Графика на функцията y 2x. Функционална графика. Нанасяне на точки върху координатната равнина

Нека изберем правоъгълна координатна система на равнината и начертаем стойностите на аргумента върху абсцисната ос х, а по ординатната ос - стойностите на функцията y = f(x).

Функционална графика y = f(x)е множеството от всички точки, чиито абсциси принадлежат към областта на дефиниране на функцията, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията.

С други думи, графиката на функцията y = f (x) е множеството от всички точки на равнината, координати Х, прикоито удовлетворяват отношението y = f(x).

На фиг. 45 и 46 показват графики на функции y = 2x + 1И y = x 2 - 2x.

Строго погледнато, трябва да се прави разлика между графика на функция (чието точно математическо определение беше дадено по-горе) и начертана крива, която винаги дава само повече или по-малко точна скица на графиката (и дори тогава, като правило, не цялата графика, а само нейната част, разположена в крайните части на равнината). В това, което следва обаче, обикновено ще казваме „графика“, а не „скица на графика“.

С помощта на графика можете да намерите стойността на функция в точка. А именно, ако точката х = апринадлежи към областта на дефиниране на функцията y = f(x), след което да намерите номера е(а)(т.е. стойностите на функцията в точката х = а) трябва да направите това. Необходимо е през абсцисната точка х = аначертайте права линия, успоредна на ординатната ос; тази линия ще пресича графиката на функцията y = f(x)в една точка; ординатата на тази точка, по силата на дефиницията на графиката, ще бъде равна на е(а)(фиг. 47).

Например за функцията f(x) = x 2 - 2xс помощта на графиката (фиг. 46) намираме f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т.н.

Функционалната графика ясно илюстрира поведението и свойствата на функцията. Например, от разглеждането на фиг. 46 е ясно, че функцията y = x 2 - 2xприема положителни стойности, когато х< 0 и при х > 2, отрицателен - при 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2xприема при х = 1.

Да начертаете графика на функция f(x)трябва да намерите всички точки на равнината, координати х,прикоито удовлетворяват уравнението y = f(x). В повечето случаи това е невъзможно да се направи, тъй като има безкраен брой такива точки. Затова графиката на функцията се изобразява приблизително - с по-голяма или по-малка точност. Най-простият е методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки. Състои се в това, че аргументът хдайте краен брой стойности - да речем, x 1, x 2, x 3,..., x k и създайте таблица, която включва избраните стойности на функцията.

Таблицата изглежда така:

След като съставим такава таблица, можем да очертаем няколко точки на графиката на функцията y = f(x). След това, свързвайки тези точки с гладка линия, получаваме приблизителен изглед на графиката на функцията y = f(x).

Трябва да се отбележи обаче, че методът за многоточково изобразяване е много ненадежден. Всъщност поведението на графиката между предвидените точки и нейното поведение извън сегмента между взетите крайни точки остава неизвестно.

Пример 1. Да начертаете графика на функция y = f(x)някой състави таблица със стойности на аргументи и функции:

Съответните пет точки са показани на фиг. 48.

Въз основа на местоположението на тези точки той заключава, че графиката на функцията е права линия (показана на фиг. 48 с пунктирана линия). Може ли това заключение да се счита за надеждно? Освен ако няма допълнителни съображения в подкрепа на това заключение, то едва ли може да се счита за надеждно. надежден.

За да обосновем нашето твърдение, разгледайте функцията

.

Изчисленията показват, че стойностите на тази функция в точки -2, -1, 0, 1, 2 са точно описани в таблицата по-горе. Графиката на тази функция обаче изобщо не е права линия (показана е на фиг. 49). Друг пример би била функцията y = x + l + sinπx;неговите значения също са описани в таблицата по-горе.

Тези примери показват, че в своята „чиста“ форма методът за начертаване на графика с помощта на няколко точки е ненадежден. Следователно, за да се начертае графика на дадена функция, обикновено се процедира по следния начин. Първо, изучаваме свойствата на тази функция, с помощта на които можем да изградим скица на графиката. След това чрез изчисляване на стойностите на функцията в няколко точки (изборът на които зависи от установените свойства на функцията) се намират съответните точки на графиката. И накрая се изчертава крива през построените точки, използвайки свойствата на тази функция.

По-късно ще разгледаме някои (най-простите и най-често използвани) свойства на функции, използвани за намиране на скица на графика, но сега ще разгледаме някои често използвани методи за конструиране на графики.

Графика на функцията y = |f(x)|.

Често е необходимо да се начертае функция y = |f(x)|, където f(x) -дадена функция. Нека ви припомним как става това. Като дефинираме абсолютната стойност на число, можем да запишем

Това означава, че графиката на функцията y =|f(x)|може да се получи от графика, функция y = f(x)както следва: всички точки от графиката на функцията y = f(x), чиито ординати са неотрицателни, трябва да се оставят непроменени; по-нататък, вместо точките от графиката на функцията y = f(x)с отрицателни координати, трябва да построите съответните точки на графиката на функцията y = -f(x)(т.е. част от графиката на функцията
y = f(x), която лежи под оста Х,трябва да се отразяват симетрично спрямо оста х).

Пример 2.Графика на функцията y = |x|.

Нека вземем графиката на функцията y = x(Фиг. 50, а) и част от тази графика в х< 0 (лежи под оста х), симетрично отразена спрямо оста х. В резултат на това получаваме графика на функцията y = |x|(Фиг. 50, b).

Пример 3. Графика на функцията y = |x 2 - 2x|.

Първо, нека начертаем функцията y = x 2 - 2x.Графиката на тази функция е парабола, чиито клонове са насочени нагоре, върхът на параболата има координати (1; -1), нейната графика пресича оста x в точки 0 и 2. В интервала (0; 2) функцията приема отрицателни стойности, поради което тази част от графиката се отразява симетрично спрямо абсцисната ос. Фигура 51 показва графиката на функцията y = |x 2 -2x|, въз основа на графиката на функцията y = x 2 - 2x

Графика на функцията y = f(x) + g(x)

Помислете за проблема с изграждането на графика на функция y = f(x) + g(x).ако са дадени графики на функции y = f(x)И y = g(x).

Обърнете внимание, че областта на дефиниция на функцията y = |f(x) + g(x)| е множеството от всички онези стойности на x, за които и двете функции y = f(x) и y = g(x) са дефинирани, т.е. тази област на дефиниция е пресечната точка на областите на дефиниция, функции f(x) и g(x).

Нека точките (x 0, y 1) И (x 0, y 2) съответно принадлежат на графиките на функциите y = f(x)И y = g(x), т.е 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0).Тогава точката (x0;. y1 + y2) принадлежи на графиката на функцията y = f(x) + g(x)(за f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. и всяка точка от графиката на функцията y = f(x) + g(x)може да се получи по този начин. Следователно графиката на функцията y = f(x) + g(x)могат да бъдат получени от функционални графики y = f(x). И y = g(x)замяна на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)точка (x n, y 1 + y 2),Където y 2 = g(x n), т.е. чрез изместване на всяка точка ( x n, y 1) функционална графика y = f(x)по оста припо количеството y 1 = g(x n). В този случай се вземат предвид само такива точки х n, за които са дефинирани и двете функции y = f(x)И y = g(x).

Този метод за начертаване на функция y = f(x) + g(x) се нарича добавяне на графики на функции y = f(x)И y = g(x)

Пример 4. На фигурата е построена графика на функцията с помощта на метода на добавяне на графики
y = x + sinx.

При начертаване на функция y = x + sinxмислихме това f(x) = x,А g(x) = sinx.За да начертаем графиката на функцията, избираме точки с абсцисите -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Стойности f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxНека изчислим в избраните точки и поставим резултатите в таблицата.

Понякога в задачите има не съвсем обикновени функции, където във формулата на функцията има само "y" или само "x".

Възниква въпросът: " Как да изобразим графика на такава функция?».

Помня!

Графиката на функция от формата „y = 7“ и „x = 2“ (функции, в които има само „y“ или само „x“) е права линия, която е успоредна на една от координатните оси.

Как да начертая графика на функцията "y = 7"

Нека го разберем с пример. Помислете за функцията "y = 7".

Във формулата на функцията “y = 7” има само “y”. Това означава, че всички точки на графиката на функцията "y = 7" имат координата по оста "y" (ордината), равна на "7".

Аргументът на функцията “x” очевидно отсъства във формулата на функцията “y = 7”, но въпреки това “x”, макар и “невидимо”, е във функцията и приема всякакви числени стойности.

С това казано, нека намерим някои точки графични изкуства
функции "y = 7". Нека изберем три произволни числови стойности за "x". Например числата „1“, „2“ и „3“.

Ако свържем получените точки от графиката на функцията "y = 7", ще получим права линия, която е успоредна на оста "Ox".

Как да изобразим графика на функцията “x = 2”

Функциите, където има само "x", са изградени на подобен принцип като функциите, където има само "y", с единствената разлика, че сега работим с оста "Ox".

Нека го разберем с пример. Помислете за функцията "x = 2".

Във формулата за функцията “x = 2” има само “x”.

Това означава, че всички точки от графиката на функцията “x = 2” имат координата по оста “x” (абсциса), равна на “2”.

Стойността на функцията “y” явно отсъства във функцията “x = 2”, но въпреки това “y” е “невидимо” във функцията и приема всякакви числени стойности.

С това казано, нека намерим няколко точки на графиката
функции "x = 2".

Нека изберем три произволни числови стойности за "y". Например числата „1“, „2“ и „3“.

Нека отбележим получените точки върху координатната система.

Ако свържем получените точки от графиката на функцията “x = 2”, ще получим права линия, която е успоредна на оста “Oy”.

Как да запомните правилата за чертане на функции от формата "y = 7" и "x = 2"

За да начертаете функции от формата „y = 7“ и „x = 2“, запомнете следното правило.

Изграждането на графики на функции, съдържащи модули, обикновено създава значителни трудности за учениците. Всичко обаче не е толкова лошо. Достатъчно е да запомните няколко алгоритма за решаване на такива проблеми и лесно можете да изградите графика дори на най-привидно сложната функция. Нека да разберем какъв вид алгоритми са тези.

1. Построяване на графика на функцията y = |f(x)|

Обърнете внимание, че наборът от стойности на функцията y = |f(x)| : y ≥ 0. Така графиките на такива функции винаги се намират изцяло в горната полуравнина.

Построяване на графика на функцията y = |f(x)| се състои от следните прости четири стъпки.

1) Внимателно и внимателно построете графика на функцията y = f(x).

2) Оставете непроменени всички точки на графиката, които са над или на оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, която се намира под оста 0x симетрично спрямо оста 0x.

Пример 1. Начертайте графика на функцията y = |x 2 – 4x + 3|

1) Построяваме графика на функцията y = x 2 – 4x + 3. Очевидно е, че графиката на тази функция е парабола. Нека намерим координатите на всички точки на пресичане на параболата с координатните оси и координатите на върха на параболата.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следователно параболата пресича оста 0x в точки (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Следователно параболата пресича оста 0y в точката (0, 3).

Координати на върха на парабола:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Следователно точка (2, -1) е върхът на тази парабола.

Начертайте парабола, като използвате получените данни (Фиг. 1)

2) Частта от графиката, лежаща под оста 0x, се показва симетрично спрямо оста 0x.

3) Получаваме графика на оригиналната функция ( ориз. 2, показано като пунктирана линия).

2. График на функцията y = f(|x|)

Обърнете внимание, че функциите от формата y = f(|x|) са четни:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Това означава, че графиките на такива функции са симетрични спрямо оста 0y.

Построяването на графика на функцията y = f(|x|) се състои от следната проста верига от действия.

1) Начертайте графика на функцията y = f(x).

2) Оставете тази част от графиката, за която x ≥ 0, т.е. частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете частта от графиката, посочена в точка (2), симетрично спрямо оста 0y.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 2. Начертайте графика на функцията y = x 2 – 4 · |x| + 3

Тъй като x 2 = |x| 2, тогава оригиналната функция може да бъде пренаписана в следната форма: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Сега можем да приложим алгоритъма, предложен по-горе.

1) Ние внимателно и внимателно изграждаме графика на функцията y = x 2 – 4 x + 3 (вижте също ориз. 1).

2) Оставяме тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете дясната страна на графиката симетрично спрямо оста 0y.

(фиг. 3).

Пример 3. Начертайте графика на функцията y = log 2 |x|

Прилагаме схемата, дадена по-горе.

1) Постройте графика на функцията y = log 2 x (фиг. 4).

3. Начертаване на функцията y = |f(|x|)|

Обърнете внимание, че функции от формата y = |f(|x|)| също са четни. Наистина, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) и следователно техните графики са симетрични спрямо оста 0y. Наборът от стойности на такива функции: y ≥ 0. Това означава, че графиките на такива функции са разположени изцяло в горната полуравнина.

За да начертаете функцията y = |f(|x|)|, трябва да:

1) Внимателно постройте графика на функцията y = f(|x|).

2) Оставете непроменена частта от графиката, която е над или върху оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, разположена под оста 0x, симетрично спрямо оста 0x.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 4. Начертайте графика на функцията y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Забележете, че x 2 = |x| 2. Това означава, че вместо оригиналната функция y = -x 2 + 2|x| - 1

можете да използвате функцията y = -|x| 2 + 2|x| – 1, тъй като графиките им съвпадат.

Изграждаме графика y = -|x| 2 + 2|x| – 1. За целта използваме алгоритъм 2.

а) Начертайте графика на функцията y = -x 2 + 2x – 1 (фиг. 6).

б) Оставяме тази част от графиката, която се намира в дясната полуравнина.

в) Показваме получената част от графиката симетрично спрямо оста 0y.

d) Получената графика е показана с пунктирана линия на фигурата (фиг. 7).

2) Няма точки над оста 0x, оставете точките на оста 0x непроменени.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, се показва симетрично спрямо 0x.

4) Получената графика е показана на фигурата с пунктирана линия (фиг. 8).

Пример 5. Начертайте графика на функцията y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Първо трябва да начертаете функцията y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). За да направим това, се връщаме към Алгоритъм 2.

а) Начертайте внимателно функцията y = (2x – 4) / (x + 3) (фиг. 9).

Обърнете внимание, че тази функция е частично линейна и нейната графика е хипербола. За да начертаете крива, първо трябва да намерите асимптотите на графиката. Хоризонтално – y = 2/1 (отношението на коефициентите на x в числителя и знаменателя на дробта), вертикално – x = -3.

2) Ще оставим непроменена тази част от графиката, която е над оста 0x или върху нея.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, ще бъде показана симетрично спрямо 0x.

4) Крайната графика е показана на фигурата (фиг. 11).

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.

Функционалната графика е визуално представяне на поведението на функция в координатна равнина. Графиките ви помагат да разберете различни аспекти на функция, които не могат да бъдат определени от самата функция. Можете да изградите графики на много функции и на всяка от тях ще бъде дадена специфична формула. Графиката на всяка функция се изгражда с помощта на специфичен алгоритъм (ако сте забравили точния процес на графиране на конкретна функция).

стъпки

Графика на линейна функция

Определете дали функцията е линейна.Линейната функция е дадена с формула на формата F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)или y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(например ), а графиката му е права линия. Така формулата включва една променлива и една константа (константа) без експоненти, знаци за корен или други подобни. При дадена функция от подобен тип е доста лесно да се начертае графика на такава функция. Ето други примери за линейни функции:

Използвайте константа, за да маркирате точка на оста Y.Константата (b) е „y” координатата на точката, в която графиката пресича оста Y. Това е точка, чиято координата „x” е равна на 0. Следователно, ако x = 0 се замества във формулата. , тогава y = b (константа). В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константата е равна на 5, т.е. точката на пресичане с оста Y има координати (0,5). Начертайте тази точка върху координатната равнина.

Намерете наклона на линията.То е равно на множителя на променливата. В нашия пример y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)с променливата “x” има коефициент 2; по този начин коефициентът на наклона е равен на 2. Коефициентът на наклона определя ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста X, т.е. колкото по-голям е коефициентът на наклона, толкова по-бързо се увеличава или намалява функцията.

Запишете наклона като дроб.Ъгловият коефициент е равен на тангенса на ъгъла на наклона, т.е. отношението на вертикалното разстояние (между две точки на права линия) към хоризонталното разстояние (между същите точки). В нашия пример наклонът е 2, така че можем да заявим, че вертикалното разстояние е 2, а хоризонталното разстояние е 1. Запишете това като дроб: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Ако наклонът е отрицателен, функцията е намаляваща.

1. От точката, където правата линия пресича оста Y, начертайте втора точка, като използвате вертикални и хоризонтални разстояния. Една линейна функция може да бъде начертана като графика с помощта на две точки. В нашия пример пресечната точка с оста Y има координати (0,5); От тази точка преместете 2 интервала нагоре и след това 1 интервал надясно. Маркирайте точка; ще има координати (1,7). Сега можете да нарисувате права линия.

   С помощта на линийка начертайте права линия през две точки.За да избегнете грешки, намерете третата точка, но в повечето случаи графиката може да се начертае с помощта на две точки. Така сте начертали линейна функция.

   Нанасяне на точки върху координатната равнина

   1. Дефинирайте функция.Функцията се означава като f(x). Всички възможни стойности на променливата "y" се наричат ​​домейн на функцията, а всички възможни стойности на променливата "x" се наричат ​​домейн на функцията. Например, разгледайте функцията y = x+2, а именно f(x) = x+2.

      Начертайте две пресичащи се перпендикулярни линии.Хоризонталната линия е оста X, вертикалната линия е оста Y.

      Маркирайте координатните оси.Разделете всяка ос на равни сегменти и ги номерирайте. Пресечната точка на осите е 0. За оста X: положителните числа се нанасят отдясно (от 0), а отрицателните числа отляво. За оста Y: положителните числа се нанасят отгоре (от 0), а отрицателните числа отдолу.

      Намерете стойностите на "y" от стойностите на "x".В нашия пример f(x) = x+2. Заменете конкретни стойности на x в тази формула, за да изчислите съответните стойности на y. Ако е дадена сложна функция, опростете я, като изолирате „y“ от едната страна на уравнението.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Нанесете точките върху координатната равнина.За всяка двойка координати направете следното: намерете съответната стойност по оста X и начертайте вертикална линия (пунктирана); намерете съответната стойност на оста Y и начертайте хоризонтална линия (пунктирана линия). Маркирайте пресечната точка на двете пунктирани линии; по този начин сте начертали точка на графиката.

      Изтрийте пунктираните линии.Направете това, след като нанесете всички точки от графиката върху координатната равнина. Забележка: графиката на функцията f(x) = x е права, минаваща през координатния център [точка с координати (0,0)]; графиката f(x) = x + 2 е права, успоредна на правата f(x) = x, но изместена нагоре с две единици и следователно минаваща през точката с координати (0,2) (тъй като константата е 2) .

   Графика на сложна функция

   Намерете нулите на функцията.Нулите на функцията са стойностите на променливата x, където y = 0, т.е. това са точките, в които графиката пресича оста X. Имайте предвид, че не всички функции имат нули, но те са първите стъпка в процеса на изобразяване на графики на всяка функция. За да намерите нулите на функция, приравнете я на нула. Например:

   Намерете и маркирайте хоризонталните асимптоти.Асимптотата е линия, която графиката на функцията се доближава, но никога не пресича (т.е. в тази област функцията не е дефинирана, например при деление на 0). Маркирайте асимптотата с пунктирана линия. Ако променливата "x" е в знаменателя на дроб (напр. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), задайте знаменателя на нула и намерете „x“. В получените стойности на променливата "x" функцията не е дефинирана (в нашия пример начертайте пунктирани линии през x = 2 и x = -2), тъй като не можете да разделите на 0. Но асимптоти съществуват не само в случаите, когато функцията съдържа дробен израз. Затова се препоръчва да използвате здрав разум: