Графики на тригонометрични функции, трансформация на графики. Преобразуване на графики на тригонометрични функции Примери за преобразуване на графики на тригонометрични функции

АЛГЕБРА
Уроци за 10 клас

Предмет.Изграждане на графики на тригонометрични функции

Цел на урока: начертаване на функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Формиране на умения за конструиране на графики на функции: y = Asin (kx + b), y = Acos (kx + b), y = Atg (kx + b), y = Actg (kx + b).

I. Проверка на домашните

1. Един ученик възпроизвежда решението на упражнение № 24 (1-3).

2. Фронтален разговор:

1) Назовете явления в природата, които се повтарят периодично.

2) Дайте дефиницията на периодична функция.

3) Ако функцията y = f (x) има период от числото T, тогава периодът на тази функция ще бъде ли числото 2T, 3T ...? Обосновете отговора си.

4) Намерете най-малкия положителен период на функциите:

а) y = cos; b) y = sin; в) y = tg; г) y = .

5) периодична функция y = C? Ако да, тогава посочете периода на тази функция.

II. График на функцията y = sin x

За да начертаем функцията y = sin x, ще използваме единичната окръжност. Нека построим единична окръжност с радиус 1 cm (2 клетки). Вдясно ще изградим координатна система, както на фиг. 57.

Нека начертаем точките върху оста OX; π; ; 2 π (съответно 3 клетки, 6 клетки, 9 клетки, 12 клетки). Нека разделим първата четвърт от единичната окръжност на три равни части и отсечката от абсцисната ос на същия брой части. Нека прехвърлим стойността на синуса към съответните точки на оста OX. Получаваме точките, които трябва да бъдат свързани с гладка линия. След това разделяме втората, третата и четвъртата четвърт от единичната окръжност на три равни части и прехвърляме стойността на синуса към съответната точка на оста OX. Последователно свързвайки всички получени точки, получаваме графика на функцията y = sin x на интервала.

Тъй като функцията y = sin x е периодична с период от 2 π, тогава за да се изгради графика на функцията y = sin x върху цялата линия OX, достатъчно е паралелно да се премести построената графика по оста OX с 2 π , 4 π, 6 π ... единици отляво и отдясно (фиг. 58).

Крива, която е графика на функцията y = sin x, се нарича синусоида.

Изпълнение на упражнения__________________________

1. Построяване на графики на функции.

а) y = sin; b) y = sin 2x; в) y = 2 sin x; d) y = sin (-x).

Отговори: а) фиг. 59; б) фиг. 60; в) фиг. 61; г) ориз 62.

III. Начертаване на функцията y = cos x

Както знаете, cos x = sin, следователно y = cos x и y = sin са едни и същи функции. За да построим графика на функцията y = sin, ще използваме геометрични трансформации на графиките: първо изграждаме (фиг. 63) графика на функцията y = sin x, след това y = sin (-x) и накрая y = sin .

Изпълнение на упражнения ________________________________

1. Графика на функциите:

а) y = cos; b) y = cos; в) y = cos x; г) y = | cos x |.

Отговор: а) фиг. 64; б) фиг. 65; в) фиг. 66; г) ориз 67.

IV. Начертаване на функцията y = tg x

Построяваме графика на функцията y = tan x, като използваме линия от допирателни върху интервал, чиято дължина е равна на периода π на тази функция. Нека построим единична окръжност с радиус 2 cm (4 клетки) и начертаем линия от допирателни. Вдясно ще изградим координатна система, както на фиг. 68.

Нека начертаем точките върху оста OX; (6 клетки). Разделете първата и четвъртата четвърт на кръга на 3 равни части и всеки от сегментите и на същия брой части. Нека намерим стойностите на допирателните на числата; ; 0; ; използвайки допирателната (координатите на точките ; ; ; ; допирателната). Нека прехвърлим стойностите на допирателната към съответните точки на оста OX. Последователно свързвайки всички получени точки, получаваме графика на функцията y = tan x на интервала.

Тъй като функцията y = tan x е периодична с период π, за да се построи графика на функцията y = tg x върху цялата права линия OX, достатъчно е да се премести паралелно построената графика по оста OX с π, 2 π, 3 π, 4 π ... единици отляво и отдясно (фиг. 69).

Графиката на функцията y = tan x се нарича тангенс.

Правене на упражнения

1. Графика на функциите

а) y = tan 2x; б) y = t gx ; в) y = tan x + 2; d) y = тен (-x).

Отговори: а) фиг. 70; б) фиг. 71; в) фиг. 72; г) ориз 73.

V. Графика на функцията y = cot x

Графиката на функцията y = ctg x може лесно да се получи с помощта на формулата ctg x = tg и две геометрични трансформации (фиг. 74): симетрия спрямо оста ΟΥ, паралелна транслация по оста OX към .

IV. Домашна работа

Раздел I § 6. Въпроси и задачи за повторение на раздел I № 50-51. Упражнения № 28 (a-d).

V. Обобщение на урока

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Графики на тригонометрични функции Функция y = sin x, нейните свойства Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез паралелен пренос Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез компресия и разширяване За любопитните…

тригонометрични функции Графиката на функцията y = sin x е синусоида Свойства на функцията: D(y) =R Периодична (T=2 ) Нечетна (sin(-x)=-sin x) Нули на функцията: y =0, sin x=0 при x =  n, n  Z y=sin x

тригонометрични функции Свойства на функцията y = sin x 5. Интервали с постоянен знак: Y >0 за x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z Y

тригонометрични функции Свойства на функцията y = sin x 6. Интервали на монотонност: функцията нараства на интервали от вида:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sin x

тригонометрични функции Свойства на функцията y= sin x Интервали на монотонност: функцията намалява на интервали от вида:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sin x

тригонометрични функции Свойства на функцията y = sin x 7. Точки на екстремум: X max =  / 2 +2  n, n  Z X m in = -  / 2 +2  n, n  Z y=sin x

тригонометрични функции Свойства на функцията y = sin x 8. Диапазон от стойности: E(y) =  -1;1  y = sin x

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции Графиката на функцията y = f (x +в) се получава от графиката на функцията y = f(x) чрез паралелно преместване с (-в) единици по абсцисата Графиката на функцията y = f (x) +а се получава от графиката на функцията y = f(x) чрез паралелна транслация с (a) единици по ординатната ос

тригонометрични функции Преобразувайте графики на тригонометрични функции Начертайте графика Функции y = sin(x+  /4) запомнете правилата

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции y =sin (x+  /4) Графика на функцията: y=sin (x -  /6)

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции y = sin x +  Начертайте графиката на функцията: y = sin (x -  /6)

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции y= sin x +  Графика на функцията: y=sin (x +  /2) запомнете правилата

тригонометрични функции Графиката на функцията y = cos x е косинусова вълна. Избройте свойствата на функцията y = cos x sin(x+  /2)=cos x

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез компресия и разтягане Графиката на функцията y = k f (x) се получава от графиката на функцията y = f (x) чрез разтягането й k пъти (за k>1) по продължение на ординатна графика Графиката на функцията y = k f (x ) се получава от графиката на функцията y = f(x) чрез нейното компресиране k пъти (при 0

тригонометрични функции Трансформирайте графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x запомнете правилата

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез компресия и разтягане Графиката на функцията y = f (kx) се получава от графиката на функцията y = f (x) чрез нейното компресиране k пъти (за k>1) по продължение на x-ос Графиката на функцията y = f (kx ) се получава от графиката на функцията y = f(x) чрез разтягането й k пъти (при 0

тригонометрични функции Трансформирайте графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане y = cos2x y = cos 0,5x запомнете правилата

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез компресия и разтягане Графиките на функции y = -f (kx) и y=- k f(x) се получават от графики на функции y = f(kx) и y= k f(x), съответно, като ги огледа по отношение на оста x, синусът е нечетна функция, следователно sin(-kx) = - sin (kx) косинусът е четна функция, следователно cos(-kx) = cos(kx)

тригонометрични функции Трансформирайте графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане y = - sin3x y = sin3x запомнете правилата

тригонометрични функции Трансформирайте графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане y=2cosx y=-2cosx запомнете правилата

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане Графиката на функцията y = f (kx+b) се получава от графиката на функцията y = f(x) чрез успоредяването й с (-in /k) единици по оста x и като го компресирате k пъти (при k>1) или разтягате k пъти (при 0

тригонометрични функции Преобразуване на графики на тригонометрични функции чрез смачкване и разтягане Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6) ) y = cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x запомнете правилата

тригонометрични функции За любопитните... Вижте как изглеждат графиките на някои други тригометри. функции: y = 1 / cos x или y=sec x (четене на секунди) y = cosec x или y= 1/ sin x четене на cosecons

По темата: методически разработки, презентации и бележки

ЦОР „Преобразуване на графики на тригонометрични функции” 10-11 клас

Раздел от учебната програма: „Тригонометрични функции.“ Тип урок: дигитален образователен ресурс за комбиниран урок по алгебра. Според формата на представяне на материала: Комбиниран (универсален) ЦОР с...

Методическа разработка на урок по математика: „Преобразуване на графики на тригонометрични функции“

Методическа разработка на урок по математика: „Преобразуване на графики на тригонометрични функции” за ученици от десети клас. Урокът е придружен с презентация....

Конспекти от уроци по алгебра в 10 клас

Василиева Екатерина Сергеевна,

учител по математика

OGBOU "Смоленск специален (поправителен)

общообразователно училище I и II тип"

Смоленск

Тема на урока: „Преобразуване на графики на тригонометрични функции.“

Имемодул: конвертиране на графики на тригонометрични функции. Интегриранедидактическимишена: практикуват умения за построяване на графики на тригонометрични функции. Целеви план за действие за учениците:

преглед на основните свойства на тригонометричните функции; упражняват уменията за преобразуване на графики на тригонометрични функции; насърчаване на развитието на логическото мислене; култивирайте интерес към изучаването на предмета.

Банка информация.

Входящ контрол. Назовете свойствата на функциите y = sin x (фиг. 1).

Ориз. 1

Имоти:

D(y)=R E(y)=[-1;1], функцията е ограничена sin(-x)=-sinx, функцията е нечетна Минимален положителен период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Най-голям стойността, равна на 1, y=sin x приема в точките x=π/2+ 2πk, k Є Z. Най-малката стойност, равна на -1, y=sin x приема точките x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Нека разгледаме графиката на функцията y= cos x (фиг. 2).

Ориз. 2

Имоти:

D (y)=RE (y)=[-1;1], функцията е ограничена cos(-x)= cos x, функцията е четна Минимален положителен период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Най-голямата стойност, равна на 1, y=cos x приема в точки x= 2πk, k Є Z. Най-малката стойност, равна на -1, y=cos x приема в точки x=π+ 2πk , k Є Z.

Следната графика на функцията y=tg x (фиг. 3)

Ориз . 3

Имоти:

D(y)-множество от всички реални числа, с изключение на числа от вида x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), неограничена функция tg(-x)=-tg x , нечетна функция най-малък положителен период: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

Следната графика на функцията y=ctg x (фиг. 4)

Ориз. 4

Имоти:

D(y)-множество от всички реални числа, с изключение на числа от вида x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), неограничена функция ctg(-x)=-ctg x, нечетна функция Минимум положителен период: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Обяснение на материала.

г= f(х)+ а, където a е постоянно число, трябва да преместите графиката г= f(х) по ординатната ос. Ако a>0, тогава преместваме графиката успоредна на себе си нагоре, ако a За да построим графика на функцията г= kf(х) трябва да разтегнем графиката на функцията г= f(х) V к пъти по ординатната ос. Ако | к|>1 , тогава графиката се разтяга по оста ой, Ако 0к| , след това – компресия. Графика на функция г= f(х+ b) получени от графиката г= f(х) чрез паралелна транслация по абсцисната ос. Ако b>0, тогава графиката се премества наляво, ако b

Да начертаете графика на функция г= f(kx) трябва да разтегнете графика г= f(х) по абсцисната ос. Ако | к|>1 , тогава графиката се компресира по оста ОХ, ако 0

Фиксиране на материала.

Ниво А

Частнодидактическимишена: практикуват умението за конструиране на тригонометрични функции чрез трансформации.

МетодическикоментарЗастуденти:

вол 3 пъти.





Графиката на функция се получава от графика чрез разтягане по оста Ой 2 пъти.





Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване 2 единици нагоре по оста Ой.







Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване по абсцисната ос с единици вляво.





Ж

Графиката на функция се получава от графиката чрез компресиране по оста Ой 4 пъти.

Ниво Б.

Частнодидактическимишена: тригонометриченфункции от последователенприлагане на трансформации.

МетодическикоментарЗастуденти: конструиране на графики на функции чрез извършване на трансформации.



Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване по абсцисната ос с единици надясно.



Графиката на функция се получава от графиката на функция чрез последователно извършване на следните трансформации:

1) паралелен превод с единици вляво по абсцисната ос

2) компресия по оста Oy 4 пъти .





Графиката на функцията се получава от графиката на функцията, всяка ордината на която се променя с коефициент -2. За да направим това, извършваме следните трансформации:

1) показват симетрично спрямо оста вол,

2) разтегнете 2 пъти по оста Ой.




последователенизвършете следните трансформации:

1) компресия по абсцисната ос 2 пъти;

2) разтягане V 3 пъти заедно брадви Ой;

3) паралелен трансфер На 1 мерна единица нагоре заедно брадви ордината.





Ниво СЪС .

Частнодидактическимишена: практикувайте умения за рисуване на графики тригонометриченфункции от последователенприлагане на трансформации.

Методически коментар За студенти : Моля посочете , който трансформация трябва да изпълни За строителство графики . Изграждане графики .

1.

Графиката на функция се получава от графиката на функция чрез последователно извършване на следните трансформации:

1) дисплеят е симетричен спрямо оста вол,

2) компресия 2 пъти по оста Oy;

3) паралелно преместване 2 единици надолу по оста Oy.





2.

Графиката на функция се получава от графиката на функция последователенизвършвайки следните трансформации: оказва се www. летищен портал. ru/ услуги/ графика. html

ПРЕДМЕТ: Трансформации на графики на тригонометрични функции с модул.

МИШЕНА: Разглеждане на получаване на графики на тригонометрични функции на формата

г= f(|x|) ;г = | f(х)| .

Развийте математическата логика и внимание.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА:

орг. момент: Обявяване на темата, целите и задачите на урока.

Учител: Днес трябва да се научим как да чертаем функции y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| използвайки знанията си за трансформации на трансцендентни функции от формата y = f(|x|) и y = |f(x)| . Питате: „За какво е това?“ Факт е, че свойствата на функциите се променят в този случай, но това се вижда най-добре, както знаете, на графиката.

Нека си припомним как се записват тези функции с помощта на дефиницията

деца: f(|x|) =

|f(x)| =

Учител: Така, за да начертаете функцията y =f(|x|), ако е известна графиката на функцията

y =f{ х), трябва да оставите тази част от графиката на функцията y = на мястоf(х), който

съответства на неотрицателната част от областта на дефиниране на функцията y =f(х). Отразявайки това

част е симетрична спрямо оста y, получаваме съответната друга част от графиката

отрицателна част от областта на дефиницията.

Тоест на графиката изглежда така: y = f (x)

(Тези графики са начертани на дъската. Деца в тетрадките)

Сега, въз основа на това, ще построим графика на функциите y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Фигура 1. Y = sin x

Фигура 2. Y = sin |x|

Сега нека начертаем функциите Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|

За да начертаете функцията y = \f(х)\, ако е известна графиката на функцията y =f(х), трябва да оставите на място тази част, къдетоf(х) > ОТНОСНО, и покажете симетрично другата му част спрямо оста x, къдетоf(х) < 0.