Отношение на петото число на геометрична прогресия. Геометрична прогресия - Хипермаркет на знанието. Монотонна и постоянна последователност

Математиката е каквохората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите върху аритметичните прогресии, задачите, свързани с понятието геометрична прогресия, също са често срещани при приемните изпити по математика. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да знаете свойствата на геометричните прогресии и да имате добри умения да ги използвате.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Тук са дадени и примери за решаване на типични проблеми., заимствани от задачите на приемните изпити по математика.

Нека първо да отбележим основните свойства на геометричната прогресия и да си припомним най-важните формули и твърдения, свързани с това понятие.

Определение.Числовата редица се нарича геометрична прогресия, ако всяко число, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същото число. Числото се нарича знаменател на геометрична прогресия.

За геометричната прогресияформулите са валидни

, (1)

Където . Формула (1) се нарича формула на общия член на геометрична прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на геометрична прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното геометрично на съседните му членове и .

Забележка, че именно поради това свойство въпросната прогресия се нарича „геометрична“.

Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на суматапърви членове на геометрична прогресиясе прилага формулата

Ако означим , тогава

Където . Тъй като , формула (6) е обобщение на формула (5).

В случай, когато и геометрична прогресиябезкрайно намалява. За изчисляване на суматана всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), можем да покажем, Какво

Където . Тези равенства се получават от формула (7) при условие, че , (първо равенство) и , (второ равенство).

Теорема.Ако, тогава

Доказателство. Ако, тогава

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на проблеми по темата „Геометрична прогресия“.

Пример 1.Дадено е: , и . Намирам .

Решение.Ако приложим формула (5), тогава

Отговор: .

Пример 2.Нека бъде. Намирам .

Решение.Тъй като и , използваме формули (5), (6) и получаваме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) се раздели на първото, тогава или . От това следва, че . Нека разгледаме два случая.

1. Ако, тогава от първото уравнение на системата (9) имаме.

2. Ако , то .

Пример 3.Нека и . Намирам .

Решение.От формула (2) следва, че или . Тъй като , тогава или .

По условие. Въпреки това, следователно. Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения

Ако второто уравнение на системата се раздели на първото, тогава или .

Тъй като уравнението има уникален подходящ корен. В този случай това следва от първото уравнение на системата.

Като вземем предвид формула (7), получаваме.

Отговор: .

Пример 4.Дадено: и . Намирам .

Решение.От тогава.

Тъй като , тогава или

Съгласно формула (2) имаме . В тази връзка от равенството (10) получаваме или .

Въпреки това, по условие, следователно.

Пример 5.Известно е, че. Намирам .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като , тогава или . Защото тогава.

Отговор: .

Пример 6.Дадено: и . Намирам .

Решение.Като вземем предвид формула (5), получаваме

От тогава. Тъй като , и , тогава .

Пример 7.Нека бъде. Намирам .

Решение.По формула (1) можем да запишем

Следователно имаме или . Известно е, че и , следователно и .

Отговор: .

Пример 8.Намерете знаменателя на безкрайна намаляваща геометрична прогресия, ако

И .

Решение. От формула (7) следваИ . От тук и от условията на задачата получаваме система от уравнения

Ако първото уравнение на системата е повдигнато на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор: .

Пример 9.Намерете всички стойности, за които последователността , , е геометрична прогресия.

Решение.Нека и . Съгласно формула (2), която определя основното свойство на геометрична прогресия, можем да напишем или .

От тук получаваме квадратното уравнение, чиито корени саИ .

Да проверим: дали, тогава и ; ако , тогава и .

В първия случай имамеи , а във втория – и .

Отговор: , .

Пример 10.Решете уравнението

, (11)

където и .

Решение. Лявата страна на уравнение (11) е сумата от безкрайна намаляваща геометрична прогресия, в която и , предмет на: и .

От формула (7) следва, Какво . В тази връзка уравнение (11) приема форматаили . Подходящ корен квадратното уравнение е

Отговор: .

Пример 11.П последователност от положителни числаобразува аритметична прогресия, А – геометрична прогресия, какво общо има с . Намирам .

Решение.защото аритметична редица, Че (основното свойство на аритметичната прогресия). Тъй като, тогава или . Това предполага , че геометричната прогресия има формата. Според формула (2), тогава записваме това.

Тъй като и , тогава . В този случай изразътприема формата или . По условие, така че от ур.получаваме уникално решение на разглеждания проблем, т.е. .

Отговор: .

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Нека умножим двете страни на равенството (12) по 5 и получаваме

Ако извадим (12) от получения израз, Че

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формула (7) и получаваме. От тогава.

Отговор: .

Дадените тук примери за решаване на задачи ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката им за приемни изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с геометричната прогресия, Можете да използвате уроци от списъка с препоръчителна литература.

1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.

3. Медински М.М. Пълен курс по начална математика в задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към оригиналния източник.

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nе последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число д (д- разлика в прогресията)	Геометрична прогресия b nе поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията)
Формула за повторение	За всеки естествен н a n + 1 = a n + d	За всеки естествен н b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ти член	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характерно свойство
Сума от първите n члена

Примерни задачи с коментари

Упражнение 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

По условие:

а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21 d .

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви метод (използвайки формулата с n-член)

Според формулата за n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото b 1 = -3,

2-ри метод (използване на повтаряща се формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор : б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

Следователно:

.

Нека заместим данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сумата от първите седемнадесет члена.

За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:

.

Кой от тях е по-удобен за използване в този случай?

По условие формулата за n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Можете веднага да намерите а 1, И а 16без намиране d. Затова ще използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-тия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор : а 22 = -48.

Задача 6

Записани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:

Намерете члена на прогресията, обозначен с x.

При решаването ще използваме формулата за n-тия член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от дадените членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можем да вземем и разделим на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която условието е изпълнено а 27 > 9:

Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.

Геометричната прогресия е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същото ненулево число.

Означава се геометрична прогресия b1,b2,b3, …, bn, ….

Съотношението на който и да е член на геометричната грешка към предишния му член е равно на същото число, тоест b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = …. Това следва пряко от определението за аритметична прогресия. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия. Обикновено знаменателят на геометричната прогресия се обозначава с буквата q.

Монотонна и постоянна последователност

Един от начините за уточняване на геометрична прогресия е да се уточни нейният първи член b1 и знаменателят на геометричната грешка q. Например b1=4, q=-2. Тези две условия определят геометричната прогресия 4, -8, 16, -32, ….

Ако q>0 (q не е равно на 1), тогава прогресията е монотонна последователност.Например последователността 2, 4,8,16,32, ... е монотонно нарастваща последователност (b1=2, q=2).

Ако знаменателят в геометричната грешка е q=1, тогава всички членове на геометричната прогресия ще бъдат равни един на друг. В такива случаи казват, че има прогресия постоянна последователност.

Формула за n-тия член на геометрична прогресия

За да бъде числова редица (bn) геометрична прогресия, е необходимо всеки от нейните членове, започвайки от втория, да е средно геометрично на съседни членове. Тоест, необходимо е да се изпълни следното уравнение
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), за всяко n>0, където n принадлежи към набора от естествени числа N.

Формулата за n-тия член на геометричната прогресия е:

bn=b1*q^(n-1),

където n принадлежи на множеството от естествени числа N.

Формула за сумата от първите n члена на геометрична прогресия

Формулата за сумата от първите n членове на геометрична прогресия има формата:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), където q не е равно на 1.

Нека да разгледаме един прост пример:

В геометрична прогресия b1=6, q=3, n=8 намерете Sn.

За да намерим S8, използваме формулата за сумата от първите n членове на геометрична прогресия.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.

Геометричната прогресия е нов вид числова редица, с която предстои да се запознаем. За успешни запознанства не пречи поне да знаете и разбирате. Тогава няма да има проблеми с геометричната прогресия.)

Какво е геометрична прогресия? Концепцията за геометрична прогресия.

Започваме обиколката, както обикновено, с основите. Пиша незавършена редица от числа:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Можете ли да забележите модела и да кажете кои числа ще дойдат следващите? Пиперът е ясен, след това ще последват числата 100 000, 1 000 000 и т.н. Дори без много умствени усилия всичко е ясно, нали?)

ДОБРЕ. Друг пример. Пиша тази последователност:

1, 2, 4, 8, 16, …

Можете ли да кажете кои числа ще дойдат следващите след числото 16 и името осмочлен на последователността? Ако сте разбрали, че това ще бъде числото 128, тогава много добре. Така че половината от битката е в разбирането значениеИ ключови точкивече е направена геометрична прогресия. Можете да растете допълнително.)

И сега отново преминаваме от усещанията към строгата математика.

Ключови точки на геометричната прогресия.

Ключова точка #1

Геометричната прогресия е последователност от числа.Така е и с прогресията. Нищо изискано. Само тази последователност е подредена различно.Следователно, естествено, има друго име, да...

Ключова точка #2

С втората ключова точка въпросът ще бъде по-сложен. Нека се върнем малко назад и си припомним ключовото свойство на аритметичната прогресия. Ето го: всеки член е различен от предишния със същата сума.

Възможно ли е да се формулира подобно ключово свойство за геометрична прогресия? Помислете малко... Разгледайте по-отблизо дадените примери. Познахте ли? да В геометричната прогресия (всяка!) всеки от нейните членове се различава от предходния същия брой пъти.Винаги!

В първия пример това число е десет. Който и член на редицата да вземете, той е по-голям от предишния десет пъти.

Във втория пример е две: всеки член е по-голям от предишния два пъти.

Това е ключов момент, по който геометричната прогресия се различава от аритметичната прогресия. В аритметична прогресия се получава всеки следващ член добавяйкисъщата стойност спрямо предишния член. И тук - умножениепредходния срок със същата сума. Това е цялата разлика.)

Ключова точка #3

Тази ключова точка е напълно идентична с тази за аритметична прогресия. а именно: Всеки член на геометрична прогресия стои на своето място.Всичко е абсолютно същото като в аритметичната прогресия и коментарите според мен са излишни. Има първия член, има сто и първия и т.н. Нека разменим поне два члена – моделът (а с него и геометричната прогресия) ще изчезнат. Това, което ще остане, е просто последователност от числа без никаква логика.

Това е всичко. Това е целият смисъл на геометричната прогресия.

Термини и обозначения.

Но сега, след като разбрахме значението и ключовите точки на геометричната прогресия, можем да преминем към теорията. Иначе какво е теория без разбиране на смисъла, нали?

Как да обозначим геометричната прогресия?

Как се записва геометричната прогресия в общ вид? Няма проблем! Всеки член от прогресията също е написан като буква. Само за аритметична прогресия обикновено се използва буквата "А", за геометрични – букв "б". Членски номер, както обикновено, е посочено индекс долу вдясно. Ние просто изброяваме самите членове на прогресията, разделени със запетаи или точка и запетая.

Като този:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Накратко, тази прогресия се записва така: (b n) .

Или така, за крайни прогресии:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Или накратко:

(b n), н=30 .

Това всъщност е цялото обозначение. Всичко е същото, само буквата е различна, да.) И сега преминаваме директно към определението.

Дефиниция на геометрична прогресия.

Геометричната прогресия е числова последователност, в която първият член е различен от нула, а всеки следващ член е равен на предишния член, умножен по същото ненулево число.

Това е цялото определение. Повечето думи и фрази са ви ясни и познати. Ако, разбира се, разбирате значението на геометричната прогресия „на пръсти“ и като цяло. Но има и няколко нови фрази, на които бих искал да обърна специално внимание.

Първо, думите: „първият член на който ненулев".

Това ограничение на първия срок не е въведено случайно. Какво мислите, че ще се случи, ако първият член b 1 ще бъде равно на нула? На какво ще бъде равен вторият член, ако всеки член е по-голям от предходния? същия брой пъти?Да кажем три пъти? Да видим... Умножете първия член (т.е. 0) по 3 и получете... нула! Ами третият член? Също нула! И четвъртият член също е нула! И така нататък…

Просто получаваме торба гевреци, поредица от нули:

0, 0, 0, 0, …

Разбира се, такава последователност има право на живот, но не представлява практически интерес. Всичко е чисто. Всеки член от него е нула. Сборът от произволен брой членове също е нула... Какви интересни неща можете да правите с него? Нищо…

Следните ключови думи: "умножено по същото ненулево число."

Същият този номер има и свое специално име - знаменател на геометричната прогресия. Нека започнем да се запознаваме.)

Знаменател на геометрична прогресия.

Всичко е просто като белене на круши.

Знаменателят на геометрична прогресия е ненулево число (или количество), което показваколко пътивсеки термин от прогресията повече от предишния.

Отново, подобно на аритметичната прогресия, ключовата дума, която трябва да търсите в това определение, е думата "Повече ▼". Това означава, че всеки член на геометричната прогресия е получен умножениеточно към този знаменател предишен член.

Нека обясня.

Да изчислим, да речем второпишка, трябва да вземеш първичлен и умножават сего към знаменателя. За изчисление десетипишка, трябва да вземеш деветичлен и умножават сего към знаменателя.

Знаменателят на самата геометрична прогресия може да бъде всичко. Абсолютно всеки! Цяло, дробно, положително, отрицателно, ирационално - всичко. Освен нула. Това ни казва думата „не-нула“ в дефиницията. Защо тази дума е необходима тук - повече за това по-късно.

Знаменател на геометричната прогресиянай-често се обозначава с буквата р.

Как да го намерите р? Няма проблем! Трябва да вземем всеки термин от прогресията и разделете на предишния член. Разделението е фракция. Оттук и името - „знаменател на прогресията“. Знаменателят, той обикновено се намира в дроб, да...) Въпреки че, логично, стойността ртрябва да се нарече частенгеометрична прогресия, подобно на разликаза аритметична прогресия. Но се разбрахме да се обадим знаменател. И ние също няма да преоткриваме колелото.)

Да дефинираме например количеството рза тази геометрична прогресия:

2, 6, 18, 54, …

Всичко е елементарно. Да вземем всякаквипореден номер. Взимаме каквото си поискаме. С изключение на първия. Например 18. И разделете на предишен номер. Тоест на 6.

Получаваме:

р = 18/6 = 3

Това е всичко. Това е правилният отговор. За тази геометрична прогресия знаменателят е три.

Нека сега намерим знаменателя рза друга геометрична прогресия. Например този:

1, -2, 4, -8, 16, …

Все същото. Без значение какви признаци имат самите членове, ние все още приемаме всякаквиномер на последователността (например 16) и разделете на предишен номер(т.е. -8).

Получаваме:

д = 16/(-8) = -2

И това е.) Този път знаменателят на прогресията се оказа отрицателен. Минус две. Случва се.)

Нека сега вземем тази прогресия:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

И отново, независимо от вида на числата в редицата (дали цели, дори дробни, дори отрицателни, дори ирационални), ние вземаме произволно число (например 1/9) и разделяме на предишното число (1/3). Според правилата за работа с дроби, разбира се.

Получаваме:

Това е всичко.) Тук знаменателят се оказа дробен: р = 1/3.

Какво мислите за тази "прогресия"?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно тук р = 1 . Формално това също е геометрична прогресия, само с идентични членове.) Но такива прогресии не са интересни за изучаване и практическо приложение. Същото като прогресиите с плътни нули. Затова няма да ги разглеждаме.

Както можете да видите, знаменателят на прогресията може да бъде всичко - цяло число, дроб, положително, отрицателно - всичко! Не може просто да е нула. Не можете да познаете защо?

Добре, нека използваме конкретен пример, за да видим какво ще се случи, ако вземем за знаменател рнула.) Нека например имаме b 1 = 2 , А р = 0 . Тогава на какво ще бъде равен вторият член?

Ние броим:

b 2 = b 1 · р= 2 0 = 0

Ами третият член?

b 3 = b 2 · р= 0 0 = 0

Видове и поведение на геометричните прогресии.

Всичко беше повече или по-малко ясно: ако прогресията е разлика де положителен, тогава прогресията се увеличава. Ако разликата е отрицателна, тогава прогресията намалява. Има само два варианта. Няма трето.)

Но с поведението на геометричната прогресия всичко ще бъде много по-интересно и разнообразно!)

Без значение как се държат условията тук: те се увеличават, намаляват и безкрайно се приближават до нула и дори променят знаците, последователно се хвърлят в „плюс“ и след това в „минус“! И в цялото това многообразие трябва да можеш да разбираш добре, да...

Нека да го разберем?) Да започнем с най-простия случай.

Знаменателят е положителен ( р >0)

С положителен знаменател, първо, членовете на геометричната прогресия могат да влязат в него плюс безкрайност(т.е. увеличаване без ограничение) и може да влезе в минус безкрайност(т.е. намаляване без ограничение). Вече сме свикнали с това поведение на прогресиите.

Например:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Тук всичко е просто. Получава се всеки член на прогресията повече от предишния. Освен това всеки термин се оказва умножениепредишен член на положителенчисло +2 (т.е. р = 2 ). Поведението на такава прогресия е очевидно: всички членове на прогресията растат неограничено, отивайки в космоса. Плюс безкрайност...

А сега ето прогресията:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Тук също се получава всеки член на прогресията умножениепредишен член на положителенчисло +2. Но поведението на такава прогресия е точно обратното: всеки член на прогресията се получава по-малко от предишния, и всички негови членове намаляват неограничено, отивайки до минус безкрайност.

Сега нека помислим: какво е общото между тези две прогресии? Точно така, знаменател! Тук-там р = +2 . Положително число.две. И тук поведениеТези две прогресии са фундаментално различни! Не можете да познаете защо? да Всичко е за първи член!Той, както се казва, е този, който нарича мелодията.) Вижте сами.

В първия случай, първият член на прогресията положителен(+1) и следователно всички следващи членове, получени чрез умножаване по положителензнаменател р = +2 , също ще бъде положителен.

Но във втория случай, първият мандат отрицателен(-1). Следователно всички следващи членове на прогресията, получени чрез умножаване по положителен р = +2 , също ще бъдат получени отрицателен.Защото „минус“ към „плюс“ винаги дава „минус“, да.)

Както можете да видите, за разлика от аритметичната прогресия, геометричната прогресия може да се държи напълно различно не само в зависимост от знаменателяр, но и в зависимост от първия член, да.)

Запомнете: поведението на геометрична прогресия се определя еднозначно от нейния първи член b 1 и знаменателр .

И сега започваме да анализираме по-малко познати, но много по-интересни случаи!

Да вземем например тази последователност:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Тази последователност също е геометрична прогресия! Всеки член от тази прогресия също се оказва умножениепредишния член, със същия номер. Това е просто число - дробен: р = +1/2 . Или +0,5 . Освен това (важно!) числото по-малко от едно:р = 1/2<1.

Защо тази геометрична прогресия е интересна? Накъде се насочват нейните членове? Нека да разгледаме:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Какви интересни неща можете да забележите тук? Първо, намаляването по отношение на прогресията се забелязва веднага: всеки от нейните членове по-малкоточно предишния 2 пъти.Или, според дефиницията на геометрична прогресия, всеки член Повече ▼предишен 1/2 пъти, защото знаменател на прогресията р = 1/2 . И когато се умножи по положително число, по-малко от едно, резултатът обикновено намалява, да...

Какво Повече ▼може да се види в поведението на тази прогресия? Намаляват ли членовете му? неограничен, отивайки към минус безкрайност? Не! Те изчезват по особен начин. Отначало намаляват доста бързо, а след това все по-бавно. И докато остава през цялото време положителен. Макар и много, много малък. И към какво се стремят самите те? Не се ли досетихте? да Те се стремят към нула!) Освен това, обърнете внимание, членовете на нашата прогресия са от нула никога не достигайте!само приближавайки го безкрайно близо. Много е важно.)

Подобна ситуация ще възникне в следната прогресия:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Тук b 1 = -1 , А р = 1/2 . Всичко е същото, само сега условията ще се доближат до нулата от другата страна, отдолу. Оставайки през цялото време отрицателен.)

Такава геометрична прогресия, членовете на която приближаване до нула без ограничение(без значение от положителната или отрицателната страна), в математиката има специално име - безкрайно намаляваща геометрична прогресия.Тази прогресия е толкова интересна и необичайна, че дори ще бъде обсъждана отделен урок .)

И така, разгледахме всички възможни положителензнаменателите са както големи, така и по-малки. Ние не считаме самата единица за знаменател поради посочените по-горе причини (помнете примера с поредица от тройки...)

Нека обобщим:

положителенИ повече от един (р>1), тогава условията на прогресията:

а) увеличаване без ограничение (акоb 1 >0);

б) намалява неограничено (акоb 1 <0).

Ако знаменателят на геометричната прогресия положителен И по-малко от едно (0< р<1), то члены прогрессии:

а) безкрайно близо до нула по-горе(Акоb 1 >0);

б) приближаващи се безкрайно близо до нула отдолу(Акоb 1 <0).

Сега остава да разгледаме случая отрицателен знаменател.

Знаменателят е отрицателен ( р <0)

Няма да отиваме далеч за пример. Защо точно рошава баба?!) Нека например първият член на прогресията е b 1 = 1 и нека вземем знаменателя q = -2.

Получаваме следната последователност:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

И така нататък.) Всеки член на прогресията се получава умножениепредишен член на отрицателно число-2. В този случай всички членове, стоящи на нечетни места (първо, трето, пето и т.н.), ще бъдат положителен, а на четни места (второ, четвърто и т.н.) – отрицателен.Знаците се редуват строго. Плюс-минус-плюс-минус... Тази геометрична прогресия се нарича - нарастващ знак редуващ се.

Накъде се насочват нейните членове? Но никъде.) Да, в абсолютна стойност (т.е. по модул)членовете на нашата прогресия нарастват неограничено (оттук и името „увеличаване“). Но в същото време всеки член на прогресията последователно ви хвърля в жегата, после в студа. Или „плюс“, или „минус“. Нашата прогресия се колебае... Освен това обхватът на колебанията нараства бързо с всяка стъпка, да.) Следователно стремежите на членовете на прогресията отиват нанякъде специалноТук Не.Нито до плюс безкрайност, нито до минус безкрайност, нито до нула – никъде.

Нека сега разгледаме някакъв дробен знаменател между нула и минус едно.

Например, нека бъде b 1 = 1 , А q = -1/2.

Тогава получаваме прогресията:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

И отново имаме редуване на знаци! Но за разлика от предишния пример, тук вече има ясна тенденция членовете да се доближават до нула.) Само че този път нашите условия се доближават до нула не строго отгоре или отдолу, а отново колебае се. Алтернативно приемане на положителни и отрицателни стойности. Но в същото време те модулисе доближават все повече и повече до заветната нула.)

Тази геометрична прогресия се нарича безкрайно намаляващ знак, редуващ се.

Защо тези два примера са интересни? И фактът, че и в двата случая се провежда редуващи се знаци!Този трик е типичен само за прогресии с отрицателен знаменател, да.) Следователно, ако в някоя задача видите геометрична прогресия с редуващи се членове, вече със сигурност ще знаете, че знаменателят й е 100% отрицателен и няма да сгрешите в знака.)

Между другото, в случай на отрицателен знаменател, знакът на първия член изобщо не влияе на поведението на самата прогресия. Независимо от знака на първия член на прогресията, във всеки случай знакът на членовете ще бъде спазен. Единственият въпрос е, на какви места(четни или нечетни) ще има членове със специфични знаци.

Помня:

Ако знаменателят на геометричната прогресия отрицателен , тогава признаците на условията на прогресията са винаги редуват се.

В същото време самите членове:

а) увеличаване без ограничениепо модул, Акор<-1;

б) се приближава до нула безкрайно, ако -1< р<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Това е всичко. Всички типични случаи са анализирани.)

В процеса на анализиране на различни примери за геометрични прогресии периодично използвах думите: "клони към нула", "клони към плюс безкрайност", "клони към минус безкрайност"... Всичко е наред.) Тези фигури на речта (и конкретни примери) са само първоначално въведение в поведениеразнообразие от числови последователности. Използвайки примера на геометричната прогресия.

Защо изобщо трябва да знаем поведението на прогресията? Какво значение има къде отива? Към нула, до плюс безкрайност, до минус безкрайност... Какво ни прави това?

Работата е там, че още в университета, в курса по висша математика, ще ви е необходима способност да работите с голямо разнообразие от числови последователности (с всякакви, не само прогресии!) и способността да си представите как точно тази или онази последователност се държи - дали нараства, дали намалява безкрайно, дали клони към определено число (и не непременно към нула) или дори изобщо не клони към нищо... Цял раздел е посветен на тази тема в хода на математическия анализ - теория на границите.И малко по-конкретно – концепцията ограничение на числовата последователност.Много интересна тема! Има смисъл да отидеш в колеж и да го разбереш.)

Някои примери от този раздел (последователности с ограничение) и по-специално, безкрайно намаляваща геометрична прогресияТе започват да свикват с това в училище. Свикваме.)

Освен това способността да изучавате добре поведението на последователностите ще ви бъде от голяма полза в бъдеще и ще бъде много полезна в функционално изследване.Най-разнообразни. Но способността да работите компетентно с функции (изчислявате производни, изучавате ги изцяло, изграждате техните графики) вече драстично повишава вашето математическо ниво! Имате ли съмнения? Няма нужда. Запомнете и думите ми.)

Нека да разгледаме геометричната прогресия в живота?

В живота около нас много, много често се сблъскваме с геометрична прогресия. Дори и без дори да го знае.)

Например различни микроорганизми, които ни заобикалят навсякъде в огромни количества и които дори не можем да видим без микроскоп, се размножават точно в геометрична прогресия.

Да кажем, че една бактерия се възпроизвежда чрез разделяне наполовина, давайки потомство на 2 бактерии. На свой ред всеки от тях, когато се размножава, също се разделя наполовина, давайки общо потомство от 4 бактерии. Следващото поколение ще произведе 8 бактерии, след това 16 бактерии, 32, 64 и така нататък. С всяко следващо поколение броят на бактериите се удвоява. Типичен пример за геометрична прогресия.)

Освен това някои насекоми – листни въшки и мухи – се размножават експоненциално. А понякога и зайци, между другото.)

Друг пример за геометрична прогресия, по-близо до ежедневието, е т.нар сложна лихва.Това интересно явление често се среща в банковите депозити и се нарича капитализация на лихвата.Какво е?

Вие самият сте още, разбира се, млади. Ходите на училище, не ходете в банки. Но вашите родители вече са възрастни и независими хора. Те ходят на работа, печелят пари за ежедневния си хляб и влагат част от парите в банката, правейки спестявания.)

Да приемем, че вашият баща иска да спести определена сума пари за семейна ваканция в Турция и внася 50 000 рубли в банката при 10% годишно за период от три години с капитализация на годишната лихва.Освен това през целия този период нищо не може да се направи с депозита. Не можете нито да попълвате депозита, нито да теглите пари от сметката. Колко печалба ще направи след тези три години?

Е, първо, трябва да разберем какво са 10% годишно. Означава, че след годинаБанката ще добави 10% към първоначалната сума на депозита. От това, което? Разбира се, от първоначална сума на депозита.

Изчисляваме размера на сметката след една година. Ако първоначалната сума на депозита е била 50 000 рубли (т.е. 100%), тогава след една година колко лихва ще има по сметката? Точно така, 110%! От 50 000 рубли.

Така че изчисляваме 110% от 50 000 рубли:

50000·1,1 = 55000 рубли.

Надявам се разбирате, че намирането на 110% от дадена стойност означава умножаване на тази стойност по числото 1,1? Ако не разбирате защо е така, спомнете си пети и шести клас. А именно – връзка между проценти и дроби и части.)

По този начин увеличението за първата година ще бъде 5000 рубли.

Колко пари ще има в сметката след две години? 60 000 рубли? За съжаление (или по-скоро за щастие), всичко не е толкова просто. Целият трик на капитализацията на лихвите е, че при всяко ново начисляване на лихви, същите тези лихви вече ще се вземат предвид от новата сума!От този, който вечее по сметката В момента.А начислената лихва за предходния период се добавя към първоначалната сума на депозита и по този начин сама участва в изчисляването на новата лихва! Тоест стават пълноценна част от общата сметка. Или общо капитал.Оттук и името - капитализация на лихвата.

Това е в икономиката. И в математиката такива проценти се наричат сложна лихва.Или процент лихва.) Номерът им е, че при последователно изчисляване процентите се изчисляват всеки път от новата стойност.И то не от оригинала...

Следователно, за да се изчисли сумата чрез две години, трябва да изчислим 110% от сумата, която ще бъде в сметката след година.Тоест вече от 55 000 рубли.

Ние броим 110% от 55 000 рубли:

55000·1,1 = 60500 рубли.

Това означава, че процентното увеличение за втората година ще бъде 5500 рубли, а за две години - 10 500 рубли.

Сега вече можете да познаете, че след три години сумата в сметката ще бъде 110% от 60 500 рубли. Това отново е 110% от предишната (миналата година)суми.

Тук мислим:

60500·1,1 = 66550 рубли.

Сега подреждаме нашите парични суми по години в последователност:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Е, как е? Защо не геометрична прогресия? Първи член b 1 = 50000 , и знаменателят р = 1,1 . Всеки член е строго 1,1 пъти по-голям от предходния. Всичко е в строго съответствие с определението.)

И колко допълнителни лихвени бонуси ще „натрупа“ вашият баща, докато неговите 50 000 рубли лежат в банковата му сметка от три години?

Ние броим:

66550 – 50000 = 16550 рубли

Не много, разбира се. Но това е, ако първоначалната сума на депозита е малка. Ами ако има повече? Да речем, не 50, а 200 хиляди рубли? Тогава увеличението за три години ще бъде 66 200 рубли (ако направите сметката). Което вече е много добре.) Ами ако приносът е още по-голям? Това е...

Извод: колкото по-висок е първоначалният депозит, толкова по-изгодна става капитализацията на лихвата. Ето защо депозитите с лихвена капитализация се предоставят от банките за дълги периоди. Да кажем за пет години.

Освен това всякакви лоши болести като грип, морбили и още по-ужасни болести (същата SARS в началото на 2000-те или чумата през Средновековието) обичат да се разпространяват експоненциално. Оттук и мащабът на епидемиите, да...) И всичко това се дължи на факта, че геометричната прогресия с цял положителен знаменател (р>1) – нещо, което расте много бързо! Спомнете си размножаването на бактериите: от една бактерия се получават две, от две - четири, от четири - осем и така нататък... Същото е и с разпространението на всяка инфекция.)

Най-простите задачи на геометричната прогресия.

Нека започнем, както винаги, с един прост проблем. Чисто за да се разбере смисъла.

1. Известно е, че вторият член на геометричната прогресия е равен на 6, а знаменателят е равен на -0,5. Намерете неговия първи, трети и четвърти член.

Значи ни е дадено безкраенгеометрична прогресия, но известна втори сроктази прогресия:

b 2 = 6

Освен това ние също знаем знаменател на прогресията:

q = -0,5

И трябва да намерите първо, третоИ четвърточленове на тази прогресия.

Така че действаме. Записваме последователността според условията на задачата. Директно в обща форма, където вторият член е шест:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Сега да започнем да търсим. Започваме, както винаги, с най-простото. Можете да изчислите например третия член б 3? Мога! Вие и аз вече знаем (директно в смисъла на геометричната прогресия), че третият член (b 3)повече от второто (b 2 ) V "q"веднъж!

Така че ние пишем:

b 3 =b 2 · р

Вместо това заместваме шест в този израз б 2и -0,5 вместо това ри ние броим. Не пренебрегваме и минуса, разбира се...

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Като този. Третият член се оказа отрицателен. Нищо чудно: нашият знаменател р– отрицателен. И умножаването на плюс по минус, разбира се, ще бъде минус.)

Сега отчитаме следващия, четвърти член на прогресията:

b 4 =b 3 · р

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Четвъртият мандат отново е с плюс. Петият член отново ще бъде минус, шестият ще бъде плюс и т.н. Знаците се редуват!

И така, третият и четвъртият член бяха намерени. Резултатът е следната последователност:

b 1; 6; -3; 1,5; ...

Сега остава само да намерим първия член b 1според известното второ. За целта стъпваме в другата посока, наляво. Това означава, че в този случай не е необходимо да умножаваме втория член на прогресията по знаменателя, а разделям.

Разделяме и получаваме:

Това е всичко.) Отговорът на проблема ще бъде така:

-12; 6; -3; 1,5; …

Както можете да видите, принципът на решение е същият като в . Ние знаем всякаквичлен и знаменателгеометрична прогресия - можем да намерим всеки друг член от нея. Ще намерим този, който искаме.) Единствената разлика е, че събирането/изваждането се заменя с умножение/деление.

Запомнете: ако знаем поне един член и знаменател на геометрична прогресия, тогава винаги можем да намерим всеки друг член на тази прогресия.

Следният проблем, според традицията, е от реална версия на OGE:

2.

...; 150; Х; 6; 1.2; ...

Е, как е? Този път няма първи член, няма знаменател р, просто е дадена поредица от числа... Нещо вече познато, нали? да Подобна задача вече е решена в аритметична прогресия!

Така че не ни е страх. Все същото. Да обърнем глава и да си припомним елементарния смисъл на геометричната прогресия. Разглеждаме внимателно нашата последователност и разбираме кои параметри от геометричната прогресия на трите основни (първи член, знаменател, номер на член) са скрити в нея.

Членски номера? Няма членски номера, да... Но са четирима последователенчисла. Не виждам смисъл да обяснявам какво означава тази дума на този етап.) Има ли две в тази последователност? съседни известни числа?Яжте! Това са 6 и 1.2. Така че можем да намерим знаменател на прогресията.Взимаме числото 1,2 и го делим към предишния номер.До шест.

Получаваме:

Получаваме:

х= 150·0,2 = 30

Отговор: х = 30 .

Както можете да видите, всичко е съвсем просто. Основната трудност е само в изчисленията. Особено трудно е в случай на отрицателни и дробни знаменатели. Така че тези, които имат проблеми, повтарят аритметиката! Как се работи с дроби, как се работи с отрицателни числа и така нататък... В противен случай тук ще се забавите безмилостно.

Сега нека модифицираме малко проблема. Сега ще стане интересно! Нека премахнем последното число 1.2 от него. Сега нека разрешим този проблем:

3. Изписани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:

...; 150; Х; 6; ...

Намерете члена на прогресията, обозначен с буквата x.

Всичко е същото, само две съседни известенСега нямаме членове на прогресията. Това е основният проблем. Тъй като величината рчрез два съседни члена можем лесно да определим ние не можем.Имаме ли шанс да се справим със задачата? Със сигурност!

Нека запишем неизвестния член " х"директно по смисъла на геометричната прогресия! В общи линии.

Да да! Точно с неизвестен знаменател!

От една страна, за X можем да запишем следното отношение:

х= 150 ·р

От друга страна, имаме пълното право да опишем същото това X чрез следващиячлен, през шест! Разделете шест на знаменателя.

Като този:

х = 6/ р

Очевидно сега можем да приравним и двете съотношения. Тъй като ние изразяваме същотовеличина (x), но две различни начини.

Получаваме уравнението:

Умножавайки всичко по р, опростявайки и съкращавайки, получаваме уравнението:

q2 = 1/25

Решаваме и получаваме:

q = ±1/5 = ±0,2

Опа! Знаменателят се оказа двоен! +0,2 и -0,2. И кой да изберете? Задънен край?

Спокоен! Да, проблема наистина го има две решения!Нищо лошо в това. Случва се.) Не се изненадвате, когато например получите два корена при решаване на обичайната задача? Тук е същата история.)

За q = +0,2ще получим:

X = 150 0,2 = 30

И за р = -0,2 ще:

X = 150·(-0,2) = -30

Получаваме двоен отговор: х = 30; х = -30.

Какво означава този интересен факт? И какво съществува две прогресии, отговарящи на условията на задачата!

Като тези:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

И двете са подходящи.) Защо мислите, че имахме разделение в отговорите? Само заради елиминирането на определен член от прогресията (1,2), идващ след шест. И знаейки само предишния (n-1)-ти и следващите (n+1)-ти член на геометричната прогресия, вече не можем да кажем нищо еднозначно за n-тия член, стоящ между тях. Има два варианта – с плюс и с минус.

Но няма проблем. По правило в задачите за геометрична прогресия има допълнителна информация, която дава недвусмислен отговор. Да кажем думите: "променлива прогресия"или "прогресия с положителен знаменател"и така нататък... Именно тези думи трябва да служат като подсказка кой знак, плюс или минус, трябва да бъде избран при подготовката на окончателния отговор. Ако няма такава информация, тогава да, задачата ще има две решения.)

Сега решаваме сами.

4. Определете дали числото 20 е член на геометрична прогресия:

4 ; 6; 9; …

5. Като се има предвид знакът на променлива геометрична прогресия:

…; 5; х ; 45; …

Намерете термина на прогресията, посочен с буквата х .

6. Намерете четвъртия положителен член на геометричната прогресия:

625; -250; 100; …

7. Вторият член на геометричната прогресия е равен на -360, а петият му член е равен на 23,04. Намерете първия член на тази прогресия.

Отговори (в безпорядък): -15; 900; Не; 2.56.

Поздравления, ако всичко се получи!

Нещо не пасва? Някъде имаше двоен отговор? Прочетете внимателно условията на заданието!

Последният проблем не работи? Там няма нищо сложно.) Ние работим директно според значението на геометричната прогресия. Е, можете да нарисувате картина. Помага.)

Както можете да видите, всичко е елементарно. Ако прогресията е кратка. Ами ако е дълго? Или броят на необходимия член е много голям? Бих искал, по аналогия с аритметичната прогресия, по някакъв начин да получа удобна формула, която улеснява намирането всякаквичлен на всяка геометрична прогресия по неговия номер.Без да умножавам много, много пъти по р. И има такава формула!) Подробностите са в следващия урок.

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да различим кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.

Числото с числото се нарича n-ти член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.

Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?

Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тегла е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се справят с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне общо разбиране. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?

В момента в житейската практика геометричната прогресия се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се начислява върху сумата, натрупана в сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава след една година депозитът ще се увеличи с първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуация е описана в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва– процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно.

Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. .

Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.

Геометрична прогресия.

Да кажем, че имаме числова последователност:

Веднага ще отговорите, че това е лесно и името на такава редица е с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за това:

Ако извадите предишното число от следващото число, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!

Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен.

Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Нека приемем, че няма такива и първият член все още е равен и q е равно на, хм.. нека бъде, тогава се оказва:

Съгласете се, че това вече не е прогресия.

Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или изцяло нула, или едно число, а всички останали ще бъдат нули.

Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o.

Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ термин?геометрична прогресия.

Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).

Да приемем, че нашата е положителна. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това:

Това е вярно. Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни.

Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и?

Това е съвсем друга история

Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? Аз имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.

Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия:

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:

• Геометрична прогресия – 3, 6.
• Аритметична прогресия – 2, 4.
• Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.

Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.

Ние последователно умножаваме всеки член по.

И така, членът от описаната геометрична прогресия е равен на.

Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.

Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия:

С други думи:

Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия.

Се случи? Нека сравним нашите отговори:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:

Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия със следните условия: , a.

броихте ли Нека сравним резултатите:

Съгласете се, че би било възможно да се намери термин на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата.

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да бъде или по-голямо, или по-малко от нула, но има специални стойности, за които геометричната прогресия се нарича безкрайно намаляваща.

Защо мислите, че е дадено това име?
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:

Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите с „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула.

За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:

На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно:

Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:

Виждаш ли? Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:

Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика?

успяхте ли Ето графиката, която измислих:

Сега, след като разбрахте напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.

Свойство на геометричната прогресия.

Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметичната прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. Помниш ли? Това:

Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.

Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намеря? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата.

Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули на снимка и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойността.

Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим стойността, маркирана в оранжево, като знаем термините, съседни на нея. Нека се опитаме да извършим различни действия с тях, в резултат на което можем да получим.

Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:

От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане.

Изваждане.

Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг.

Умножение.

Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:

Познайте за какво говоря? Правилно, за да намерим, трябва да вземем корен квадратен от числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго:

Ето. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте се да напишете тази формула в общ вид. Се случи?

Забравихте условието? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така:

Съответно, не забравяйте това ограничение.

Сега нека изчислим на какво се равнява

Верен отговор - ! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговор.

Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:

За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай.

Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.

Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и

Сравнете вашите отговори с правилните:

Какво мислите, какво ще стане, ако ни бъдат дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или отхвърлите тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при.
Какво получи?

Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:

От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.

Така нашата първоначална формула приема формата:

Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа.

Практикувайте с конкретни примери, само бъдете изключително внимателни!

1. , . Намирам.
2. , . Намирам.
3. , . Намирам.

Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.

Нека сравним резултатите.

В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:

В третия случай, когато внимателно изследваме серийните номера на дадените ни числа, разбираме, че те не са на равно разстояние от търсеното число: това е предишното число, но е премахнато на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата.

Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим.

Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме:

Заменяме нашите данни във формулата:

Следващата стъпка, която можем да намерим е - за това трябва да вземем кубичен корен от полученото число.

Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на:

Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:

Нашият отговор: .

Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем:
Дадено: ,
Намирам:

Колко получихте? Аз имам - .

Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула.

Сумата от членовете на геометрична прогресия.

Сега нека да разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:

За да изведете формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножете всички части на горното уравнение по. Получаваме:

Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи?

Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула:

Групирайте израза. Трябва да получите:

Всичко, което остава да се направи, е да се изрази:

Съответно в случая.

Какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. Каква е тя? Поредица от еднакви числа е правилна, така че формулата ще изглежда така:

Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.

Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.

Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да даде житно зърно за първото поле на шахматната дъска, житно зърно за второто, житно зърно за третото, четвъртото и т.н.

Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската.

И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?

Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че задачата е за геометрична прогресия. На какво се равнява в този случай?
вярно

Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим.

За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:

Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
Това е:

квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.

Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.

Ако царят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се брои през целия му живот.

Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?

И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. Общият сбор от условията за прогресиране е равен на броя на учениците от 5A. Съответно говорим за прогресия, при която:

Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:

Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. Се случи? Вижте как изглежда при мен:

Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек.

Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.

Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек участва във финансова пирамида, в която се дават пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или като цяло) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирало в тази финансова измама.

Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.

И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:

Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или

Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.

- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове.

Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.

Сега нека практикуваме.

1. Намерете сумата на първите членове на геометричната прогресия с и.
2. Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.

Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори:

Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим.

Задачи за изчисляване на сложна лихва.

Вероятно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.

Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условия за депозити: това включва срок, допълнителни услуги и лихва с два различни начина за изчисляване - прост и сложен.

СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.

Сложна лихва- това е вариант, в който се случва капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.

Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. Какво правим?

Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка.

Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:

Съгласен?

Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме:

Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите

В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - ние преобразуваме процентите в десетични дроби, тоест:

нали Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:

Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:

Много добре! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва.
Ето какво получих:

Или с други думи:

Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца.
Направих? Да проверим!

Както можете да видите, ако вложите пари в банка за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:

Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата:

Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение?

Капитал на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.

Или можем да напишем накратко:

За нашия случай:

2000, 2001, 2002 и 2003 г.

Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.

обучение.

1. Намерете члена на геометричната прогресия, ако е известно, че и
2. Намерете сумата от първите членове на геометричната прогресия, ако е известно, че и
3. Компанията MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с капитал в долари. Всяка година от 2004 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Компанията MSK Cash Flows започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара е капиталът на едното дружество по-голям от капитала на другото в края на 2007 г., ако печалбата не е изтеглена от обръщение?

Отговори:

1. Тъй като формулировката на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
   Съответно:
   рубли
   Компания MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - се увеличава с, тоест с пъти.
   Съответно:
   рубли
   рубли

Нека да обобщим.

1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е .

3) може да приема всякакви стойности с изключение на и.

• ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
• ако, тогава всички следващи условия на прогресията алтернативни знаци;
• когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

4) , когато – свойство на геометрична прогресия (съседни членове)

или
, при (равноотдалечени термини)

Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора.

Например,

5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата:
или

или

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.

6) Проблемите със сложната лихва също се изчисляват по формулата на th член на геометрична прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и.

• Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
• ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
• когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

Уравнение на членовете на геометричната прогресия - .

Сума от членовете на геометрична прогресияизчислява се по формулата:
или

Ако прогресията намалява безкрайно, тогава:

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за Единен държавен изпит или Единен държавен изпит по математика,

И също така получете достъп до учебника YouClever без ограничения...