; y_(n) \left(x\right)$ -- необходимите функции на независимата променлива $x$, коефициенти $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- ние представяме дадените реални числа в матрична нотация:

1. матрица на необходимите функции $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. матрица на производни решения $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(масив)\right)$;
3. Матрица на SODE коефициент $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Сега, въз основа на правилото за матрично умножение, този SODE може да бъде записан под формата на матрично уравнение $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Общ метод за решаване на SODE с постоянни коефициенти

Нека има матрица от някои числа $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

Решението на SODE се намира в следната форма: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. В матрична форма: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

От тук получаваме:

Сега на матричното уравнение на този SODE може да се даде формата:

Полученото уравнение може да бъде представено по следния начин:

Последното равенство показва, че векторът $\alpha $ с помощта на матрицата $A$ се трансформира в паралелен вектор $k\cdot \alpha $. Това означава, че векторът $\alpha $ е собствен вектор на матрицата $A$, съответстващ на собствената стойност $k$.

Числото $k$ може да се определи от уравнението $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Това уравнение се нарича характеристично.

Нека всички корени $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ на характеристичното уравнение са различни. За всяка стойност $k_(i) $ от системата $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ матрица от стойности ​​може да се дефинира $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Една от стойностите в тази матрица е избрана на случаен принцип.

И накрая, решението на тази система в матрична форма е написано, както следва:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

където $C_(i) $ са произволни константи.

Задача

Решете системата DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(масив)\right $.

Записваме системната матрица: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

В матрична форма този SODE се записва по следния начин: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (масив)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Получаваме характеристичното уравнение:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, тоест $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ дясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0,\]

тоест $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Нека създадем система за изчисляване на $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ вдясно)) ) \end(array)\right)$ за $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (масив)\вдясно)=0, \]

тоест $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) ) =0$.

Поставяйки $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, получаваме $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Получаваме решението на SODE в матрична форма:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \край (масив)\десен).\]

В обичайната форма решението на SODE има формата: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.

Основни понятия и дефиниции Най-простият проблем за динамиката на точка води до система от диференциални уравнения: дадени са силите, действащи върху материалната точка; намерете закона за движение, т.е. намерете функциите x = x(t), y = y(t), z = z(t), изразяващи зависимостта на координатите на движеща се точка от времето. Получената система най-общо има формата Тук x, y, z са координатите на движещата се точка, t е времето, f, g, h са известни функции на техните аргументи. Система от тип (1) се нарича канонична. Обръщайки се към общия случай на система от m диференциални уравнения с m неизвестни функции на аргумента t, ние наричаме система от формата, разрешена по отношение на по-високи производни, канонична. Система от уравнения от първи ред, разрешени по отношение на производните на желаните функции, се нарича нормална. Ако вземем нови спомагателни функции, тогава общата канонична система (2) може да бъде заменена с еквивалентна нормална система, състояща се от уравнения. Следователно е достатъчно да се вземат предвид само нормалните системи. Например едно уравнение е специален случай на каноничната система. Поставяйки ^ = y, по силата на първоначалното уравнение ще имаме В резултат на това получаваме нормална система от уравнения СИСТЕМИ ОТ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод, еквивалентен на оригиналното уравнение. Определение 1. Решение на нормалната система (3) на интервала (a, b) на промяна на аргумента t е всяка система от n функции, диференцируеми на интервала, която превръща уравненията на система (3) в идентичности по отношение на t на интервала (a, b) се формулира по следния начин: намира се решение (4) на системата, което удовлетворява при t = на началните условия на теорема 1 (съществуване и единственност на решението). чрез задачите на Which). Нека имаме нормална система от диференциални уравнения и нека функциите са дефинирани в някаква (n + 1) -мерна област на промените в променливите t, X\, x2, ..., xn. Ако има околност ft, в която функциите ft са непрекъснати в множеството от аргументи и имат ограничени частични производни по отношение на променливите X\, x2, ..., xn, тогава има интервал до - A0 от промяна t, на която има единствено решение на нормалната система (3), което отговаря на началните условия Определение 2. Система от n функции, зависеща от tun произволни константи, се нарича общо решение на нормалната система (3) в някои област Π на съществуване и уникалност на решението на задачата на Коши, ако 1) за всякакви допустими стойности системата от функции (6) превръща уравнения (3) в идентичности, 2) в областта Π функции (6) решават всяка задача на Коши. Решенията, получени от общото при конкретни стойности на константите, се наричат ​​частни решения. За по-голяма яснота, нека се обърнем към нормалната система от две уравнения. Ще разгледаме системата от стойности t> X\, x2 като правоъгълни декартови координати на точка в триизмерното пространство, отнесена към координатната система Otx\x2. Решението на системата (7), което приема стойности при t - до, определя в пространството определена линия, минаваща през точката) - Тази линия се нарича интегрална крива на нормалната система (7). Проблемът на Коши за система (7) получава следната геометрична формулировка: в пространството на променливите t> X\, x2 да се намери интегралната крива, минаваща през дадена точка Mo(to, x1, x2) (фиг. 1). Теорема 1 установява съществуването и уникалността на такава крива. На нормалната система (7) и нейното решение може да се даде и следната интерпретация: ще разглеждаме независимата променлива t като параметър, а решението на системата като параметрични уравнения на крива в равнината x\Ox2. Тази равнина на променливите X\X2 се нарича фазова равнина. Във фазовата равнина решението (0 на системата (7), приемащо при t = t0 начални стойности x°(, x2, се изобразява от кривата AB, преминаваща през точката). Тази крива се нарича траектория на система (фазова траектория) е проекционната интегрална крива върху фазовата крива, фазовата траектория се определя еднозначно, но не и обратното 2.1 Метод на елиминиране Един от методите на интегриране е методът на елиминиране по отношение на най-високата производна. към нормалната система (1) може да се каже, че най-общо казано, нормална система от n уравнения от първи ред е еквивалентна на едно уравнение от ред диференциални уравнения. Прави се така. Нека имаме нормална система от диференциални уравнения. Нека диференцираме първото от уравненията (2) по отношение на t. Имаме Заместване на продукта от дясната страна или, накратко, Уравнение (3) отново е диференцирано по отношение на t. Като вземем предвид система (2), получаваме или Продължавайки този процес, намираме Да приемем, че детерминантата (Якобиан на системата от функции е различна от нула за разглежданите стойности. Тогава системата от уравнения, съставена от първото уравнение на системата ( 2) и уравненията ще бъдат разрешими по отношение на неизвестните ще бъдат изразени чрез Въвеждайки намерените изрази в уравнението получаваме едно уравнение от n-ти ред От самия метод на неговото построяване следва, че ако) има решения на системата (2), тогава функцията X\(t) ще бъде решение на уравнение (5). Обратно, нека е решението на уравнение (5). Диференцирайки това решение по отношение на t, ние изчисляваме и заместваме намерените стойности като известни функции. По предположение тази система може да бъде разрешена по отношение на xn като функция на t. Може да се покаже, че системата от функции, конструирана по този начин, представлява решение на системата от диференциални уравнения (2). Пример. Необходимо е да интегрираме системата, като диференцираме първото уравнение на системата, откъдето, използвайки второто уравнение, получаваме линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти с една неизвестна функция. Общото му решение има формата. По силата на първото уравнение на системата намираме функцията. Намерените функции x(t), y(t), както могат лесно да се проверят, за всякакви стойности на C| и C2 отговарят на дадената система. Функциите могат да бъдат представени във вида, от който се вижда, че интегралните криви на системата (6) са спирални линии със стъпка с обща ос x = y = 0, която също е интегрална крива (фиг. 3). ). Елиминирайки параметъра във формули (7), получаваме уравнението, така че фазовите траектории на дадена система са окръжности с център в началото на координатите - проекции на спирални линии върху равнина. Когато A = 0, фазовата траектория се състои от една точка, наречена точка на покой на системата. " Може да се окаже, че функциите не могат да бъдат изразени чрез Тогава няма да получим уравнение от n-ти ред, еквивалентно на оригиналната система. Ето един прост пример. Системата от уравнения не може да бъде заменена с еквивалентно уравнение от втори ред за x\ или x2. Тази система е съставена от двойка уравнения от първи ред, всяко от които е интегрирано независимо, което дава метода на интегрируемите комбинации. Интегрирането на нормални системи от диференциални уравнения dXi понякога се извършва чрез метода на интегрируемите комбинации. Интегрируема комбинация е диференциално уравнение, което е следствие от уравнения (8), но вече е лесно интегрируемо. Пример. Интегрирайте система СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариация на константи Системи линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод 4 Събирайки дадените уравнения член по член, намираме една интегрируема комбинация: Изваждайки член по член от първото уравнение на системата, второто, получаваме втора интегрируема комбинация: откъдето намерихме две крайни уравнения, от които лесно се определя общото решение на системата: Една интегрируема комбинация прави възможно получете едно уравнение, свързващо независимата променлива t и неизвестните функции. Такова крайно уравнение се нарича първи интеграл на системата (8). В противен случай: първият интеграл на система от диференциални уравнения (8) е диференцируема функция, която не е идентично постоянна, но поддържа постоянна стойност на всяка интегрална крива на тази система. Ако са намерени n първи интеграла на система (8) и всички те са независими, т.е. якобианът на системата от функции е различен от нула: Система от диференциални уравнения се нарича линейна, ако е линейна по отношение на неизвестни функции и техните производни включени в уравнението. Система от n линейни уравнения от първи ред, записана в нормална форма, има формата или, в матрична форма, теорема 2. Ако всички функции са непрекъснати на интервал, тогава в достатъчно малка околност на всяка точка., xn) , където), са изпълнени условията на теоремата за съществуване и уникалността на решението на проблема на Каушиа, следователно през всяка такава точка преминава уникална интегрална крива на системата (1). Наистина, в този случай десните части на система (1) са непрекъснати по отношение на набора от аргументи t)x\,x2)... , xn и техните частни производни по отношение на са ограничени, тъй като тези производни са равни на коефициенти, непрекъснати на интервала, тогава системата (2) се записва във вида Ако матрицата F е нула на интервала (a, 6), то системата (2) се нарича линейна. хомогенна и има формата Нека представим някои теореми, които установяват свойствата на решенията на линейни системи. Теорема 3. Ако X(t) е решение на линейна хомогенна система, където c е произволна константа, то е решение на същата система. Теорема 4. Сумата от две решения на хомогенна линейна система от уравнения е решение на една и съща система. Последица. Линейна комбинация с произволни постоянни коефициенти c на решения на линейна хомогенна система от диференциални уравнения е решение на същата система. Теорема 5. Ако X(t) е решение на линейна нехомогенна система - решение на съответната хомогенна система, тогава сумата ще бъде решение на нехомогенната система. Действително, по условие, Използвайки свойството на адитивност на оператора, получаваме Това означава, че сумата е решение на нехомогенната система от уравнения Определение. За векторите където се казва, че са линейно зависими от интервал, ако има постоянни числа, така че at и поне едно от числата a не е равно на нула. Ако идентичността (5) е валидна само за тогава се казва, че векторите са линейно независими от (a, b). Обърнете внимание, че една векторна идентичност (5) е еквивалентна на n идентичности: . Детерминантата се нарича детерминанта на Вронски на система от вектори. Определение. Нека имаме линейна хомогенна система, където е матрица с елементи. Система от n решения на линейна хомогенна система (6), линейно независима от интервала, се нарича фундаментална. Теорема 6. Детерминантата на Вронски W(t) на система от фундаментални решения на интервал на линейна хомогенна система (6) с коефициенти a-ij(t), непрекъснати на интервала a b, е различна от нула във всички точки на интервала (a , 6). Теорема 7 (за структурата на общото решение на линейна хомогенна система). Общото решение в полето на линейна хомогенна система с коефициенти, непрекъснати на интервал, е линейна комбинация от n решения на система (6), линейно независими на интервала a: произволни постоянни числа). Пример. Системата има, както е лесно да се провери, решения Решенията на Аш са линейно независими, тъй като детерминантата на Вронски е различна от нула: „Общото решение на системата има формата или са произволни константи.) 3.1 Фундаментална матрица Квадратна матрица, чиито колони са линейно независими решения на системата (6), се нарича фундаментална матрица на тази система. Лесно е да се провери, че фундаменталната матрица удовлетворява матричното уравнение. Ако X(t) е фундаменталната матрица на системата (6), тогава общото решение на системата може да бъде представено като постоянна матрица-колона с произволни елементи. Матрицата се нарича матрица на Коши представена по следния начин: Теорема 8 (за структурата на общото решение на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения) Общо решение в областта на линейна нехомогенна система от диференциални уравнения с коефициенти, непрекъснати на интервал и десни части fi). (t) е равно на сумата от общото решение на съответната хомогенна система и някое частно решение X(t) на нехомогенната система (2): 3.2. Метод на вариация на константи Ако общото решение на линейна хомогенна система (6) е известно, тогава конкретно решение на нехомогенна система може да се намери чрез метода на вариация на константи (метод на Lag-Rang). Нека има общо решение на хомогенната система (6), тогава dXk и решенията са линейно независими. Ще търсим частно решение на нееднородната система, където са неизвестни функции на t. Диференциране имаме Заместване получаваме Оттогава за дефиницията получаваме система или, в разширена форма, Система (10) е линейна алгебрична система по отношение на 4(0 >, чиято детерминанта е детерминантата на Вронски W(t) на фундамента система от решения. Тази детерминанта е различна от нула навсякъде в интервала, така че системата) има уникално решение, където MO са известни непрекъснати функции. Интегрирайки последните отношения, намираме. Замествайки тези стойности, намираме конкретно решение на система (2): (тук символът се разбира като една от първоизводните за функцията §4. Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Разгледайте линейна система от диференциални уравнения, в които всички коефициенти са постоянни. По-често такава система се интегрира, като се сведе до едно уравнение от по-висок ред и това уравнение също ще бъде линейно с постоянни коефициенти постоянни коефициенти е методът на Ойлер за интегриране на линейни хомогенни уравнения с постоянни коефициенти. Ще търсим решение на системата, където са константите (3) на линейни хомогенни алгебрични уравнения с n неизвестни е необходимо и достатъчно неговият детерминант да е равен на нула: Уравнение (4) се нарича характеристично. От лявата му страна има полином по отношение на A от степен n. От това уравнение определяме тези стойности на A, за които системата (3) има нетривиални решения a\ Ако всички корени на характеристичното уравнение (4) са различни, след това като ги заместим на свой ред в системата ( 3), намираме съответните нетривиални решения на тази система и следователно намираме n решения на оригиналната система от диференциални уравнения (1) във формата, където вторият индекс показва номера на решението, а първият номер на неизвестната функция. Построените по този начин n частични решения на линейната хомогенна система (1) образуват, както може да се провери, фундаментална система от решения на тази система. Следователно общото решение на хомогенната система от диференциални уравнения (1) има формата - произволни константи. Няма да разглеждаме случая, когато характеристичното уравнение има множество корени. М Търсим решение под формата на характеристично уравнение Система (3) за определяне на 01.02 изглежда така: Замествайки получаваме от къде Следователно, приемайки, че намираме следователно Общото решение на тази система: СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ Методи на интегриране Метод на елиминиране Метод на интегрируеми комбинации Системи от линейни диференциални уравнения Фундаментална матрица Метод на вариационни константи Системи от линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти Матричен метод Нека представим и матричния метод за интегриране на хомогенна система (1). Нека запишем системата (1) като матрица с постоянни реални елементи a, j. Нека си припомним някои понятия от линейната алгебра. Вектор g FO се нарича собствен вектор на матрица A, ако числото A се нарича собствена стойност на матрица A, съответстваща на собствения вектор g, и е корен на характеристичното уравнение, където I е матрицата на идентичност. Ще приемем, че всички собствени стойности A„ на матрица A са различни. В този случай собствените вектори са линейно независими и съществува n x n матрица T, която редуцира матрицата A до диагонална форма, т.е., така че колоните на матрицата T са координатите на собствените вектори. Нека въведем следните понятия. Нека B(ξ) е n × n-матрица, елементи 6,;(0 от които са функции на аргумента t, дефиниран в множеството. Матрицата B(f) се нарича непрекъсната на Π, ако всички нейни елементи 6,j (f) са непрекъснати върху Q. Матрица B(*) се казва, че е диференцируема върху Π, ако всички елементи на тази матрица са диференцируеми върху Q. В този случай производната на ^p-матрица B(*) е матрица, чиито елементи са производни на матрицата B(*). Вземайки предвид правилата на матричната алгебра, проверяваме валидността на формулата , то тъй като ^ е нулева матрица. Ако собствените стойности на матрицата A са различни, тогава общото решение на системата (7) има формата където - собствените вектори-колони на матрицата са произволни постоянни числа. Нека въведем нов неизвестен вектор-колона съгласно формулата, където T е матрица, която редуцира матрицата A до диагонална форма. Замествайки получаваме системата Умножавайки двете страни на последното отношение отляво по T 1 и вземайки предвид. че T 1 AT = А, стигаме до системата. Получихме система от n независими уравнения, които лесно могат да бъдат интегрирани: (12) Ето произволни постоянни числа. Чрез въвеждане на единични n-мерни колонни вектори, решението може да бъде представено във формата Тъй като колоните на матрицата T са собствените вектори на матрицата, собственият вектор на матрицата A. Следователно, замествайки (13) в (11), ние получете формула (10): Така, ако матрицата A система от диференциални уравнения (7) има различни собствени стойности, за да получите общо решение на тази система: 1) намерете собствените стойности „ на матрицата като корени на алгебричното уравнение 2) намерете всички собствени вектори 3) напишете общото решение на системата от диференциални уравнения (7), като използвате формулата (10). Пример 2. Решете системата Матричен метод 4 Матрица А на системата има вида 1) Съставете характеристичното уравнение Корените на характеристичното уравнение. 2) Намерете собствените вектори За A = 4 получаваме система, от която = 0|2, така че по подобен начин за A = 1 намираме I 3) Използвайки формула (10), получаваме общо решение на системата от диференциални уравнения. Корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и комплексни. Тъй като по предположение коефициентите ay на системата (7) са реални, характеристичното уравнение ще има реални коефициенти. Следователно, заедно с комплексния корен A, той също ще има корен \*, комплексно спрегнат с A. Лесно е да се покаже, че ако g е собствен вектор, съответстващ на собствената стойност на A, тогава A* също е собствена стойност, към която собственият вектор g* съответства, комплексно спрегнат с g. За комплекс А решението на система (7) taioKe ще бъде комплексно. Реалната част и имагинерната част на това решение са решения на система (7). Собствената стойност A* ще съответства на двойка реални решения. същата двойка като за собствената стойност A. По този начин двойката A, A* от комплексно спрегнати собствени стойности съответства на двойка реални решения на система (7) от диференциални уравнения. Нека са реални собствени стойности, комплексни собствени стойности. Тогава всяко реално решение на система (7) има формата където c са произволни константи. Пример 3. Решете системата -4 Матрица на системата 1) Характеристично уравнение на системата Неговите корени Собствени вектори на матрицата 3) Решение на системата където са произволни комплексни константи. Нека намерим реални решения на системата. Използвайки формулата на Ойлер, получаваме Следователно всяко реално решение на системата има формата на произволни реални числа. Упражнения Интегрирайте системи с помощта на метода на елиминиране: Интегрирайте системи с помощта на метода на интегрираните комбинации: Интегрирайте системи с помощта на матричния метод: Отговори